专题9.8 整式乘法与因式分解全章八类必考压轴题-2022-2023学年七年级数学下册举一反三系列（苏科版）

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1．已知4x=a,2y=b,8z=ab，那么x，y，z满足的等量关系是（ ）
A．2x+y=zB．xy=3zC．2x+y=3zD．2xy=z
2．已知100a=20，1000b=50，则a+32b−32的值是（ ）
A．0B．52C．3D．92
3．若x，y均为实数，43x=2021,47y=2021，则x+yxy=_______．
4．我们知道下面的结论，若am=an (a>0，且a≠1)，则m=n，利用这个结论解决下列问题：设2m=3，2n=6，2p=24，现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①m+p=2n+1，②p+n=2m+4，③m2−mp+3n=0，其中正确的是___________．（填编号）
5．比较下列各题中幂的大小：
（1）已知a=8131,b=2741,c=961，比较a、b、c的大小关系;
（2）比较255,344,533,622这4个数的大小关系;
（3）已知P=999999,Q=119990，比较P、Q的大小关系;
（4）(−2)234_______5100（填“>”“<”或“=”）.
6．由幂的运算法则逆向思维可以得到am+n=am⋅an，amn=(am)n，ambm=(ab)m，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解，收到事半功倍的效果．请解决以下问题：
(1)计算：52020×(15)2018；
(2)若3×9m×27m=311，求m的值；
(3)比较大小：a=255，b=344，c=533，d=622，请确定a，b，c，d的大小关系．
7．阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Napier，1550年-1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年-1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若ax=N(a＞0,a≠1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x=lgaN．比如指数式24=16可以转化为4=lg216，对数式2=lg525可以转化为52=25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：lg(M·N)=lgaM+ lgaN(a＞0,a≠1,M＞0,N＞0)．理由如下：设lgaM=m，lgaN=n，所以M=am，N=an，所以MN=aman=am+n，由对数的定义得m+n=lga(M+N)，又因为m+n=lgaM+lgaN，所以lga(MN)=lgaM+lgaN．解决以下问题：
（1）将指数53=125转化为对数式： ．
（2）仿照上面的材料，试证明：lgaMN=lgaM-lgaN(a＞0,a≠1,M＞0,N＞0)
（3）拓展运用：计算lg32+lg318-lg34= ．
1．关于x的三次三项式A=5x3−6x2+10=a(x−1)3+b(x−1)2+c(x−1)+d（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式B=x2+ex+f（e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（ ）
①当A+B为关于x的三次三项式时，则f=−10；
②当多项式A与B的乘积中不含x⁴项时，则e=6；
③a+b+c=9；
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．已知x2−ax2+bx+22x2−3x+5的展开式中不含三次项和四次项，则展开式中二次项和一次项的系数之和为______．
3．若x2+px−13x2−3x+q的积中不含x项与x3项，
(1)求p、q的值；
(2)求代数式−2p2q2+3pq3+p2022q2024的值．
4．（1）试说明代数式(s−2t)(s+2t+1)+4tt+12的值与s、t的值取值有无关系；
（2）已知多项式ax−b与2x2−x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为−4，试求ab的值；
（3）已知二次三项式2x2+3x−k有一个因式是(2x−5)，求另一个因式以及k的值．
5．给出如下定义：我们把有序实数对a，b，c叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c的附属系数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对a，b，c的附属多项式．
(1)关于x的二次多项式3x2+2x−1的附属系数对为_________；
(2)有序实数对2，a，1的附属多项式与有序实数对1，−2，4的附属多项式的差中不含一次项，求a的值．
1．若一个只含a字母的多项式的项数是偶数，用该多项式去乘(a+1)，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘(a−1)，称这为第一次操作；若第一次操作后所得多项式的项数是偶数，用该多项式去乘(a+1)，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘(a−1)称这为第二此操作，以此类推．
①将多项式(a2−1)以上述方式进行2次操作后所得多项式项数是5；
②将多项式(a2+2a)以上述方式进行3次操作后，多项式的所有系数和为0；
③将多项式(a2+2a+1)以上述方式进行4次操作后，当a=2时，所得多项式的值为243；
④将多项式(a−1)以上述方式进行n次操作后所得多项式为(a−1)(a+1)n−1；
