期末考试B卷压轴题模拟训练（三）-【B卷常考】2022-2023学年七年级数学下册压轴题攻略

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19．已知，则_______．
【答案】4
【分析】根据同底数幂的除法，得出，即，再将等式代入即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法的计算公式是解题关键．
20．小颖有两根长度为4cm和9cm的木棒，她想钉一个三角形的木框，现在有5根木棒供她选择，其长度分别为3cm，5cm，10cm，12cm，17cm．小颖随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率为_____．
【答案】/
【分析】根据三角形的三边关系求出第三边的长度范围，然后找出与原来的木棒能够钉成三角形的木棒，最后根据概率公式即可求出结果．
【详解】解：∵三角形中任意两边之和要大于第三边，任意两边之差小于第三边，
∴要想与两根长度为4cm和9cm的木棒钉一个三角形的木框，第三边c的长度范围是：，
∴只有取到10cm或12cm的木棒才可以与4cm和9cm的木棒钉成一个三角形木框，
∵随手拿了一根，有五种情况，
∴小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系和概率公式的应用，根据三角形三边关系求出第三边长的取值范围，是解题的关键．
21．某学习小组在“设计自己的运算程序”这一综合与实践课题的研究中发现，任意写下一个三位数（三位数字相同的除外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差．重复这个过程，就能得到一个固定的数字，他们称它为“数字黑洞”．这个固定的数字是______．
【答案】495
【分析】任选三个不同的数字，组成一个最大的数和一个最小的数，用大数减去小数，用所得的结果的三位数重复上述的过程即可发现规律．
【详解】解：任选三个不同的数字，如3、2、7，
组成一个最大的数732和一个最小的数237，
用大数减去小数，732−237＝495，
用所得的结果的三位数重复上述的过程，
954−459＝495；
如2、3、4，
432−234＝198，
981−189＝792，
972−279＝693，
963−369＝594，
954−459＝495；
根据上面的规律可知，这个固定的数字是495．
故答案为：495．
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，有理数的减法运算，解答的关键是理解清楚题意及对有理数的相应的运算法则的掌握．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝12，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，P是DE上的动点，Q是BD上的动点，则BP+PQ的最小值为 _____
【答案】8
【分析】过D作DF⊥AB于点F，连接PF，可得到△ACD≌△AFD，从而得到AF=AC=4，∠ADF=∠ADC，再由AD⊥DE，可得∠EDF=∠BDE，作点Q关于DE的对称点G，连接PG，BG，则∠BDE=∠EDG，PQ=PG，可得到点G在直线DF上，BP+PQ=BP+PG≥BG，从而得到BP+PQ的最小值为BG的长，且当BG⊥DG时，BG最小，此时点G与点F重合，即可求解．
【详解】解：如图，过D作DF⊥AB于点F，连接PF，
∴∠AFD=∠C=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAF=∠CAD，
∵AD=AD，
∴△ACD≌△AFD，
∴AF=AC=4，∠ADF=∠ADC，
∴BF=AB-AF=8，
∵AD⊥DE，
∴∠BDE+∠ADC=90°，
∵∠EDF+∠ADF=90°，
∴∠EDF=∠BDE，
作点Q关于DE的对称点G，连接PG，BG，则∠BDE=∠EDG，PQ=PG，
∴点G在直线DF上，BP+PQ=BP+PG≥BG，
∴BP+PQ的最小值为BG的长，且当BG⊥DG时，BG最小，此时点G与点F重合，
∴BP+PQ的最小值为BF=8．
故答案为：8
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，轴对称——最短距离问题，根据题意得到BP+PQ的最小值为BF是解题的关键．
23．在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，点E是CD的中点，连接AE，作EF⊥AE，若点F在BD的垂直平分线上，∠BAC＝α，则∠BFD＝_________．（用α含的式子表示）
【答案】180°﹣α．
【分析】根据全等三角形的性质得到∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，根据线段垂直平分线的性质得到AF＝FM，FB＝FD，推出△MDF≌△ABF（SSS），得到∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，根据角的和差即可得到结论．
【详解】解：延长AE至M，使EM＝AE，
连接AF，FM，DM，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△AEC与△MED中，
，
∴△AEC≌△MED（SAS），
∴∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，
∵EF⊥AE，
∴AF＝FM，
