专题05 立体几何初步（知识点清单）——高一数学下学期期末专项复习学案+期末模拟卷（人教B版2019）

专题05 立体几何初步【知识梳理】

一、空间几何体的结构及其表面积、体积

1.空间几何体的结构特征

(1)多面体的结构特征

(2)旋转体的结构特征

2.直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.

3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

4.空间几何体的表面积与体积公式

【例题1】下列说法正确的是（    ）

A．直四棱柱是长方体

B．两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台

C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形

D．平行六面体不是棱柱

【答案】C

【详解】

直四棱柱的底面不一定是长方形，因此不一定是长方体，A错；

两个平面平行，其余各面是梯形的多面体，当侧棱延长后不交于同一点时，就不是棱台，B错；

正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，C正确；

平行六面体一定是棱柱，D错．

故选：C．

【例题2】如图的正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

如图所示，

由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变，

正方形的对角线在轴上，

可求得其长度为，故在原平面图中其在轴上，

且其长度变为原来的2倍，长度为，

所以原来的图形是平行四边形，

其在横轴上的边长为1，高为，

所以它的面积是．

故选：A

【跟踪训练1】棱长为a的正四面体的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【跟踪训练2】棱长都是3的三棱锥的表面积S为（    ）

A． B． C． D．

【跟踪训练3】已知三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，且，，若已知，，，，则球O的体积是（    ）

A． B． C． D．

二、平面的基本性质与推论

1.平面的基本性质

基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.

基本性质2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.

基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.

2.空间点、直线、平面之间的位置关系

3.异面直线所成的角

(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

(2)范围：.

【例题1】下列说法正确的是（    ）

A．三点确定一个平面

B．一条直线和一个点确定一个平面

C．梯形一定是平面图形

D．过平面外一点只有一条直线与该平面平行

【答案】C

【详解】

A：不在一条直线上的三点确定一个平面，三点在一条直线上时不能确定平面，不正确；

B：点在直线上时，不能确定平面，不正确；

C：梯形有两条边平行，两条平行线确定一个平面，梯形的两腰也在平面内，正确；

D：过平面外一点与平面平行的平面内，过该点的直线都符合条件，不正确.

故选：C.

【例题2】A，B，C表示不同的点，n，l表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列推理表述不正确的是（    ）

A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α

B．A∈α，A∈β，B∈β，B∈α⇒α∩β＝直线AB

C．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合

D．lα，nα，l∩n＝A⇒l与n不能确定唯一平面

【答案】D

【详解】

由平面性质的三个公理得选项A正确；

由题得，所以α∩β＝直线AB，所以选项B正确；

因为不共线的三个点只能确定一个平面，所以α与β重合，所以选项C正确；

lα，nα，l∩n＝A， l与n能确定唯一平面，所以选项D不正确.

【跟踪训练1】已知为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是（    ）

A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β

B．M∈，M∈β，N∈，N∈β⇒

C．A∈，A∈β⇒

D．A∈，B∈，M∈，A∈β，B∈β，M∈β，且A，B，M不共线⇒，β重合

【跟踪训练2】如图所示，用符号语言可表述为（    ）

A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A

B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A

C．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n

D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n

【跟踪训练3】在正方体中，E，F，G，H分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E，F，G，H四点共面的是（    ）

A． B．

C． D．

三、空间中的平行关系

1.平行直线

(1)平行公理

过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.

(2)基本性质4(空间平行线的传递性)

平行于同一条直线的两条直线互相平行.

(3)定理

如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.

2.直线与平面平行

(1)直线与平面平行的定义

直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.

(2)判定定理与性质定理

3.平面与平面平行

(1)平面与平面平行的定义

没有公共点的两个平面叫做平行平面.

(2)判定定理与性质定理

【例题1】已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【详解】

A.直线也可能相交或者异面；

B.若在平面内则不成立；

C.直线也可能异面；

D.因为 ，所以，且，故.

【例题2】如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS不是共面直线的图是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

对于A：

根据正方体结构特点以及中位线的性质可知：，故共面；

对于B：

根据正方体结构特点以及中位线的性质可知：，故共面；

对于C：

根据正方体结构特点可知：既不相交也不平行，故不共面；

对于D：

根据正方体结构特点以及中位线的性质可知：相交，故共面；

故选：C.

【跟踪训练1】已知在正四面体中，点为棱的中点，则异面直线与成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【跟踪训练2】在正四棱锥中，面于，，底面的边长为，点分别在线段上移动，则两点的最短的距离为（    ）

A． B． C． D．

【跟踪训练3】如图，是正方体的棱上的一点（不与端点重合），平面，则（    ）

A． B． C． D．

四、空间的垂直关系

1.直线与平面垂直

(1)直线与平面垂直的定义

如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直.

(2)直线与平面垂直的判定定理及其推论

2.直线和平面所成的角

(1)定义：一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.

(2)范围：.

3.二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；

(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.

(3)二面角的范围：[0，π].

4.平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直.

(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理

【例题1】已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则以下命题正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】D

【详解】

对于A，若，，则或异面，故A错.

对于B，若，，则或异面或相交，故B错.

对于C，若，，则可平行于平面或在平面内或与平面相交，

故C错误.

对于D，因为，故在平面存在直线，使得，而，

故，因为，故，故D正确.

故选：D.

【例题2】如图，在矩形中，，，为边的中点，沿将折起，在折起的过程中，下列结论能成立的是（    ）

A．平面 B．平面

C．平面 D．平面

【答案】B

【详解】

因为在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为DC边的中点，

则在折起过程中，D点在平面BCE上的射影的轨迹为为O1O2(如图)．

因为折起过程中，DE与AC所成角不能为直角，所以DE不垂直于平面ACD，故A错；

因为AD⊥ED，并且在折起过程中，当点D的射影位于O点时，有AD⊥BD，所以在折起过程中AD⊥平面BED能成立，故B正确；

折起过程中，BD与AC所成的角不能为直角，所以BD不垂直于平面ACD，故C错；

只有D点射影位于O2位置，即平面AED与平面AEB重合时，才有BE⊥CD，所以折起过程中CD不垂直于平面BED，故D错.

故选：B.

【跟踪训练1】在棱长为的正方体中，为的中点，为正方体内部及其表面上的一动点，且，则满足条件的所有点构成的平面图形的面积是（    ）

A． B． C． D．

【跟踪训练2】在直角三角形中，，D的斜边的中点，将沿直线翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得，则x的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【跟踪训练3】在正方体中，下列判断正确的是（    ）

A．面 B．面 C．面 D．