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第八章 立体几何初步(解答题题型全覆盖)- 学年高一数学下学期期末备考专题全攻略(人教A版2019)学案
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第八章 立体几何初步
解答题题型全覆盖
类型
对应典例
证明与体积问题
典例一
立体几何中的探索类问题
典例二
线面角
典例三
二面角
典例四
点到平面的距离
典例五
与球有关的问题
典例七
典例一、证明与体积问题
1.如图,在三棱锥中,底面,,,分别为、、的中点.
(1)证明:;
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【详解】
(1)∵,,∴
∵底面,平面,∴
又,∴平面
∵面,
∴
(2)
∵为的中点,
∴,到平面的距离相等,
∴
中,,,
∴,∴
∵,分别为,的中点,
∴,,
由底面知,∴
∴
∵,作,垂足为,则面,
在中,,,
∴
∴
2.如图,三棱锥中,面,△为正三角形,点在棱上,且,、分别是棱、的中点,直线与直线交于点,直线与直线交于点,,.
(1)求证:;
(2)求几何体的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【详解】
证明:(1)∵、分别是棱、的中点,
∴,
∵平面,平面,
∴平面,
∵平面,平面平面,
∴,则;
(2)∵△为正三角形,且边长为6,面,,
∴,
又,∴,到的距离为,
则,
到平面的距离为到平面距离的一半,为.
∴,
则.
3.如图,在等腰中,,,,分别为,的中点.将沿直线折起到的位置,连接,,得到如图所示的四棱锥,点为的中点.
(1)证明:平面;
(2)当时,求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2)2.
【详解】
(1)取中点,分别连接、,
∵、分别为、中点,∴,
∵平面,平面∴平面,
又∵,分别为,的中点,∴,,
∴四边形为平行四边形,∴,
∵平面,平面,∴平面,
∵,∴平面平面,
∵平面,∴平面
(2)如图,分别取,的中点,,连接,,,
由题意,知,,
在中,,
在中,∵,
∴,∴,
又∵,,且,平面,
∴平面.
∵,∴四棱锥的体积.
又∵,
∴四棱锥的体.
4.如图矩形是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图,其中,.
(1)画出平面四边形OABC的平面图并标出边长,并求平面四边形OABC的面积;
(2)若该四边形OABC以OA为旋转轴,旋转一周,求旋转形成的几何体的体积及表面积.
【答案】(1)平面图见解析,面积为;(2)体积为,表面积为.
【详解】
(1)平面四边形的平面图如下图所示:
由直观图可知菱形的高为:,
所以面积为;
(2)旋转而成的几何体如下图所示:
该几何体可以看成圆柱挖去一个同底的圆锥再加上一个同底的圆锥,
由(1)可知圆柱的底面圆半径为,母线长为,
所以体积;
所以表面积.
典例二、立体几何中的探索类问题
1.如图,正三棱柱的底面边长为2,高为,过的截面与上底面交于且点P棱的中点,点Q在棱上.
(1)试在棱上找一点D,使得平面,并加以证明;
(2)求四棱锥的体积.
【答案】(1)D为的中点,证明见解析;(2)
【详解】
(1)D为的中点时,平面.
证明如下:
平面,平面,平面平面,
,平面,平面,所以平面,
又D为的中点,是平行四边形,,
又平面,平面,面,
又与在平面内相交,面面,
又面,平面;
(2)连接,四棱锥可视为三棱锥和组合而成,
三棱锥可视为,底面积,高为,
设,
体积为.
三棱锥与等高,体积比为底面积之比,
设,
则,故,
因此,,即为所求.
2.如图所示,在四棱锥中,平面PAD,,E是PD的中点.
(1)求证:;
(2)线段AD上是否存在点N,使平面平面PAB,若不存在请说明理由:若存在给出证明.
【答案】(1)证明见解析;
(2)存在,当点是的中点时满足题意. 证明见解析解.
