2022-2023学年山东省青岛市莱西市高二（下）期中数学试卷-普通用卷

2022-2023学年山东省青岛市莱西市高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  对于样本相关系数，下列说法正确的是(    )

A. 样本相关系数
B. 样本相关系数越小，成对样本数据的线性相关程度越弱
C. 当时，成对样本数据没有任何相关关系
D. 当时，成对样本数据正相关且两个分量之间满足一种线性关系

2.  设函数，下列说法正确的为(    )

A. 当自变量从变化到时，函数的平均变化率为
B. 在处的瞬时变化率为
C. 在上为减函数
D. 在时取极小值

3.  若随机变量，则下列结论错误的为(    )

A.  B.
C.  D.

4.  五个人站队排或一行，若甲不站排头，乙不站排尾，则不同排法的种数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某集团公司为了解新产品的销售情况，销售部在上一个月的日至日连续五天对某个大型批发市场中该产品一天的销售量及其价格进行了调查，其中该产品的价格元与销售量万件的统计资料如下表所示：

已知销售量万件与价格元之间具有线性相关关系，其经验回归方程为，若该集团公司将该产品定价为元，预测该产品在该批发市场的日销售量约为(    )

A. 万件 B. 万件 C. 万件 D. 万件

6.  已知函数在区间上为减函数，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  现有道四选一的单选题，学生甲对其中的道题有思路，道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为学生甲从这道题中随机选择题，他做对的概率(    )

A.  B.  C.  D.

8.  给出定义：设是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”已知函数的拐点为，则下列结论正确的为(    )

A.  B. 点在直线上
C.  D. 点在直线上

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  设随机变量服从正态分布，若，则下列结论正确的为(    )

A.  B.
C.  D.

10.  已知随机变量的分布列为

若随机变量，，，则下列选项正确的为(    )

A.  B.
C.  D.

11.  若函数在的定义域上单调递增，则称函数具有性质下列函数中具有性质的为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  在独立性检验中得到如下列联表：

已知，，根据上面的列联表，若依据小概率值的独立性检验，可以认为这两个分类变量和没有关系，则下列选项中可能取到的为(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共18.0分）

13.  曲线在点处的切线的一般式方程为______ ．

14.  的展开式中，的系数是______ ．

15.  设函数在上有定义，对于给定的正数，定义函数，设函数，若对任意的，均有，则实数的取值范围为______ ．

16.  用，，，，，组成无重复数字的四位数，将所有这些不同的四位数按小到大的顺序排列，构成一个数列，则 ______ ； ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
试分别解答下列两个小题：
Ⅰ在篮球比赛中，罚球命中次得分，不中得分，如果某运动员罚球命中的概率为，求他罚球次的得分的期望和方差；
Ⅱ日常生活中的饮用水通常是经过净化的随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断提高，已知将吨水净化到纯净度为时所需净化费用单位：元与成反比，若，且在时，对于吨水所需净化费用的瞬时变化率为元吨，求将吨水净化到纯净度为时，所需净化费用的瞬时变化率．

18.  本小题分
试分别解答下列两个小题：
Ⅰ用，，，，，这六个数字组成无重复数字的自然数，记能组成的不同的四位偶数的个数为，能组成的和相邻的不同的六位数的个数为，求；
Ⅱ在的二项展开式中，记各项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，若，试求出展开式中所有的有理项．

19.  本小题分
已知函数的图象与轴的交点为，曲线在处的切线方程为，若函数在处取得极值．
Ⅰ求函数的解析式；
Ⅱ求函数在区间上的最大值和最小值及相应的．

20.  本小题分
某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与地感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了至月份每月份日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：

该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取组，用剩下的组数据求出关于的经验回归方程，再用被选取的组数据进行检验．
Ⅰ求选出的组数据不是相邻两个月的概率；
Ⅱ若选取的是月和月的两组数据，请根据至月份的数据求出关于的经验回归方程；
Ⅲ对于月份和月份的因患感冒而就诊的人数，若根据Ⅱ中的经验回归方程估计出的数据与表格给出的相应的数据的差的绝对值均不超过人，则认为Ⅱ中得到的经验回归方程是理想的，试问该兴趣小组得到的经验回归方程是否理想？请说明理由．
附：回归直线方程为，其中，．

21.  本小题分
某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有，，，四个问题，规则如下：
每位参加者计分器的初始分均为分，答对问题，，，分别加分、分、分、分，答错任一题减分；
每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于分时，答题结束，海次出局；当累计分数大于或等于分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足分时，答题结束，淘汰出局；
每位参加者按问题，，，顺序作答，直至答题结束．
假设甲同学对问题，，，回答正确的概率依次为，，，且各题回答正确与否相互之间没有影利．
Ⅰ求甲同学能进入下一轮的概率；
Ⅱ用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学期望．

