2022-2023学年吉林省长春市第二实验中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年吉林省长春市第二实验中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知直线与直线互相平行，且两者之间的距离是，则等于

A．－1 B．0 C．1 D．2

【答案】B

【分析】利用两条直线平行，及两条平行线间的距离公式，可得方程组，解之即可得到结论.

【详解】直线与直线平行且两者之间的距离是，

，(负值舍去)，

.

所以B选项是正确的.

【点睛】本题考查两条平行线间距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题.

2．记为等比数列的前n项和.若，，则（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】A

【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.

【详解】∵为等比数列的前n项和，

∴，，成等比数列

∴，

∴，

∴.

故选：A.

3．已知桌上放有3本语文书和3本数学书．小明现从这6本书中任意抽取3本书，A 表示事件“至少抽到1本数学书”，B表示事件“抽到语文书和数学书”，则＝（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用条件概率的公式求解.

【详解】由题得,

由条件概率的公式得.

故选：D

4．《长津湖》和《我和我的父辈》都是2021年国庆档的热门电影．某电影院的某放映厅在国庆节的白天可以放映6场，晚上可以放映4场电影．这两部影片只各放映一次，且两部电影不能连续放映（白天最后一场和晚上第一场视为不连续），也不能都在白天放映，则放映这两部电影不同的安排方式共有（    ）

A．30种 B．54种 C．60种 D．64种

【答案】B

【分析】分两种情况考虑，均在晚上播放，或者白天一场，晚上一场，求得结果.

【详解】若均在晚上播放，则不同的安排方式有种，若白天一场，晚上一场，则有种，故放映这两部电影不同的安排方式共有48+6=54种.

故选：B

5．已知抛物线的焦点为，准线为，为上的点，过作的垂线，垂足为，，则（    ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】C

【分析】先由结合抛物线性质可得，再结合抛物线定义确定三角形为正三角形，即可求出答案．

【详解】解：如图，设直线与轴交于点，

则由抛物线，可知，又，故，且，

又由抛物线定义，则三角形为正三角形

故．

故选：C．

6．在的展开式中，常数项为（    ）

A．27 B．28 C．29 D．30

【答案】D

【分析】根据二项式展开式通项公式即可求解．

【详解】的展开式中，常数项为

故选：D

7．圆：和：，M，N分别是圆，上的点，P是直线上的点，则的最小值是　　

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先求得圆关于的对称的圆的性质，然后将问题转化为三点共线的问题求解最值即可.

【详解】圆关于的对称圆的圆心坐标，半径为3，

圆的圆心坐标，半径为1，

由图象可知当P，，，三点共线时，取得最小值，

的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，

即：．

本题选择A选项.

【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

8．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《评解九章算法》（年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：，，，，，，，，，，，，，，……．记作数列，若数列的前项和为，则＝（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由归纳推理及等比数列前项和可得：即在第11组中且为第11组中的第2个数，则，得解．

【详解】解：将1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，．

分组为（1），，，2，，，3，3，，，4，6，4，

则第组个数且第组个数之和为，

设在第组中，

则，

解得：，

即在第11组中且为第11组中的第2个数，即为，

则，

故选：C．

【点睛】本题考查了归纳推理及等比数列前项和，属于中档题．

二、多选题

9．已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的有（    ）

A．展开式共有7项 B．二项式系数最大的项是第4项

C．所有二项式系数和为128 D．展开式的有理项共有4项

【答案】CD

【分析】运用代入法，结合二项式系数和公式、通项公式以及二项式系数性质逐一判断即可.

【详解】因为二项式的展开式中各项系数之和是，

所以令可得：.

A：因为，所以展开式共有项，因此本选项说法不正确；

B：因为，所以二项式系数最大的项是第4项和第项，

因此本选项说法不正确；

C：因为，所以所有二项式系数和为，所以本选项说法正确；

D：由B可知：，当时，对应的项是有理项，

故本选项说法正确，

故选：CD

10．若男女排成一排，则下列说法错误的是（    ）

A．共计有种不同的排法 B．男生甲排在两端的共有种排法

C．男生甲、乙相邻的排法总数为种 D．男女生相间排法总数为种

【答案】BC

【分析】利用排列计数原理可判断A选项；利用特殊元素优先考虑可判断B选项；利用捆绑法可判断C选项；利用列举法结合排列计数原理可判断D选项.

【详解】对于A选项，共有种不同的排法，A对；

对于B选项，男生甲排在两端，共有种不同的排法，B错；

对于C选项，若男生甲、乙相邻，将甲、乙两人捆绑，形成一个“大元素”，

此时共有种不同的排法，C错；

对于D选项，男女生相间，共有两种情况：男女男女男女、女男女男女男，

共有种不同的排法，D对.

故选：BC.

11．过点的直线与圆交于A，B两点，线段MN是圆C的一条动弦，且，则（    ）

A．面积的最大值为 B．面积的最大值为

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】BCD

【分析】设圆心C到直线AB的距离为d，求出，即可判断C；再由，求出面积的最大值即可得出判断出A，B；求的最小值转化为求的最小值即可得出判断出D.

【详解】设圆心C到直线AB的距离为d，由题意得，，

则，

当时，，故A错误，B正确.

由，知，C正确.

如图，过圆心C作于E，则E为MN的中点，又，则，即点E的轨迹为圆.因为，且，

所以的最小值为，故D正确.

故应选：BCD.