【详解】
(1)因为平面,平面,平面平面,所以;
(2)存在,且当点是的中点时,平面平面. 下面给出证明:
因为、分别是、的中点,所以,
又平面,平面,所以平面.
由(1)知,,又是的中点,,所以,所以四边形是平行四边形,从而,
又平面,平面,所以平面.
又因为,所以,平面平面
3.如图,四棱锥中,四边形ABED是正方形,若G,F分别是线段EC,BD的中点.
(1)求证:平面ABC.
(2)在线段CD上是否存在一点P,使得平面平面ABC?并说明理由.
【答案】(1)证明见详解;(2)P为线段CD中点,理由见详解.
【详解】
证明:由四边形ABED为正方形可知,
连接AE必与BD相交于中点F,又G是线段EC的中点,故,
面ABC,面ABC,
面ABC;
当P为线段CD中点时,有平面平面ABC,
证明:由点分别为中点可得:
面ABC,面ABC,
面ABC,
由可知,面ACD,
且,
故平面平面ABC.
4.如图,在多面体中,底面为正方形,四边形是矩形,平面平面
(1)求证:平面平面;
(2)若过直线的一个平面与线段和分别相交于点和(点与点 均不重合),求证:;
(3)判断线段上是否存在一点,使得平面平面?若存在,求的值;若不存在,
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)存在;.
【详解】
(1)证明:∵四边形是正方形,.
又∵平面平面,平面平面,
且平面,∴平面.
又平面,∴平面平面.
(2)证明:平面平面,∴平面,
又平面,平面平面,
又,.
(3)解:线段上存在一点,使得平面平面,此时.
证明如下:设 的中点为,连接,
因为平面平面,
所以平面.设,连接,
在△中,因为,所以,
又因为平面平面,所以平面.
又因为平面,所以平面平面.
5.如图,四棱锥中,底面是平行四边形,E为中点.
(1)求证:平面;
(2)若M,N分别是线段的中点,F是直线上的动点,则线段上是否存在点G,使得平面?若存在,请求出的比值:若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)存在点G,使得平面,且.
【详解】
(1)证明:连接交于,再连接,
因为四边形为平行四边形,
所以为的中点,
又为的中点,
所以在中,,
又平面,平面,
所以平面.
(2)存在点G,使得平面.
与的交点记为.
当为的中点时,
可知,
所以,
M,N分别是线段的中点,
所以,
又,且平面,平面,
所以平面平面,又平面,
所以当为的中点时,即时,平面.
典例三、线面夹角
1.如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱底面,E是的中点.
(1)证明:平面;
(2)若,求直线与底面所成角的正切值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【详解】
(1)证明:连接交于.
在正方形中,有,
又是的中点,所以,平面,平面
所以直线平面.
(2)解:取的中点.
由为的中位线,得,
又底面,得底面,
所以是直线与底面所成角.
设,
因为,,
所以.
所以直线与底面所成角的正切值为.
2.如图,四边形ABCD为菱形,四边形ACFE为平行四边形,设BD与AC相交于点G,,,,.
(1)证明:平面平面ABCD;
(2)若AE与平面ABCD所成角为45°,求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【详解】
(1)连接EG,因四边形ABCD为菱形,则,,,
在和中,,,,
有,得,即有,因,平面ACFE,平面ACFE,从而得平面ACFE,
又平面ABCD,所以平面平面ABCD;
(2)由(1)知,斜线EA在平面ABCD内的射影是AC,故为AE与面ABCD所成的角,即,
菱形ABCD中,,,则,,而,有,
又平面ACFE,则四棱锥E-ABCD的体积为:
3.如图,四棱台的底面为正方形,面,.
(1)求证:平面;
(2)若平面平面,求直线m与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【详解】
(1)证明:连结交交于点O,连结,,
由多面体为四棱台可知四点共面,
且面面,面面,面面,
∴,
∵和均为正方形,,
∴,所以为平行四边形,
∴,面,面,
∴平面.
