专题02 三角函数的图像与性质——高一数学下学期期末专项复习学案+期末模拟卷（北师大2019版）

专题02三角函数的图像与性质—高一数学下期期末复习高频考点强化训练（北师大2019版）

一、单选题

1．若函数()的图象向左平移个单位后，所得图象关于原点对称，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由题设得到，由其图像关于原点对称则，结合已知即可求的最小值.

【详解】

由解析式，图象向左平移个单位，则，

∴图象关于原点对称，即 ，得，，

∴当时，的最小值为.

故选：B.

2．函数在的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

先利用定义判断出函数是奇函数，可排除A，再求出判断正负，可排除BD.

【详解】

，是奇函数，故A错误；

，故BD错误.

故选：C.

【点睛】

思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

3．已知函数的图象为C，为了得到函数的图象，只要把C上所有点（    ）

A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变

C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

【答案】D

【分析】

由变换前后的三角函数解析式，判断图象的变换过程即可.

【详解】

由变换为，显然将的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变.

故选：D.

4．已知函数是偶函数，要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向右平移个单位 D．向左平移个单位

【答案】C

【分析】

根据函数是偶函数，由，结合，求得，再根据，利用平移变换求解.

【详解】

因为函数是偶函数，所以，

因为，所以，所以，

要得到函数的图象，

只需将函数的图象向右平移个单位即可，

故选：C．

5．函数的图像与直线，及轴所围成的图形的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

作出函数的图像，利用割补法，补成长方形，计算面积即可.

【详解】

作出函数的图象，如图所示，

利用割补法，将到部分的图象与轴围成的图形补到图中到处阴影部分，凑成一个长为，宽为的长方形，后面到，同理；∴的图象与直线，及轴所围成的面积为，

故选：C.

【点睛】

用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由取，，，，来求出相应的，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．

6．方程在区间上的解的个数是（    ）

A．4 B．6 C．8 D．9

【答案】C

【分析】

把方程等价化，在同一坐标系内作出两个函数图象，观察公共点个数即可得解.

【详解】

原方程化为，在同一坐标系内作出函数图象与直线，如图：

观察图象知：在时函数的图象与直线有8个公共点，

所以方程在区间上8个解.

故选：C

二、多选题

7．关于三角函数的图象，有下列命题，其中正确命题的序号是（   ）

A．y=sin |x|与y=sin x的图象关于y轴对称；

B．y=cos(-x)与y=cos |x|的图象相同；

C．y=|sin x|与y=sin(-x)的图象关于x轴对称；

D．y=cos x与y=cos(-x)的图象关于y轴对称．

【答案】BD

【分析】

根据函数图像变换以及函数奇偶性的知识对四个选项逐一分析，由此求得正确说法的选项．

【详解】

对于A，为偶函数，它的图像是由图像保留的部分，然后关于轴对称得到部分所得，所以与的图像不关于轴对称；

对于B，，，故它们图像相同；

对于C，函数值都是非负数，函数值有正有负，所以它们图像不关于轴对称；

对于D，，故它们图像关于轴对称，同时也重合.

综上所述，正确的说法是BD

故选：BD

8．将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则下面对函数的叙述中正确的是（    ）

A．函数的解析式为

B．函数的周期为

C．函数的一个对称中心为

D．函数在区间内单调递增

【答案】BD

【分析】

根据函数图象的平移，得，利用正弦函数的性质，结合各选项的描述判断正误即可.

【详解】

由已知，有，

∴，

，故A错误；，则B正确；

若，则，即对称中心为，故C错误；

在上单调增，即，

则为一个递增区间，而，故D正确.

故选：BD.

三、填空题

9．已知，则__________

【答案】0

【分析】

直接将代入求出函数值，再求和即可.

【详解】

，

故答案为：0

10．关于函数，下列说法正确的是___________（将正确的序号写在横线上）

（1）是以为周期的函数；

（2）当且仅当时，函数取得最小值；

（3）图像的对称轴为直线；

（4）当且仅当时，.