12．已知双曲线且，设直线与双曲线在第一象限内的交点为，点在的两条渐近线上的射影分别为，记的面积为，则下列说法正确的是（    ）

A．双曲线的渐近线方程为 B．

C．数列为等差数列 D．

【答案】ACD

【分析】根据双曲线的方程求出渐近线方程，设点，求出到两渐近线的距离，从而得到，即可得到的通项公式，再根据等差数列的前项和公式计算可得；

【详解】解：因为双曲线的方程为且，所以渐近线方程为，设点，则且，记到两条渐近线的距离分别为，则、，

则，故

因此为等差数列，故，

故选：ACD.

三、双空题

13．已知三点共线，则______，直线的倾斜角为_________．

【答案】     3    

【分析】由三点共线得斜率相等即可求解.

【详解】直线斜率为，斜率为，因为三点共线，所以，则，由得 所以直线的倾斜角为

故答案为：3；

四、填空题

14．若的展开式中第4项的系数是160，则______.

【答案】1

【分析】根据给定的二项式直接求出第4项，结合已知系数计算作答.

【详解】的展开式中的第4项为，

依题意，，解得，

所以.

故答案为：1

15．在等比数列中，若，，则_____．

【答案】

【分析】根据等比数列下标和性质计算可得；

【详解】解：．

∵在等比数列中，，

∴原式．

故答案为：

【点睛】本题考查等比数列的性质的应用，属于基础题.

16．已知双曲线）的左､右焦点分别是是双曲线右支上的两点，.记的周长分别为，若，则双曲线的右顶点到直线的距离为___________.

【答案】

【分析】根据题意，结合双曲线的定义爹

【详解】解：根据双曲线的定义，.

所以，故双曲线右顶点，

因为，

所以在上，在上，即直线方程为：，

所以双曲线的右顶点到直线的距离为

故答案为：

五、解答题

17．（1）计算：；

（2）已知，求的展开式中的系数.（用数字作答）

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据排列数和组合数公式即可求出；

（2）根据二项式系数的性质或者二项展开式的通项公式即可求出．

【详解】（1）；

（2）的展开式中的系数和为：

．

或者，所以的系数为．

18．已知数列的前项．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据数列的通项公式与和前 项和公式的关系，即可求出结果；

（2）由（1）可得，进而可得，再根据裂项相消法即可证明结果.

【详解】（1）解：由①，

所以，当时，②，

由①-②，则

当时，，上式亦满足，

综上.

（2）解：由，

所以

所以.

19．已知的展开式中，前三项系数成等差数列.

（1）求含项的系数；

（2）将二项式的展开式中所项重新排成一列，求有理项互不相邻的概率．

【答案】（1）7；（2）.

【分析】（1）利用二项式定理求出前三项的系数的表达式，利用这三个系数成等差数列并结合组合数公式求出的值，再利用二项式展开式通项可求出项的系数；

（2）利用二项展开式通项求出展开式中有理项的项数为，总共是项，利用排列思想得出公共有种排法，然后利用插空法求出有理项不相邻的排法种数，最后利用古典概型概率公式可计算出所求事件的概率．

【详解】（1）∵前三项系数、、成等差数列．

，即．∴或 (舍去）   

∴展开式中通项公式T，，，8．

令，得，                                  

∴含x2项的系数为 ；

（2）当为整数时，．                        

∴展开式共有9项，共有种排法．                       

其中有理项有3项，有理项互不相邻有种排法，           

∴有理项互不相邻的概率为

【点睛】本题考查二项式定理指定项的系数，考查排列组合以及古典概型的概率计算，在处理排列组合的问题中，要根据问题类型选择合适的方法求解，同时注意合理使用分类计数原理和分步计数原理，考查逻辑推理与计算能力，属于中等题．

20．已知抛物线的准线方程为，过其焦点的直线交抛物线于两点，线段的中点为坐标原点为且直线OM的斜率为.

(1)求抛物线的方程；

(2)求的面积.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据抛物线的准线方程，即可容易求得抛物线方程；

（2）设出直线的方程，联立抛物线方程，利用OM的斜率为，结合韦达定理，即可求得直线的方程，再用面积公式即可求得结果.

【详解】（1）由准线方程为知，，故；

则抛物线方程为.

（2）由题知直线的斜率显然不为0，又其过点              

故设直线l的方程为，，  

联立抛物线方程，化简得

则，            

由线段的中点为知，，

，代入韦达定理知，，

整理得：，解得，

故直线的方程为  

则

.

故的面积为.

21．设数列的前项和为，满足，．

(1)求，的值．

(2)求数列的通项公式，并求数列的前项和．

【答案】(1)见解析；

(2).

【分析】（1）由，求解即可；

（2），当时，，两式相减得，进而得，检验，从而得，进而利用分组求和即可.

【详解】（1）∵，∴，

∴，．

（2）∵，

∴当时，，

两式相减得，即，

∴．

又由，，得，

∴数列是以为首项，为公比的等比数列，

∴，，

∴

．

22．已知椭圆E：（）的焦点为，，且点在E上．

（1）求E的方程；

（2）已知过定点的动直线l交E于A，B两点，线段的中点为N，若为定值，试求m的值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由椭圆的定义可得，再由，结合即可求解.

（2）讨论直线l的斜率是否存在，当直线l的斜率存在，设其方程为，将直线与椭圆联立，，利用韦达定理即可求解.

【详解】解：（1）由题意可知，∴，而，

∴，∴椭圆E的方程为．

（2）①若直线l的斜率不存在，易得，

②若直线l的斜率存在，设其方程为，，，

则，联立得

，

且，，

要使上式为常数，必须且只需，即，

此时易知恒成立，且，符合题意．

综上所述，．