(2)
∵面,平面,平面,
∴,又∵,∴
∴求直线m与平面所成角可转化为求与平面所成角,
∵和均为正方形,,且,
∴,,∴,
又∵面,∴
∴面,∴面面,
由面面,设O在面的投影为M,则,
∴为与平面所成角,
由,可得,又∵,
∴
∴,直线m与平面所成角的正弦值为.
4.已知直角梯形,,,,为的中点,将沿翻折至.
(1)求证:;
(2)若,求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【详解】
(1)过点P作PE⊥BD于E,连接EF,中,令PD=1,则BD=2PD=2,,,如图:
直角梯形中,显然有,而,则,又,即△为正三角形,
而为的中点,则,又,中,由余弦定理得,
即,是直角三角形,有,而PE⊥BD,,
所以面,面,故;
(2)过B作BQ⊥平面PAD与平面PAD交于点Q,连接PQ,则PQ是PB在平面PAD内射影,是直线PB与平面PAD所成角,如图:
因面,即平面面,平面面,过点P作PO⊥EF于O,则面,
由(1),,,
中,PD=DF=1,则,
,,
由得,即,,,
所以与平面所成角的正弦值为.
5.已知三棱柱,是正三角形,四边形是菱形且,是的中点,.
(1)证明:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【详解】
(1)设中点为,连结,,如图:
由得,由是正三角形得,
又,故平面,因此;
(2)三棱柱中,四边形是菱形,设中点为,平面交于,连结,设,
平面ABC//平面A1B1C1,平面平面ABC=AD,平面平面A1B1C1=MN,
则,而AC//A1C1,由等角定理得,,则有,
M是A1C1中点,,即得,
由(1)平面得平面平面,则为在平面内的射影,
四边形AMNE为平行四边形,即AM//EN,所以为与平面所成的角,
由四边形是直角梯形,得,
中,,则,
中,,,,
所以,直线与平面所成角的正弦值为.
典例四、二面角
1.如图,圆柱,矩形为过轴的圆柱的截面,点为弧的中点,点为的中点.
(1)求证:平面;
(2)若,三棱锥的体积为,求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【详解】
(1)矩形为过轴的圆柱的截面,设,连接,则为中点,如图:
点为弧的中点,则CC1是圆柱OO1的母线,是矩形,点为的中点,则,,
有四边形是平行四边形,,平面,平面,
所以平面;
(2)设圆锥底面半径,由点C是弧AB中点得,因,三棱锥的体积为,平面,
三棱锥的体积,即,得,,
取中点,连接,如图:
因,平面平面,则有平面,
而,则,,
,,为二面角的平面角,
由,得:.
所以二面角的余弦值为.
2.如图,在多面体ABCDE中,平面ACDE⊥平面ABC,四边形ACDE为直角梯形,CD∥AE,AC⊥AE,∠ABC=60°,CD=1,AE=AC=2,F为BE的中点.
(1)当BC的长为多少时,DF⊥平面ABE.
(2)求平面ABE与平面BCD所成的锐二面角的大小.
【答案】(1)BC=2;(2)60°.
【详解】
(1)取AB的中点G,连接FG,CG,∵F为BE的中点
∴,又∵,∴
∴四边形CDFG为平行四边形,∴CG//DF
∵平面ACDE⊥平面ABC,平面ACDE平面
∴AE⊥平面ABC,∴AE⊥CG,
要使DF⊥平面ABE,则只需CG⊥平面ABE,由线面垂直定理,只需,故BC=2.
BC=2时,,又,,平面,
所以平面,即DF⊥平面ABE;
(2)过B作BHCD,则,连接,所以平面平面=,
证明如下:设平面平面平面=,由,平面,平面,得平面,所以,即,而平面的交线只有一条,所以.
由(1),同理,所以,
则即所求二面角的平面角
而,∴所成锐二面角为.
3.已知是正三角形,线段和都垂直于平面,且,为的中点,设平面平面 .
