专题05 立体几何初步（专题练习）——高一数学下学期期末专项复习学案+期末模拟卷（人教B版2019）

专题05 立体几何初步【专项训练】

一、单选题

1．下列说法不正确的是（    ）

A．三棱锥是四面体 B．三棱台是五面体

C．正方体是四棱柱 D．四棱柱是长方体

【答案】D

【详解】

解：根据棱柱、棱锥、棱台的定义，选项A、B、C正确；

对选项D：只有底面是矩形的直四棱柱才是长方体，所以四棱柱是长方体不正确；

故选：D.

2．棱长为a的正四面体的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

因为正四面体是各面都是全等的等边三角形，

又该正四面体的棱长为，

所以该正四面体的表面积为.

故选：D.

3．一个凸多面体的面数为8，各面多边形的内角和为，则它的棱数为（    ）

A．24 B．22 C．18 D．16

【答案】D

【详解】

凸多面体的面数为8，各面多边形的内角和为，

故每个面的内角和可看成，

故每个面应为四边形，

由于两个面共用一条棱，

故它的棱数为：，

故选：D．

4．A，B，C表示不同的点，n，l表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列推理表述不正确的是（    ）

A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α

B．A∈α，A∈β，B∈β，B∈α⇒α∩β＝直线AB

C．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合

D．lα，nα，l∩n＝A⇒l与n不能确定唯一平面

【答案】D

【详解】

由平面性质的三个公理得选项A正确；

由题得，所以α∩β＝直线AB，所以选项B正确；

因为不共线的三个点只能确定一个平面，所以α与β重合，所以选项C正确；

lα，nα，l∩n＝A， l与n能确定唯一平面，所以选项D不正确.

5．已知直角梯形上下两底分别为分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（    ）

A． B． C．3 D．6

【答案】C

【详解】

如图所示，实线表示直观图，.

,

,

∴直观图的面积为,

故选：C.

6．如图正三棱柱的底面边长为，高为2，一只蚂蚁要从顶点沿三棱柱的表面爬到顶点，若侧面紧贴墙面（不能通行），则爬行的最短路程是（    ）

A． B． C．4 D．

【答案】A

【详解】

将侧面与展开，如图：

连接，则.

将侧面与展开，如图：

连接，则

故选：A

7．如图，在矩形ABCD中，，为边AB的中点，将沿直线DE翻折成△．若为线段的中点，则在翻折过程中，下列结论中正确的有：（    ）

①总存在某个位置，使平面；

②总有平面；

③存在某个位置，使．

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

【答案】A

【详解】

在①中，总存在某个位置，使平面，①正确；

在②中，取中点，连接，，则且，且，

由与，可得平面平面，

总有平面，故②正确；

在③中，在平面中的射影为，与不垂直，

与不垂直，故③错误．

故选：A．

8．在直角三角形中，，D的斜边的中点，将沿直线翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得，则x的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由题意得，则，如图所示，取中点，

翻折前，在图1中，连接，，则，

翻折后，在图2中，若，则有：

∵，，，且平面，

∴平面，∴，

又，为中点，∴

∴，，

在中，由三边关系得：①，②，③；

由①②③可得

当时，，则三点共线，同时满足，

所以

二、多选题

9．已知，，是三条直线，是一个平面，下列命题不正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】BC

【详解】

对A，根据直线平行的传递性，故A正确；

对B，垂直于同一直线的两个直线可以相交、平行、异面，故B错误；

对C，平行同一平面的两条直线可以平行、相交、异面，故C错误；

对D，垂直于同一平面的两条直线平行，故D正确.

故选：BC

10．已知、、为三条不同的直线，且平面，平面，，则下列命题中错误的是（    ）.

A．若与是异面直线，则至少与、中的一条相交

B．若不垂直于，则与一定不垂直

C．若，则必有

D．若、，则必有

【答案】BD

【详解】

A选项，若与是异面直线，则至少与、中的一条相交，故A正确；

B选项，时，若，则，此时不论，是否垂直，均有，故B错误；

C选项，当时，则，由线面平行的性质定理可得，故C正确；

D选项，若，则，时，与平面不一定垂直，此时平面与平面也不一定垂直，故D错误，

故选：BD.

11．已知图1中的正三棱柱的底面边长为2，体积为，去掉其侧棱，再将上底面绕上下底面的中心所在的直线，逆时针旋转后，添上侧棱，得到图2所示的几何体，则下列说法正确的是（    ）

 图1               图2

A．平面ABC

B．

C．四边形为正方形

D．正三棱柱，与几何体的外接球体积相同

【答案】ACD

【详解】

由，可得平面ABC，所以A正确.；

作平面，垂足为 ，连结、，则，     

 所以，所以B错；

由A、B选项的上述判断过程可知四边形为菱形，

又平面，所以，

故四边形为正方形，C正确；

因为旋转前与旋转后几何体的外接球不变，故D正确.

故选: ACD.

12．如图，正方体的棱长为1，E，F是线段上的两个动点，且，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．平面ABCD

C．的面积与的面积相等 D．三棱锥的体积为定值

【答案】ABD

【详解】

由于，故平面，所以，所以A正确；

由于，所以平面，故B正确；

由于三角形和三角形的底边都是，而高前者是到的距离，后者是到的距离，这两个距离不相等，故C错误；

由于三棱锥的底面三角形的面积为定值.高是点到平面也即点到平面的距离也是定值，故三棱锥的体积为定值.故D正确.

故选：ABD

三、解答题

13．如图，某几何体的下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：

（1）该几何体的体积；

（2）该几何体的表面积.

【详解】

连接，交于点，取的中点，连接，，

（1）

∴

（2）∵，

∴

14．在正方体中，是棱的中点．

（1）求证：平面．   

（2）若是棱的中点，求证：平面平面．

【详解】

（1）连，使，连．

∵是正方形，，．

又是中点，，

，

又平面，平面，

∴平面．   

（2）∵是棱的中点，是棱的中点．

且，

是平行四边形，

，又平面，平面，

平面，

由（1）平面，又 ，

∴平面//平面．

15．如图，已知在长方体中，，，点是的中点．

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积．

【详解】

（1）因为四边形为矩形，且，则为的中点，

又因为为的中点，则，

平面，平面，因此，平面；

（2）因为，，且为的中点，

所以，，

在长方体中，平面，

因此，.