∵点F在BD的垂直平分线上，
∴FB＝FD，
在△MDF与△ABF中，
，
∴△MDF≌△ABF（SSS），
∴∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，
∴∠BFD+∠DFA＝∠DFA+∠AFM，
∴∠BFD＝∠AFM
＝180°﹣2（∠DMF+∠EMD）
＝180°﹣（∠FAM+∠BAF+∠EAC）
＝180°﹣∠BAC
＝180°﹣α，
故答案为：180°﹣α．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二、解答题
24．有7张如图1规格相同的小长方形纸片，长为a，宽为b（），按如图2、3的方式不重叠无缝隙地放在矩形内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．
(1)如图2，点E、Q、P在同一直线上，点F、Q、G在同一直线上，那么矩形ABCD的面积为 ．（用含a、b的代数式表示）
(2)如图3，点F、H、Q、G在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，．
①用a、b、x的代数式直接表示AE
②当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，如果S的值始终保持不变，那么a、b必须满足什么条件？
【答案】(1)或；
(2)①；②
【分析】（1）根据，即可求解；
（2）①根据即可求解；②先求出，进而即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意得：,
矩形ABCD的面积==，
故答案为：或；
（2）解：①；
②∵右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，
∴,
∵当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，如果S的值始终保持不变，
∴当x的值变化时，按照同样的放置方式，如果S的值始终保持不变，
∴．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算的应用，根据题意列出整式，熟练掌握整式的混合运算法则是关键．
25．甲乙两人分别驾车从同时出发，沿同一条线路相向而行，甲从地以速度52km/h匀速去地，乙开始以速度km/h匀速行驶，中途速度改为km/h匀速行驶，到恰好用时，两人距离地的路程与各自离开出发地的时间之间的图象如图所示．求：
（1）两地之间的路程为多少及乙开始的速度；
（2）当两人相距时，求的值．
【答案】(1)，乙开始的速度为()；(2)当或时，两人相距
【分析】(1)观察图象可得出AB两地的路程，利用路程时间即可求得乙开始的速度；
(2)根据时间=路程÷速度可求出甲走完全程所用时间，利用待定系数法即可求出直线AB、BC、OD的函数解析式；分和二种情况，找出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】(1)观察图象可得：，
乙开始的速度()；
(2) 甲走完全程所用时间(h)，
如图：点A、B、C、D的坐标分别为(0，26)，(0.2，16)，(0.7，0)，(0.5，26)，
设直线BC的解析式为，把点B(0.2，16)、C(0.7，0)代入得：
，解得，
∴直线BC的解析式为()，
同理，求得直线AB的解析式为()，
直线OD的解析式为()，
①当时，，
解得：(h)，
②当时，，
解得：(h)，
综上，当或时，两人相距．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及解一元一次方程，准确识图并获取信息是解题的关键，(1)根据数量关系，列式计算；(2)根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式；分和二种情况，找出关于x的一元一次方程．
26．是等边三角形，，点关于对称的点为，点是直线上的一个动点，连接，作交射线于点．
(1)若点在线段上（不与点，点重合）．
①如图1，若点是线段的中点，则的长为 ；
②如图2，点是线段上任意一点，求证：；
(2)若点在线段的延长线上．
①依题意补全图3；
②直接写出线段，，之间的数量关系为： ．
【答案】(1)①1；②见解析
(2)①补全图3见解析；②
【分析】（1）①连接，只要证明是等边三角形，由，推出，根据角之间的关系得，根据直角三角形的性质即可得；②作交射线AB于点E，根据对称及边角的关系得，利用ASA证明，即可得；
（2）①根据要求画出图形即可得；②在BD上取一点E，使得，根据角之间的关系得，利用SAS可证，得，即可得．
（1）
解：①如图1所示，连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵点与点C关于对称，
∴，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1；
证明：②如图2所示，作交射线AB于点E，
∵是等边三角形，
∴，
∵点与点C关于对称，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
，
∴，
在和中，
∴（ASA），
∴．
（2）
解：①如图3所示，
②，理由如下：
如图3所示，在BD上取一点E，使得，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
∴（SAS），
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题．