(1)求证:;
(2)当平面与平面所成的锐二面角为时,求几何体的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【详解】
(1)证明:如图所示,延长、交于点,连接,
平面,平面,,
,所以,、分别为、的中点,
为的中点,所以,,
平面,平面,平面,平面,
所以,平面平面,因此,;
(2)是等边三角形,且为的中点,则,
则,所以,,故,即,
因为平面,平面,,
,平面,
平面,,
故平面与平面所成的锐二面角为,
所以,为等腰直角三角形,且,则,
,,
,
因此,几何体的体积为.
4.如图,在棱柱中,底面为平行四边形,,,且在底面上的投影恰为的中点.
(1)过作与垂直的平面,交棱于点,试确定点的位置,并说明理由;
(2)若二面角为,求棱柱的体积.
【答案】(1)是中点,证明见解析;(2).
【详解】
(1)是中点,证明如下:
平行四边形中,,,则,,,所以,
取中点,是中点,则,所以,
又平面,平面,所以,,平面,所以平面.
(2)二面角为,则二面角为,作交延长线于,连接,则是平行四边形,,是中点,所以是中点,,
由是等边三角形,所以,
所以,,
因此平面,所以平面,而平面,所以,
,平面,所以平面,
又平面,所以,所以是二面角的平面角,所以,
又,所以,
,
所以棱柱为.
5.如图,点是腰长为2的等腰直角三角形的底边的中点,于点,将沿折起,此时点记作点.
(1)当三棱锥的体积最大时,证明:平面平面;
(2)若二面角的大小为120°,求三梭锥的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【详解】
解:(1)证明:如图,要使三棱锥的体积最大,则平面平面,
所以平面.
又平面,所以.
又,,平面,平面,
所以⊥平面.又平面,
所以平面⊥平面.
(2)如图,由题意知,,,
而二面角的大小为120°,所以.
根据折叠过程可程,所以,
所以三棱锥的高,
所以三棱锥的体积.
典例五、点面距离
1.如图,四棱锥中,平面,四边形为正方形,点M、N分别为直线上的点,且满足.
(1)求证:平面;
(2)若,,求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【详解】
(1)连接BD,∵,
∴MN∥BD,
∵MN平面ABCD,BD平面ABCD,
∴MN∥平面ABCD.
(2)设N点到平面PBC的距离为d1,D点到平面PBC的距离为d2,
∵,
∴,
依题可得VD-PBC=VP-DBC,
又PA⊥平面ABCD,
∴VP-DBC=SΔBCD·PA=,
∴VD-PBC=SΔPBC·d2=,
∵四边形ABCD为正方形,
∴CB⊥AB,
又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC,
∵PA∩AB=A,
∴BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,
依题可得SΔPBC=,
∴,
∴,
即点N到平面PBC的距离为.
2.已知直角梯形ABCE中,,,,,,以AD为折痕将折至处,得到四棱锥.
(1)求证:;
(2)连接AC、BD交于点F,当三棱锥体积最大时,求点F到平面PCD的距离.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【详解】
(1)证明:由可知点D为线段EC靠近点C的三等分点,
,,中,
而为等边三角形,
也是等边三角形,取AD中点M,连接MB、MP则,
而,平面
(2)解与交于点
当三棱锥体积最大时,平面平面
由(1)可知等边中,而平面平面,
平面平面
,而等边中,,
,中,,,
由余弦定理得
中,中,
点F到平面PCD的距离
3.已知多面体如图所示,其中四边形为矩形,,平面.
(1)求证:平面;
(2)若,点到平面的距离为,求的值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【详解】
(1),则,,
,平面,
平面,,
平面,平面,所以,平面,
四边形为矩形,则,
平面,平面,平面,
,所以,平面平面,
平面,故平面;
(2)因为四边形为矩形,则,
由(1)可知,平面,则,
平面,、平面,,,
故,,,
取的中点,连接,则,
,
所以,,
由题意可得,即,
化简可得,故.