四个结论错误的有（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项式的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算(a+b)6的展开式中，从左起第四项是____________．
(a+b)0= 1···································1
(a+b)1= a+b································1 1
(a+b)2= a2+2ab+b2·······················1 2 1
(a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3··········1 3 3 1
(a+b)4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4··1 4 6 4 1
3．观察下列各式及其展开式：
a+b2=a2+2ab+b2，
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，
a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
a+b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，
⋯⋯
请你猜想(2x−1)8的展开式中含x2项的系数是（ ）
A．224B．180C．112D．48
4．阅读下列材料，完成相应任务．
完成下列任务：
(1)写出a+b5的展开式．
(2)计算：75+5×74×−6+10×73×−62+10×72×−63+5×7×−64+−65．
5．观察下列各式：
x−1x+1=x2−1
x−1x2+x+1=x3−1
x−1x3+x2+x+1=x4−1
(1)根据以上规律，则x−1x6+x5+x4+x3+x3+x+1=___________．
(2)你能否由此归纳出一般规律x−1xn+xn−1+⋯+x+1=___________．
(3)根据以上规律求32022+32021+32020+⋯+32+3+1的值．
6．（1）计算并观察下列各式：
第1个：a−ba+b= ；
第2个：a−ba2+ab+b2= ；
第3个：a−ba3+a2b+ab2+b3= ；
……
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．
（2）猜想：若n为大于1的正整数，则a−ban−1+an−2b+an−3b2+⋯+a2bn−3+abn−2+bn−1= ；
（3）利用（2）的猜想计算：2n−1+2n−2+2n−3+⋯+23+2+1= ．
（4）拓广与应用：3n−1+3n−2+3n−3+⋯+33+3+1= ．
1．已知：x+y2=12，x−y2=4，则x2+3xy+y2的值为_____．
2．已知1b−1a=8−cab，ab+bc+2b+c2+25=0，则ba的值为______．
3．已知a，b，c满足：a2+2b=7，b2−2c=−1，c2−6a=−17，则13a+b+3c的值等于______．
4．已知a−b=4时，多项式ab+c2的值为−4，则aba2+b2+c2的值为( )
A．−1B．−12C．−13D．0
5．已知有理数a，b，c满足a−b+c−3=0，a2+b2+c2−3=0，则a3+b3+c3−2022=（ ）
A．−2019B．−2020C．−2021D．−2022
6．已知a=2020m+2021n+2020，b=2020m+2021n+2021，c=2020m+2021n+2022，那么a2+b2+c2−ab−bc−ca的值为（ ）
A．1B．3C．6D．1010
7．已知：x+y=5，xy=3．
求：①x2+5xy+y2；
②x4+y4．
8．阅读下列材料，完成后面的任务．
完全平方公式的变形及其应用
我们知道，完全平方公式有：a+b2=a2+2ab+b2；a−b2=a2−2ab+b2．
在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，其变形主要有下列几种情形：
①a2+b2=a+b2−2ab；②a2+b2=a−b2+2ab；③a2+b2=12a+b2+a−b2；
④ab=14a+b2−a−b2．
根据上述公式的变形，可以迅速地解决相关问题．
例如：已知x+y=3，x−y=1，求x2+y2的值．
解：x2+y2=12x+y2+x−y2=12×32+12=5．
任务：
(1)已知x+y=5，x−y=3，则xy=______．
(2)已知x+y=7，x2+y2=25，求x−y2的值．
1．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．
(1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．
方法1：_________；
方法2：__________．
(2)请你直接写出三个代数式：a+b2，a2+b2，ab之间的等量关系．
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知m+n=5，m2+n2=20，求mn和m−n2的值．
②已知x−20212+x−20232=34，求x−20222的值．
2．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a−b=8，ab=13，求S1+S2的值；
（3）用a、b的代数式表示S3；并当S1+S2=34时，求出图③中阴影部分的面积S3．
3．阅读理解，解答下列问题：利用平面图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．
（1）例如，根据下图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根据图②能得到的数学公式是__________．
（2）如图③，请写出（a＋b）、（a﹣b）、ab之间的等量关系是__________
（3）利用（2）的结论，解决问题：已知x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．
（4）根据图④，写出一个等式：__________．