22.  本小题分
已知函数．
当时，恒成立，求实数的取值范围；
Ⅱ证明：对一切的，．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：对于，样本相关系数，故A错误；
对于，样本相关系数越小，成对样本数据的线性相关程度越弱，故B错误；
对于，当时，成对样本数据没有线性相关关系，可能有其他相关关系，故C错误；
对于，当，两个变量呈正线性相关，成对样本数据正相关且两个分量之间满足一种线性关系，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合相关系数的定义，即可依次求解．
本题主要考查相关系数的定义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：函数，则，
，，
当自变量从变化到时，函数的平均变化率为，故A正确；
在处的瞬时变化率为，故B错误；
令，则，
当时，，则在上单调递增，故C错误；
当时，，则在上单调递减，
故在时取极大值，故D错误．
故选：．
根据平均变化率的定义，即可判断；根据瞬时变化率的定义，即可判断；根据导数判断单调性，求出极值，即可判断．
本题考查导数的综合应用，属于中档题．
 

3.【答案】 

【解析】解：随机变量，
则，
，故A正确；
，故B错误；
，，故CD正确．
故选：．
根据已知条件，结合二项分布的概率、期望、方差公式，即可求解．
本题主要考查二项分布的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：当甲站排尾时，有种不同的排法，
当甲不站排尾时，有种不同的排法，
则符合题意的不同排法的种数为种．
故选：．
分甲站排尾和甲不站排尾讨论，再由加法原理得解．
本题考查排列组合的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
因为线性回归直线恒过样本中心点，将代入回归直线方程得，
所以，将代入得．
故选：．
利用线性回归直线恒过样本中心点，得到，将代入即可求解．
本题考查了回归方程的计算，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意得，
函数在区间上为减函数，
在上恒成立，即在上恒成立，
令，，则，
在上单调递减，即，
，即的取值范围为
故选：．
由题意得，题意转化为在上恒成立，即在上恒成立，构造函数，，求出的最小值，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，设事件选出的题为有思路的，事件选出的题为没有思路的，
则，，
则学生甲做对的概率．
故选：．
根据题意，设事件选出的题为有思路的，事件选出的题为没有思路的，求出、的值，由全概率公式计算可得答案．
本题考查全概率公式，涉及条件概率的计算，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，
令，则，
，，A错误，
，，
点在直线上，B正确，D错误，
，，错误．
故选：．
求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于，即可得到拐点，求解即可．
本题考查了函数的导函数零点的求法，是中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，随机变量服从正态分布，则，C错误；
若，则，A正确；
，B错误；
，D正确．
故选：．
根据题意，结合正态分布的性质，求出的值，由此依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查正态分布的性质以及应用，关键分析的值，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得，，解得，A正确；
，
，
，
，
由可得，，，故B错误，C正确；
，D正确．
故选：．
根据离散型随机变量的分布列的性质可求得和，利用离散型随机变量期望和方差公式即可求得，．
本题考查离散型随机变量的分布列的性质，考查期望与方差的性质，是中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于：，则，显然在上单调递减，故A错误；
对于：，则，显然在上单调递增，故B正确；
对于：，则，则，
在上单调递增，故C正确；
对于：，则，则，
当时，，即在上单调递减，故D错误．
故选：．
根据题意，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
选项，当时，，A错误；
选项，当时，，B正确；
选项，当时，，C错误；
选项，当时，，D正确．
故选：．
计算，对照题目中的选项，得出统计结论．
本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．
 

13.【答案】 

【解析】解：由，得，
，
则曲线在点处的切线方程为，
即．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：的展开式的通项为，
令，，
的展开式中，的系数是．
故答案为：．
根据二项展开式的通项，方程思想即可求解．
本题考查二项展开式的通项，方程思想，属基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由，得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
当时，函数取得最大值．
对任意的，恒有，
又对任意的，恒有，
，即实数的取值范围为．
故答案为：．
利用导数求函数的最值，结合题意即可得出的范围．
本题考查运用导数研究函数的单调性与最值，考查分段函数的应用，是中档题．
 

16.【答案】   

【解析】解：千位为的四位数的个数：个，
千位为的四位数的个数：个，
千位为的四位数的个数：个，
所以第个数的首位为，
首位为，百位为时有个，
首位为，百位为时有个，
首位为，百位为时，由小到大的第个数，就是第个数．
这个数依次是：，；；；；；．
则．
前个数，首位为，百位为时有个，
首位为，百位为时，由小到大个，
．
故答案为：；．
求解千位为的四位数的个数，然后判断第个数的首位数，然后求解第一个空．求解前个数，然后求和即可．
本题考查计数原理的应用，数列求和，是难题．
 

