专题05函数（知识点清单）——高二数学下学期期末专项复习学案+期末模拟卷（人教B版2019）

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专题05 函数【知识梳理】一、函数的概念1.函数的概念设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则f，对A中的任意数x，都有唯一确定的数y与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2.函数的定义域、值域(1)函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数.(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.【例题1】下列图形中，不可能是函数图象的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】根据函数的定义，一个自变量对应唯一的函数值，表现在图像上，用一条垂直于轴的直线交函数图像，至多有一个交点．所以D不是函数图像．故选：D【例题2】已知函数则=（    ）A． B．9 C． D．【答案】A【详解】,所以.故选：A【跟踪训练1】下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ）A．与 B．与C．与 D．与【答案】D【详解】解析：A选项中定义域不同，的定义域为，而定义域为；B选项定义域与值域都不相同，的定义域和值域都为，的定义域和值域都为 ；C选项定义域不同，的定义域为，的定义域为 ；D选项两个函数的定义域都为，值域都为．故选：D【跟踪训练2】已知定义在上的函数满足：，，，且，则（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【详解】因，，，且，取x=0，y=1有，则，取x=y=1有，所以5.故选：B【跟踪训练3】已知函数，若，则实数a的取值范国是（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为.①当时，.②当时，.③当时，.综上所述：. 二、函数的性质1.函数的单调性(1)单调函数的定义 增函数减函数定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间.2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值3.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点奇函数设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数关于原点对称偶函数设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数关于y轴对称4.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【例题1】设为奇函数，且当时，，则当时，（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，则，，设为奇函数，，即．故选：D．【例题2】已知是定义在上的偶函数，且在上是减函数，设，，，则a，b，c的大小关系是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上是减函数，所以在上递增，且，所以．【跟踪训练1】若存在正数使成立，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题设，知：使成立，令，，∴时有，而，∴仅需时，在，使得成立.【跟踪训练2】已知实数，，，满足，且，，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，所以且，令，则，且，所以，又因为且，所以且，所以，所以，所以，当时，，因为在上单调递减，所以在上单调递增，当时，，当时，，所以；当时，，因为、在上单调递增，所以在上单调递减，当时，，当时，，所以，综上可知：，故选：D.【跟踪训练3】函数的图像大致为（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，D；因为，所以排除C，故选：A. 三、指对幂函数1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.2.对数的概念一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1).其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”.3.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④loga mMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).4.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质    a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数5.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N+，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N+，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.6.指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质 a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数【例题1】已知实数，，满足，，，则（    ）A．2 B．1 C． D．【答案】C【详解】∵，，，∴，，，∴，，，∴ ．【例题2】已知，则的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，函数是单调增函数，所以比较a，b，c的大小，只需比较当时的大小即可.用特殊值法，取，容易知，再对其均平方得，显然，所以，所以【跟踪训练1】设，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，，，所以，即 所以【跟踪训练2】已知函数，若对于任意一个正数，不等式在上都有解，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】当时，，得，，不能满足都有解；当时，，得或，如图，当或时，只需满足或，满足条件.所以，时，满足条件.【跟踪训练3】函数，则使得成立的的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】由得：或，定义域为；，为偶函数；当时，，又在上单调递增，在上单调递增，又在上单调递减，在上单调递增，为偶函数，在上单调递减；由得：，解得：；又，，或，即使得成立的的取值范围为. 四、函数的应用1.函数的零点(1)函数零点的概念如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数2103.指数、对数、幂函数模型性质比较　　函数性质　　　y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同4.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与对数函数相关模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与幂函数相关模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)【例题1】函数，则函数的零点所在区间是（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数的图象在上连续，且函数在上单调递增，因为，，所以，，，因此，函数的零点所在的区间为.故选：C.【例题2】已知，函数，则方程的实根个数最多有（    ）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个【答案】C【详解】由基本不等式可得或，作出函数，的图像，如下：   且，①当时，，故方程的实数根个数为2；②当时，或，故方程的实数根个数为；③当时，或或，故方程的实数根个数为6；④当时，或或，故方程的实数根个数为5；⑤当时，或，故方程的实数根个数为；⑥当时，或，故方程的实数根个数为；⑦当时，或，故方程的实数根个数为4；综上可知，则方程的实根个数最多有6个，【跟踪训练1】若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意知，当时，.当时，设，则函数的图象与直线有两个不同的交点.当时，，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，且，当时，，作出函数的大致图象如图所示.数形结合可知，实数的取值范围是.【跟踪训练2】已知函数的图象关于直线对称，则下面不是的零点为（  ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意得，所以代入选项验证可知.都是函数的零点，不是函数的零点，故选：C.【跟踪训练3】设是常数，若函数不可能有两个零点，则b的取值情况不可能为（    ）A．或 B．C．1 D．【答案】D【详解】令，即或.显然是的一个零点.下面讨论的根的情况：（1）b=0时，.不符合题意.（2）b≠0时，①若时，有或，此时没有实数根，符合题意；②若时，有或，若，的根为，所以有一个零点，符合题意；若，的根为，所以有两个零点，不符合题意；③若时，有或，此时有实数根，要使函数不可能有两个零点，只需不是的根，所以，即， 符合题意；