（5）小明同学用图⑤中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片，用这些纸片恰好拼出一个面积为（3a＋b）（a＋3b）长方形，请画出图形，并指出x＋y＋z的值．
类似地，利用立体图形中体积的等量关系也可以得到某些数学公式．
（6）根据图⑥，写出一个等式：___________．
4．（1）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．
图1中阴影部分面积为__________，图2中阴影部分面积为__________，请写出这个乘法公式__________．
（2）【知识应用】应用（1）中的公式，完成下面任务：若m是不为0的有理数，已知P=m2+2m+1m2−2m+1，Q=m2+m+1m2−m+1，比较P、Q大小．
（3）【知识迁移】事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：____________________．
5．若x满足(7−x)(x−4)=2，求(x−7)2+(4−x)2的值：
解：设7−x=a, x−4=b，则(7−x)(x−4)=ab=2，a+b=(7−x)+(x−4)=3
所以(x−7)2+(4−x)2=(7−x)2+(x−4)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=32−2×2=5
请仿照上面的方法求解下面的问题
（1）若x满足(8−x)(x−3)=3，求(8−x)2+(x−3)2的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE=2，CF=5，长方形EMFD的面积是28，分别以MF、DF为边作正方形，求阴影部分的面积．
6．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2，请解答下列问题
（1）写出图2中所表示的数学等式
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c=10,ab+ac+bc=35，则a2+b2+c2=
（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a,b的长方形纸片拼出一个面积为(5a+7b)(9a+4b)长方形，则x+y+z=
7．问题发现：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．
小明在解决该问题时，采用了以下解法：
解：设（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，
则ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝ ，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝ ．
所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝ ．
(1)请补全小明的解法；
(2)已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，则（30﹣x）2+（x﹣20）2的值为 ．
类比研究
(3)若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝2022，求（2023﹣x）（x﹣2021）的值．
拓伸延伸
(4)如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CG＝3，长方形EFGD的面积是10，分别以DE、DG为边长作正方形MEDQ和NGDH，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积为 （结果必须是一个具体数值）．
必考点6
利用因式分解探究三角形形状
1．（2022秋·四川内江·八年级四川省隆昌市第一中学校考阶段练习）若a、b、c是△ABC的三边，且满足b2+bc−ba−ca=0，a2+ab−cb−ac=0，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
2．（2018秋·江西·八年级校考阶段练习）先阅读下面的材料，再解决问题：
要把多项式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它的前两项分成一组，并提出a；把它的后两项分成一组，并提出b，从而得到am+n+bm+n.这时，由于am+n+bm+n，又有因式m+n，于是可提公因式m+n，从而得到a+bm+n.因此有am+an+bm+bn=am+n+bm+n =a+bm+n.这种因式分解的方法叫做分组分解法.
在三角形中，若任意两条边的差均为0，则这个三角形是等边三角形；若只有两条边的差为0，则这个三角形是等腰三角形；若有两条边的平方和与第三边的平方的差为0，则这个三角形是直角三角形。
请用上面材料中提供的方法解决问题：
（1）将多项式ab−ac+b2−bc分解因式；
（2）若ΔABC的三边a、b、c满足条件：a4−b4+a2c2+b2c2=0，试判断ΔABC的形状.
3．（2022秋·八年级课时练习）（1）若a、b、c是三角形的三条边，求证：a2−b2−c2−2bc<0．
（2）在△ABC中，三边分别为a、b、c，且满足a+b+c=322，a2+b2+c2=32，试探究△ABC的形状．
（3）在△ABC中，三边分别为a、b、c，且满足a2b−c+b2c−a+c2a−b=0，试探究△ABC的形状．
4．（2022秋·山东滨州·八年级统考期中）求解下列问题：
(1)若x2+2y2−2xy+8y+16=0，求yx的值；
(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2−6a−8b+25+4−c=0，请问△ABC是什么形状的三角形？请说明理由．
5．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足等式3a2+b2+c2=a+b+c2，试确定该三角形的形状.