第八章 立体几何初步
解答题题型全覆盖
类型
对应典例
证明与体积问题
典例一
立体几何中的探索类问题
典例二
线面角
典例三
二面角
典例四
点到平面的距离
典例五
与球有关的问题
典例七
典例一、证明与体积问题
1.如图,在三棱锥中,底面,,,分别为、、的中点.
(1)证明:;
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【详解】
(1)∵,,∴
∵底面,平面,∴
又,∴平面
∵面,
∴
(2)
∵为的中点,
∴,到平面的距离相等,
∴
中,,,
∴,∴
∵,分别为,的中点,
∴,,
由底面知,∴
∴
∵,作,垂足为,则面,
在中,,,
∴
∴
2.如图,三棱锥中,面,△为正三角形,点在棱上,且,、分别是棱、的中点,直线与直线交于点,直线与直线交于点,,.
(1)求证:;
(2)求几何体的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【详解】
证明:(1)∵、分别是棱、的中点,
∴,
∵平面,平面,
∴平面,
∵平面,平面平面,
∴,则;
(2)∵△为正三角形,且边长为6,面,,
∴,
又,∴,到的距离为,
则,
到平面的距离为到平面距离的一半,为.
∴,
则.
3.如图,在等腰中,,,,分别为,的中点.将沿直线折起到的位置,连接,,得到如图所示的四棱锥,点为的中点.
(1)证明:平面;
(2)当时,求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2)2.
【详解】
(1)取中点,分别连接、,
∵、分别为、中点,∴,
∵平面,平面∴平面,
又∵,分别为,的中点,∴,,
∴四边形为平行四边形,∴,
∵平面,平面,∴平面,
∵,∴平面平面,
∵平面,∴平面
(2)如图,分别取,的中点,,连接,,,
由题意,知,,
在中,,
在中,∵,
∴,∴,
又∵,,且,平面,
∴平面.
∵,∴四棱锥的体积.
又∵,
∴四棱锥的体.
4.如图矩形是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图,其中,.
(1)画出平面四边形OABC的平面图并标出边长,并求平面四边形OABC的面积;
(2)若该四边形OABC以OA为旋转轴,旋转一周,求旋转形成的几何体的体积及表面积.
【答案】(1)平面图见解析,面积为;(2)体积为,表面积为.
【详解】
(1)平面四边形的平面图如下图所示:
由直观图可知菱形的高为:,
所以面积为;
(2)旋转而成的几何体如下图所示:
该几何体可以看成圆柱挖去一个同底的圆锥再加上一个同底的圆锥,
由(1)可知圆柱的底面圆半径为,母线长为,
所以体积;
所以表面积.
典例二、立体几何中的探索类问题
1.如图,正三棱柱的底面边长为2,高为,过的截面与上底面交于且点P棱的中点,点Q在棱上.
(1)试在棱上找一点D,使得平面,并加以证明;
(2)求四棱锥的体积.
【答案】(1)D为的中点,证明见解析;(2)
【详解】
(1)D为的中点时,平面.
证明如下:
平面,平面,平面平面,
,平面,平面,所以平面,
又D为的中点,是平行四边形,,
又平面,平面,面,
又与在平面内相交,面面,
又面,平面;
(2)连接,四棱锥可视为三棱锥和组合而成,
三棱锥可视为,底面积,高为,
设,
体积为.
三棱锥与等高,体积比为底面积之比,
设,
则,故,
因此,,即为所求.
2.如图所示,在四棱锥中,平面PAD,,E是PD的中点.
(1)求证:;
(2)线段AD上是否存在点N,使平面平面PAB,若不存在请说明理由:若存在给出证明.
【答案】(1)证明见解析;
(2)存在,当点是的中点时满足题意. 证明见解析解.
