专题03 三角恒等变换与辅助角公式——高一数学下学期期末专项复习学案+期末模拟卷（北师大2019版）

专题03三角恒等变换与辅助角公式—高一数学下期期末复习高频考点强化训练（北师大2019版）

一、单选题

1．已知为锐角，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

先求出，再将用两角和与差的余弦公式展开求解即可．

【详解】

解：为锐角，，则，

，

故选：A

2．已知函数，则下列说法中正确的是（    ）

A．的一条对称轴为

B．在上是单调递减函数

C．的对称中心为

D．的最大值为

【答案】B

【分析】

根据诱导公式可推导得到，，知AC错误；利用二倍角公式化简得到，根据复合函数单调性的判断方法可知B正确；由二次函数型的函数最值的求解方法可求得，知D错误.

【详解】

对于A，，

不是的对称轴，A错误；

对于B，，当时，，

令，则其在上单调递增，又在上单调递减，

由复合函数单调性知：在上单调递减，B正确；

对于C，，

不是的对称中心，C错误；

对于D，，

，当时，，D错误.

故选：B.

【点睛】

结论点睛：关于函数对称性结论如下：

（1）若，则关于直线成轴对称；

（2）若，则关于成中心对称.

3．若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据诱导公式，先得到，再由二倍角公式与诱导公式，即可得出结果.

【详解】

由可得，

所以.

故选：D.

4．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线上，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据三角函数的定义以及两角和的正弦公式即可求解．

【详解】

解：（1）当为第一象限时，由题意，，

所以．

（2）当为第三象限时，由题意，，

所以．

故选：A．

5．若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

利用二倍角的余弦公式可得结果.

【详解】

.

故选：A.

6．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

利用余弦的二倍角结合同角三角函数中齐次式的处理方法，将化为，再转化为的式子，求出的值，得到答案.

【详解】

由，

有．

故选: A

二、多选题

7．下列选项中，与的值相等的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】

根据，利用二倍角公式和两角和与差的三角函数，逐项判断.

【详解】

，

A. ，故错误；

B. ，故正确；

C. ，故正确；

D. ，故错误；

故选：BC

8．将的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（    ）

A．函数的最小正周期是

B．函数的一条对称轴是

C．函数的一个零点是

D．函数在区间[，]上单调递减

【答案】BC

【分析】

利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用函数的图象变换规律，求得，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．

【详解】

解：将的图象向左平移个单位，

可得的图象；

再向下平移1个单位，得到函数的图象，

则关于函数，它的最小正周期为，故排除；

令，求得，为最大值，故是函数的一条对称轴，故正确；

令，求得，故函数的一条零点，故正确；

当，，，，没有单调性，故错误，

故选：．

三、填空题

9．函数的最小值为_______________________．

【答案】

【分析】

应用诱导公式及二倍角余弦公式可得，根据余弦函数及二次函数的性质即可求其最小值.

【详解】

由题设，，

∴当且仅当时，有.

故答案为：.

10．已知，则________．

【答案】2

【分析】

利用正弦、余弦的二倍角公式即可求解.

【详解】

．

故答案为：2

四、解答题

11．（1）已知cos=2sin，求的值.

（2）

【答案】（1）；（2）1.

【分析】

（1）由诱导公式化简已知式可得，然后由诱导公式化简求值式，再由同角间的三角函数关系变形后代入可得；

（2）利用平方关系变形可得．

【详解】

（1）∵cos=2sin，∴-sin =-2sin，∴sin =2cos ，即tan =2.

∴=.

===

===

====.

(2)(1)原式=

====1.

【点睛】

关键点点睛：同角三角函数基本关系式的应用技巧

(1)知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解．

(2)知弦求切：常通过平方关系sin2α＋cos2α＝1及商数关系tan α＝结合诱导公式进行求解．

(3)知切求弦：通常先利用商数关系转化为sin α＝tan α·cos α的形式，然后用平方关系求解．若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，如＝；asin2α＋bcos2α＋csin αcos α＝

＝.

12．已知，.

（1）求，的值；

（2）求的值.

【答案】（1），；（2）.

【分析】

（1）由已知结合同角之间的平方关系可求得，解方程即可得解；

（2）由（1）可求得，，再利用两角和的正弦公式即可得解.

【详解】

（1）∵，两边平方得：.

∵，∴，

∴.

∴，.

（2）∵，，

∴，，

∴.

【点睛】

方法点睛：本题考查同角之间的关系及两角和的正弦公式，再利用同角之间关系时注意方程思想的应用：对于，，这三个式子，利用，可以知一求二．

13．已知函数的周期为.

（1）求的值；

（2）求的单调增区间.

【答案】（1）；（2）单调递增区间为，.

【分析】

（1）先化简解析式为，再由周期公式求的值，

（2）由（1）可得函数解析式为，令，，解之即可得出函数的单调增区间.

【详解】

解：（1）∵

，

∵周期为，∴，又，解得；

（2）由（1）可得：，

令，，

解得：，，

即函数的单调递增区间为，.

【点睛】

本题考查利用三角恒等变换解决三角函数性质问题，属于基础题.