6．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）阅读材料，要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而得到：am+an+bm+bn=am+n+bm+n，这时am+n+bm+n中又有公因式m+n，于是可以提出m+n，从而得到m+na+b，因此有am+an+bm+bn=am+n+bm+n=m+na+b，这种方法称为分组法．请回答下列问题：
(1)尝试填空：ac−bc+ab−a2=______；
(2)解决问题：因式分解2x−18+xy−9y；
(3)拓展应用：已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2+2b2+c2−2ab−2bc=0，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
7．（2022春·山东青岛·八年级校考期中）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．
(1)探究一：
将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式____________________．
(2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为a的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为b(b(3)将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，∵BC=a，AB=a−b，CF=b，∴长方体①的体积为ab(a−b)．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）
(4)用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______________．
(5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a-b=6，ab=2，求a3−b3的值．
(6)类比以上探究，尝试因式分解：a3+b3= ．
8．（2020秋·湖南衡阳·八年级校考阶段练习）阅读材料：若m2−2mn+2n2−8n+16=0，求m、n的值．
∵m2−2mn+2n2−8n+16=0,∴m2−2mn+n2+(n2−8n+16)=0,∴m−n2+n−42=0,∴n=4,m=4.
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知一个不等边三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b、c都是正整数，并满足a2+b2−4a−6b+13=0,求c的值．
（2）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+c2+2bb−a−c=0，试判断△ABC的形状．
（3）试探究关于x、y的代数式5x2−4xy+y2+6x+25是否有最小值，若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由．
9．（2021春·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系，点A（a，0），点B（0，b），已知a，b满足a2+b2+8a+8b+32=0．
（1）求点A、B的坐标；
（2）如图1，点E为线段OB上一点，连接AE，过点A作AF⊥AE，且AF=AE，连接BF交x轴于点D，若点F的坐标为（-2，c），求c的值及OE的长；
（3）在（2）的条件下，如图2，过点E作EG⊥AB于点G，过点B作BC//x轴交EG的延长线于点C，连接OC、AC，试判断△AOC的形状，并说明理由．
必考点7
利用拆项或添项进行因式分解
1．阅读材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2−2ab+b2叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：x2+2x−3=x2+2x+1−4=(x+1)2−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)；又例如：求代数式2x2+4x−6的最小值：∵2x2+4x−6=2x2+2x−3=2(x+1)2−8；又∵(x+1)2⩾0；∴当x=−1时，2x2+4x−6有最小值，最小值是−8．
根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：a2−4a−5=___________；
(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2−4a+b2−12b+40=0求边长c的最小值；
(3)当x、y为何值时，多项式−x2+2xy−2y2+6y+7有最大值？并求出这个最大值．
2．阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步骤：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底．
（1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6．
（2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6．
3．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．例如：x2−2xy+y2−4=(x2−2xy+y2)−4=(x−y)2−22=(x−y−2)(x−y+2)．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：x2+2x−3=x2+2x+1−4=(x+1)2−22=(x+1−2)(x+1+2)=(x−1)(x+3)
③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
观察得出：两个因式分别为(x+7)与(x−1)
例如：x2+6x−7
分析：
解：原式=(x+7)(x−1)
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）4x2+4x−y2+1
②（拆项法）x2−6x+8
③x2−5x+6=________．
已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2−4a−4b−6c+17=0，求△ABC的周长．
4．阅读下列分解因式的过程：
x2+2ax-3a2
=x2+2ax+a2-a2-3a2
=(x+a)2-4a2
=(x+a+2a)(x+a-2a)
(x+3a)(x-a)．
像上面这样通过加减项配出完全平方式后再把二次三项式分解因式的方法，叫做配方法，请你用配方法将下面的多项式因式分解：
（1）m2-4mn+3n2；
（2）x2-4x-12．
5．阅读以下文字并解决问题：
对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成x+a2的形式，但对于二次三项式x2+6x−27，就不能直接用公式法分解了。此时，我们可以在x2+6x−27中间先加上一项9，使它与x2+6x的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变。即：x2+6x−27=x2+6x+9−9−27 =x+32−62=x+3+6x+3−6 =x+9x−3，像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法.
（1）利用“配方法”因式分解：x2+4xy−5y2.
（2）若a+b=6，ab=5，求：①a2+b2，②a4+b4的值.
（3）如果a2+2b2+c2−2ab−6b−4c+13=0，求a+b+c的值.