【详解】
(1)因为平面,平面,平面平面,所以;
(2)存在,且当点是的中点时,平面平面. 下面给出证明:
因为、分别是、的中点,所以,
又平面,平面,所以平面.
由(1)知,,又是的中点,,所以,所以四边形是平行四边形,从而,
又平面,平面,所以平面.
又因为,所以,平面平面
3.如图,四棱锥中,四边形ABED是正方形,若G,F分别是线段EC,BD的中点.
(1)求证:平面ABC.
(2)在线段CD上是否存在一点P,使得平面平面ABC?并说明理由.
【答案】(1)证明见详解;(2)P为线段CD中点,理由见详解.
【详解】
证明:由四边形ABED为正方形可知,
连接AE必与BD相交于中点F,又G是线段EC的中点,故,
面ABC,面ABC,
面ABC;
当P为线段CD中点时,有平面平面ABC,
证明:由点分别为中点可得:
面ABC,面ABC,
面ABC,
由可知,面ACD,
且,
故平面平面ABC.
4.如图,在多面体中,底面为正方形,四边形是矩形,平面平面
(1)求证:平面平面;
(2)若过直线的一个平面与线段和分别相交于点和(点与点 均不重合),求证:;
(3)判断线段上是否存在一点,使得平面平面?若存在,求的值;若不存在,
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)存在;.
【详解】
(1)证明:∵四边形是正方形,.
又∵平面平面,平面平面,
且平面,∴平面.
又平面,∴平面平面.
(2)证明:平面平面,∴平面,
又平面,平面平面,
又,.
(3)解:线段上存在一点,使得平面平面,此时.
证明如下:设 的中点为,连接,
因为平面平面,
所以平面.设,连接,
在△中,因为,所以,
又因为平面平面,所以平面.
又因为平面,所以平面平面.
5.如图,四棱锥中,底面是平行四边形,E为中点.
(1)求证:平面;
(2)若M,N分别是线段的中点,F是直线上的动点,则线段上是否存在点G,使得平面?若存在,请求出的比值:若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)存在点G,使得平面,且.
【详解】
(1)证明:连接交于,再连接,
因为四边形为平行四边形,
所以为的中点,
又为的中点,
所以在中,,
又平面,平面,
所以平面.
(2)存在点G,使得平面.
与的交点记为.
当为的中点时,
可知,
所以,
M,N分别是线段的中点,
所以,
又,且平面,平面,
所以平面平面,又平面,
所以当为的中点时,即时,平面.
典例三、线面夹角
1.如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱底面,E是的中点.
(1)证明:平面;
(2)若,求直线与底面所成角的正切值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【详解】
(1)证明:连接交于.
在正方形中,有,
又是的中点,所以,平面,平面
所以直线平面.
(2)解:取的中点.
由为的中位线,得,
又底面,得底面,
所以是直线与底面所成角.
设,
因为,,
所以.
所以直线与底面所成角的正切值为.
2.如图,四边形ABCD为菱形,四边形ACFE为平行四边形,设BD与AC相交于点G,,,,.
(1)证明:平面平面ABCD;
(2)若AE与平面ABCD所成角为45°,求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【详解】
(1)连接EG,因四边形ABCD为菱形,则,,,
在和中,,,,
有,得,即有,因,平面ACFE,平面ACFE,从而得平面ACFE,
又平面ABCD,所以平面平面ABCD;
(2)由(1)知,斜线EA在平面ABCD内的射影是AC,故为AE与面ABCD所成的角,即,
菱形ABCD中,,,则,,而,有,
又平面ACFE,则四棱锥E-ABCD的体积为:
3.如图,四棱台的底面为正方形,面,.
(1)求证:平面;
(2)若平面平面,求直线m与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【详解】
(1)证明:连结交交于点O,连结,,
由多面体为四棱台可知四点共面,
且面面,面面,面面,
∴,
∵和均为正方形,,
∴,所以为平行四边形,
∴,面,面,
∴平面.