【答案】

【分析】

由函数解析式，转化为分段函数的形式，并画出其函数图象，结合各分段的函数性质，判断它的周期、最小值及对应的自变量值、对称轴、以及对应的区间，即可判断各项的正误.

【详解】

由题设，，，

∴，所以周期为.

由解析式可得的图象如下：

由图知：当且仅当时，函数取得最小值；图像的对称轴为直线；当且仅当时，.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：分类讨论并求出的分段函数形式，进而画出函数图象，应用数形结合的方法判断各项的正误.

四、解答题

11．已知向量，，其中，函数，若函数图象的两个相邻对称中心的距离为.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）将函数的图象先向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，当时，求函数的值域．

【答案】（1） (k∈Z)；（2）．

【分析】

（1）根据题意，代入数量积公式表示出，然后化简得，利用周期计算得，利用整体法计算单调增区间；（2）利用平移变换得函数的解析式，利用整体法计算值域.

【详解】

（1）由题意可得，，

.

由题意知，，得，则，由，解得，∴的单调递增区间为．

（2）将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，

纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，得到的图象．

∵，∴，故函数的值域为.

【点睛】

关于三角函数解析式的化简问题，首先需要利用和差公式或者诱导公式展开化为同角，其次利用降幂公式进行降次，最后利用辅助角公式进行合一变换，最终得到的形式.

12．已知.

（1）求的图象是由的图象如何变换而来？

（2）求的最小正周期、图象的对称轴方程、最大值及其对应的的集合.

【答案】（1）见解析；（2）；，；2；

【分析】

（1）由条件根据函数的图象平移伸缩的变换规律，可得结论．

（2）根据题意，利用正弦函数的最小正周期，结合正弦函数的图象和性质，即可求出的对称轴、最大值．

【详解】

解：（1）将函数图象上每一点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍，

得到函数的图象，

再把所得函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），

得到函数的图象，

再把所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数 的图象，

最后把所得函数的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象．

（2）对于函数，它的最小正周期为，

由，，求得，

可得函数的图象的对称轴方程为：，，

由，，求得，，

此时的最大值为，即对应的的集合为．

【点睛】

本题考查函数的图象平移伸缩的变换规律，考查根据正弦函数的图象和性质求正弦型函数的最小正周期、对称轴和最大值，属于基础题．

13．已知函数，的部分图象，如图所示，、分别为该图象的最高点和最低点，点的坐标为，点的坐标为，且.

（1）求解析式；

（2）若方程在区间内恰有一个根，求的取值范围.

【答案】（1）=；（2）.

【分析】

（1）由题设求的周期，根据P的坐标并结合图象有求，过作x轴的垂线，垂足为，利用列方程求A，写出解析式即可.

（2）令，将问题转化为在在区间内恰有一个零点，应用换元法令可得且，讨论在区间内的零点情况，并结合正弦函数、二次函数的性质确定a的范围.

【详解】

（1）由解析式知： 又点的横坐标为，

∴，即．过作x轴的垂线，垂足为，则，

故，

∴，故=.

（2）令，

∴方程在区间内恰有一个根等价于函数在在区间内恰有一个零点.

设，当时，，又，

∴，，

令，则函数在内恰有一个零点，可知在内最多有一个零点.

①当0为的零点时，显然不成立；

②当为的零点时，由，得，把代入中，得，解得，，不符合题意.

③当零点在区间时，

若，得，此时零点为1，即，由的图象知不符合题意；

若，即，设的两根分别为，，由，且抛物线的对称轴为，则两根同时为正，要使在内恰有一个零点，则一个根在内，另一个根在内，所以，解得.

综上，的取值范围为.

【点睛】

关键点点睛：

（1）由最高点坐标及图象求φ，应用线段的几何关系，结合三角函数列方程求参数A，写出解析式；

（2）利用辅助角公式、换元法，将问题转化为二次函数在闭区间内最多只有一个零点，注意所得零点需结合换元前的三角函数，验证是否只存在一个零点.