6．阅读理解：
添项法是代数变形中非常重要的一种方法，在整式运算和因式分解中使用添项法往往会起到意想不到的作用，例如：
例1：计算(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
解：原式＝12(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
＝12(32﹣1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
＝12(34﹣1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
……
＝364−12
例2：因式分解：x4+x2+1
解：原式＝x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2
＝(x2+1)2﹣x2
＝(x2+1+x)(x2+1﹣x)
根据材料解决下列问题：
(1)计算：(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1+12512)；
(2)小明在作业中遇到了这样一个问题，计算(14+4)(54+4)(94+4)……(494+4)(34+4)(74+4)(114+4)……(514+4)，通过思考，他发现计算式中的式子可以用代数式之x4+4来表示，所以他决定先对x4+4先进行因式分解，最后果然发现了规律；轻松解决了这个计算问题.请你根据小明的思路解答下列问题：
①分解因式：x4+4；
②计算：(14+4)(54+4)(94+4)……(494+4)(34+4)(74+4)(114+4)……(514+4).
7．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如：x2−2xy+y2−4=x2−2xy+y2−4=x−y2−22=x−y−2x−y+2．
②拆项法：
例如：x2+2x−3=x2+2x+1−4=x+12−22=x+1−2x+1+2=x−1x+3．
仿照以上方法分解因式：
(1)4x2+4x−y2+1；
x2−6x+8．
8．阅读下面的材料：分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉相乘法”，方法的关键是“拆两头，凑中间”，例如，分解因式4x2+3xy−y2，方法如下：拆两头，4x2拆为4x⋅x，−y2拆为−y⋅y，然后排列如下：交叉相乘积相加得3xy，凑得中间项，所以4x2+3xy−y2=(4x−y)(x+y)．利用材料解决问题的策略解答下列问题：
(1)解方程：4x2−5x+1=0；
(2)已知x2−xy−12y2=0(xy≠0)，求xy的值．
必考点8
因式分解的应用
1．王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x−1，a−b，3，x2+1，a，x+1分别对应六个字：南，爱，我，数，学，河，现将3ax2−1−3bx2−1因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱数学B．爱河南C．河南数学D．我爱河南
2．已知a、b、c是一个三角形的三边，则a4+b4+c4−2a2b2−2b2c2−2c2a2的值是（ ）
A．恒正B．恒负C．可正可负D．非负
3．一个正整数等于两个不相等的正整数的和与这两个不相等的正整数的积之和，称这个整数为“可拆分”整数，反之则称“不可拆分”整数．例如，11=1+5+1×5，11是一个“可拆分”整数．下列说法：
①最小的“可拆分”整数是5；
②一个“可拆分”整数的拆分方式可以不只有一种；
③最大的“不可拆分”的两位整数是96．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．已知m，n均为正整数且满足mn−3m−2n−24=0，则m＋n的最大值是（ ）
A．16B．22C．34D．36
5．若一个正整数m是两个连续奇数或连续偶数的乘积，即m=nn+2，其中n为正整数，则称m为“半平分数”，n为m的“半平分点”．例如，35=5×7，则35是“半平分数”，5为35的半平分点．
(1)k是80的“半平分点”，则k=______；a的“半平分数”“半平分点”为1，则a=______；当kx+a为正整数时，整数x=______．
(2)把“半平分数”x与“半平分数”y的差记为Ex,y，其中x>y，Ex,y>0，例如，24=4×6，15=3×5，则E24,15=24−15=9．若“半平分数”x的“半平分数”为s，“半平分数”y的“半平分点”为t，当Ex,y=40时，求ts的值．
6．阅读理解应用:要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，结果如下:若a−b>u，则a>b;若a−b<0，则a (1)比较2a2与a2−1的大小，并说明理由.
(2)比较a2+b2与2ab的大小，并说明理由.
(3)直接利用(2)的结论解决:求a2+1a2+3的最小值.
(4)已知如图，直线a⊥b于O，在a,b上各有两点B,D和A,C, AO=4,BO=9,CO=x2,DO=y2，且xy=3，求四边形ABCD面积的最小值.
杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年．杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如下图所示：
a+b1=a+b
a+b2=a2+2ab+b2
a+b3=a3+3a2b+3ab2+b2
a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
…