(2)
∵面,平面,平面,
∴,又∵,∴
∴求直线m与平面所成角可转化为求与平面所成角,
∵和均为正方形,,且,
∴,,∴,
又∵面,∴
∴面,∴面面,
由面面,设O在面的投影为M,则,
∴为与平面所成角,
由,可得,又∵,
∴
∴,直线m与平面所成角的正弦值为.
4.已知直角梯形,,,,为的中点,将沿翻折至.
(1)求证:;
(2)若,求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【详解】
(1)过点P作PE⊥BD于E,连接EF,中,令PD=1,则BD=2PD=2,,,如图:
直角梯形中,显然有,而,则,又,即△为正三角形,
而为的中点,则,又,中,由余弦定理得,
即,是直角三角形,有,而PE⊥BD,,
所以面,面,故;
(2)过B作BQ⊥平面PAD与平面PAD交于点Q,连接PQ,则PQ是PB在平面PAD内射影,是直线PB与平面PAD所成角,如图:
因面,即平面面,平面面,过点P作PO⊥EF于O,则面,
由(1),,,
中,PD=DF=1,则,
,,
由得,即,,,
所以与平面所成角的正弦值为.
5.已知三棱柱,是正三角形,四边形是菱形且,是的中点,.
(1)证明:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【详解】
(1)设中点为,连结,,如图:
由得,由是正三角形得,
又,故平面,因此;
(2)三棱柱中,四边形是菱形,设中点为,平面交于,连结,设,
平面ABC//平面A1B1C1,平面平面ABC=AD,平面平面A1B1C1=MN,
则,而AC//A1C1,由等角定理得,,则有,
M是A1C1中点,,即得,
由(1)平面得平面平面,则为在平面内的射影,
四边形AMNE为平行四边形,即AM//EN,所以为与平面所成的角,
由四边形是直角梯形,得,
中,,则,
中,,,,
所以,直线与平面所成角的正弦值为.
典例四、二面角
1.如图,圆柱,矩形为过轴的圆柱的截面,点为弧的中点,点为的中点.
(1)求证:平面;
(2)若,三棱锥的体积为,求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【详解】
(1)矩形为过轴的圆柱的截面,设,连接,则为中点,如图:
点为弧的中点,则CC1是圆柱OO1的母线,是矩形,点为的中点,则,,
有四边形是平行四边形,,平面,平面,
所以平面;
(2)设圆锥底面半径,由点C是弧AB中点得,因,三棱锥的体积为,平面,
三棱锥的体积,即,得,,
取中点,连接,如图:
因,平面平面,则有平面,
而,则,,
,,为二面角的平面角,
由,得:.
所以二面角的余弦值为.
2.如图,在多面体ABCDE中,平面ACDE⊥平面ABC,四边形ACDE为直角梯形,CD∥AE,AC⊥AE,∠ABC=60°,CD=1,AE=AC=2,F为BE的中点.
(1)当BC的长为多少时,DF⊥平面ABE.
(2)求平面ABE与平面BCD所成的锐二面角的大小.
【答案】(1)BC=2;(2)60°.
【详解】
(1)取AB的中点G,连接FG,CG,∵F为BE的中点
∴,又∵,∴
∴四边形CDFG为平行四边形,∴CG//DF
∵平面ACDE⊥平面ABC,平面ACDE平面
∴AE⊥平面ABC,∴AE⊥CG,
要使DF⊥平面ABE,则只需CG⊥平面ABE,由线面垂直定理,只需,故BC=2.
BC=2时,,又,,平面,
所以平面,即DF⊥平面ABE;
(2)过B作BHCD,则,连接,所以平面平面=,
证明如下:设平面平面平面=,由,平面,平面,得平面,所以,即,而平面的交线只有一条,所以.
由(1),同理,所以,
则即所求二面角的平面角
而,∴所成锐二面角为.
3.已知是正三角形,线段和都垂直于平面,且,为的中点,设平面平面 .