17.【答案】解：Ⅰ因为，，
所以，，
即该运动员罚球次的得分的均值是，方差是．
Ⅱ设，，
当时，，，
，，
当时，． 

【解析】Ⅰ先求得和时的概率，求得期望，即可得答案；
Ⅱ首先求得关于想的解析式．再求导，即可求解．
本题考查离散型随机变量的期望与方差，是中档题．
 

18.【答案】解：Ⅰ用，，，，，这六个数字组成无重复数字的自然数，记能组成的不同的四位偶数的个数为，
分两类：为尾数，故，或为尾数，且不能为首项，故，
故．
能组成的和相邻的不同的六位数的个数为，
分两类：和为前两位，故；
和不为前两位数，故，
故，
所以．
Ⅱ在的二项展开式中，记各项的二项式系数之和为，
各项的系数之和为，当时，，
由于，整理得，解得．
故的展开式通项满足，
由于，且，
当，，时，展开式为有理项，
即，，． 

【解析】Ⅰ直接利用分类法和排列组合知识求出的值，再利用分类法和捆绑法及排列组合知识求出的值，最后求出的值；
Ⅱ利用二项展开式和二项式系数及项的系数求出的值，再利用二项展开式的通项和有理项的求法求出结果．
本题考查的知识要点：排列组合关系式，二项式定理和展开式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：Ⅰ已知，函数定义域为，
可得，
因为函数的图象与轴的交点为，
不妨设，
因为曲线在处的切线方程为，
所以，
解得，，
此时，，
函数在处取得极值，
所以，
解得，，
所以；
Ⅱ由Ⅰ知，函数定义域为，
而，
当时，，单调递增；
当，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以的极小值点为，的极大值点为，
又，，
所以，，
综上，当时，取得最小值，最小值为；
当或时，取得最大值，最大值为． 

【解析】Ⅰ由题意，根据函数的图象与轴的交点为，设出点的方程，结合曲线在处的切线方程，列出等式即可求出和的值，对进行求导，因为函数在处取得极值，列出和的等式即可求出和的值，进而可得函数的解析式；
Ⅱ由Ⅰ可得的解析式，对进行求导，利用导数得到的单调性和极值，结合端点值即可判断在区间上的最大值和最小值及相应的．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值；考查了逻辑推理和运算能力．
 

20.【答案】解：Ⅰ设抽到相邻两个月的数据为事件，
试验发生包含的事件是从组数据中选取组数据共有种情况，
每种情况都是等可能出现的，其中满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有种，
，则选出的组数据不是相邻两个月的概率为；
Ⅱ由数据求得，
由公式求得，
所以，
关于的线性回归方程为；
Ⅲ当时，，有；
当时，，有；
该小组所得线性回归方程是理想的． 

【解析】Ⅰ由题意知本题是一个古典概型，从组数据中选取组数据共有种情况，抽到相邻两个月的数据的情况有种，利用对立事件即可得解；
Ⅱ先由数据求得，再由求，再由求得，即可；
Ⅲ根据理想线性回归方程定义，将对应代入求值，再与表格中对应值比较，即可判断是否理想．
本题考查了古典概型和回归方程的计算，属于中档题．
 

21.【答案】解：设，，，分别为第一、二、三、四个问题，
用表示甲同学第个问题回答正确，
由题意得，，，，
Ⅰ记“甲同学能进入下一轮”为事件，
则，
由于每题答题结果相互独立，
因此
．
Ⅱ由题意，随机变量的可能取值为：，，，
由于每题答题结果相互独立，
所以，
，
，
因此随机变量的分布列为：

所以． 

【解析】Ⅰ根据题意，列举甲能进入下一轮的种情况，由于每题答题结果相互独立，根据相互独立事件和互斥事件的概率公式可解得结果；
Ⅱ依题意得随机变量的可能取值，求得取每一个可能值时对应的概率，进而得到分布列，由分布列可求得．
本题考查离散型随机变量的分布列及期望，是中档题．
 

22.【答案】解：由知，，，
记，，则，
在上单调递增．
当时，，
对恒成立，
在上单调递增，
，符合题意；
当时，，且在上单调递增，，
所以趋向正无穷，趋向正无穷，
故存在，使得，
从而，，单调递减，
，不合题意．
综上，的取值范围为．
证明：当时，由知，
对一切恒成立，即对一切恒成立，
令，，则，
，，，，
，即，
． 

【解析】观察出，然后讨论的单调性，从而确定的取值范围；
，则，所以构造不等式，结合第一问证明即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．