(1)求证:;
(2)当平面与平面所成的锐二面角为时,求几何体的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【详解】
(1)证明:如图所示,延长、交于点,连接,
平面,平面,,
,所以,、分别为、的中点,
为的中点,所以,,
平面,平面,平面,平面,
所以,平面平面,因此,;
(2)是等边三角形,且为的中点,则,
则,所以,,故,即,
因为平面,平面,,
,平面,
平面,,
故平面与平面所成的锐二面角为,
所以,为等腰直角三角形,且,则,
,,
,
因此,几何体的体积为.
4.如图,在棱柱中,底面为平行四边形,,,且在底面上的投影恰为的中点.
(1)过作与垂直的平面,交棱于点,试确定点的位置,并说明理由;
(2)若二面角为,求棱柱的体积.
【答案】(1)是中点,证明见解析;(2).
【详解】
(1)是中点,证明如下:
平行四边形中,,,则,,,所以,
取中点,是中点,则,所以,
又平面,平面,所以,,平面,所以平面.
(2)二面角为,则二面角为,作交延长线于,连接,则是平行四边形,,是中点,所以是中点,,
由是等边三角形,所以,
所以,,
因此平面,所以平面,而平面,所以,
,平面,所以平面,
又平面,所以,所以是二面角的平面角,所以,
又,所以,
,
所以棱柱为.
5.如图,点是腰长为2的等腰直角三角形的底边的中点,于点,将沿折起,此时点记作点.
(1)当三棱锥的体积最大时,证明:平面平面;
(2)若二面角的大小为120°,求三梭锥的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【详解】
解:(1)证明:如图,要使三棱锥的体积最大,则平面平面,
所以平面.
又平面,所以.
又,,平面,平面,
所以⊥平面.又平面,
所以平面⊥平面.
(2)如图,由题意知,,,
而二面角的大小为120°,所以.
根据折叠过程可程,所以,
所以三棱锥的高,
所以三棱锥的体积.
典例五、点面距离
1.如图,四棱锥中,平面,四边形为正方形,点M、N分别为直线上的点,且满足.
(1)求证:平面;
(2)若,,求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【详解】
(1)连接BD,∵,
∴MN∥BD,
∵MN平面ABCD,BD平面ABCD,
∴MN∥平面ABCD.
(2)设N点到平面PBC的距离为d1,D点到平面PBC的距离为d2,
∵,
∴,
依题可得VD-PBC=VP-DBC,
又PA⊥平面ABCD,
∴VP-DBC=SΔBCD·PA=,
∴VD-PBC=SΔPBC·d2=,
∵四边形ABCD为正方形,
∴CB⊥AB,
又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC,
∵PA∩AB=A,
∴BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,
依题可得SΔPBC=,
∴,
∴,
即点N到平面PBC的距离为.
2.已知直角梯形ABCE中,,,,,,以AD为折痕将折至处,得到四棱锥.
(1)求证:;
(2)连接AC、BD交于点F,当三棱锥体积最大时,求点F到平面PCD的距离.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【详解】
(1)证明:由可知点D为线段EC靠近点C的三等分点,
,,中,
而为等边三角形,
也是等边三角形,取AD中点M,连接MB、MP则,
而,平面
(2)解与交于点
当三棱锥体积最大时,平面平面
由(1)可知等边中,而平面平面,
平面平面
,而等边中,,
,中,,,
由余弦定理得
中,中,
点F到平面PCD的距离
3.已知多面体如图所示,其中四边形为矩形,,平面.
(1)求证:平面;
(2)若,点到平面的距离为,求的值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【详解】
(1),则,,
,平面,
平面,,
平面,平面,所以,平面,
四边形为矩形,则,
平面,平面,平面,
,所以,平面平面,
平面,故平面;
(2)因为四边形为矩形,则,
由(1)可知,平面,则,
平面,、平面,,,
故,,,
取的中点,连接,则,
,
所以,,
由题意可得,即,
化简可得,故.