2022-2023学年吉林省长春市农安县高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年吉林省长春市农安县高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知等差数列中，，则数列的公差为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】利用，直接计算公差即可.

【详解】等差数列中，，设公差为d，则，即.

故选：C.

2．已知直线与直线相互平行，则实数m的值是（    ）

A． B．1 C． D．6

【答案】A

【分析】根据直线平行则它们的法向量也互相平行可解，需要验算.

【详解】，

解之：经检验

故选：A.

3．如图，空间四边形中，，，，且，，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据空间向量的线性表示，用、和表示出即可.

【详解】由题意知，

故选：C.

4．过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作出图形，设，可得，，可将和均用表示，即可计算出该椭圆的离心率.

【详解】设该椭圆的焦距为，如下图所示：

设，轴，，，

，，

由椭圆定义可得，因此，该椭圆的离心率为.

故选：B.

【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的焦点三角形问题，一般利用椭圆定义来处理，考查计算能力，属于中等题.

5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为（    ）

A．63里 B．126里 C．192里 D．228里

【答案】C

【分析】由题意知，每天走的路程构成一个公比为等比数列，已知和求首项，代入公式即可得到.

【详解】由已知，设等比数列首项为，前n项和为，    公比为,，

则 ，等比数列首项.

故选：C.

6．椭圆的焦点为、，为椭圆上一点，已知，则的面积为

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先设出|PF1|=m，|PF2|=n，利用椭圆的定义求得n+m的值，平方后求得mn和m2+n2的关系，代入△F1PF2的勾股定理中求得mn的值，即可求出△F1PF2的面积．

【详解】由椭圆定义知，又，所以，从而得，所以的面积为，

故选A.

【点睛】本题主要考查了椭圆的应用，椭圆的简单性质和椭圆的定义．考查了考生对所学知识的综合运用．

7．已知等差数列的前n项和为，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据等差数列前项和公式，及下标和性质得到、，即可得到方程，计算可得；

【详解】解：由，有，得．

故选：A

8．O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，若，则的面积为（    ）

A． B． C．8 D．

【答案】A

【分析】先根据定义求出点的横坐标，将其代入抛物线方程，求出点的纵坐标，进而求出面积.

【详解】由可得抛物线的焦点，准线方程为，

由抛物线焦半径公式知，

将代入，可得，

所以的面积为，

故选：A．

二、多选题

9．设等差数列的前项和为．若，，则（     ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【解析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前项和公式

【详解】解：设等差数列的公差为，

因为，，

所以，解得，

所以，

，

故选：BC

10．下列结论错误的是（    ）

A．过点，的直线的倾斜角为45°

B．已知点，点在轴上，则的最小值为

C．直线与直线之间的距离为

D．已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是

【答案】AC

【分析】由斜率公式，两点间距离公式，平行线间的距离公式进行分析计算验证即可．

【详解】对于A选项，，直线的倾斜角为135°，故A选项错误；

对于B选项，点关于y轴的对称点为，则AC即为的最小值，为，故B选项正确；

对于C选项，将化为，与平行，则两条直线间的距离为，故C选项错误；

对于D选项，，，如图所示，

又因为直线l与线段AB有公共点，所以直线的斜率k满足或，故D选项正确.

故选：AC

11．数列前项的和为，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则数列前5项的和最大

B．设是等差数列的前项和，若，则

C．已知，则使得成等比数列的充要条件为

D．若为等差数列，且，，则当时，的最大值为2022

【答案】AB

【分析】对A，可以采用临界法得到和的最大值；对B，运用等差数列的和的性质易判断；对C，等比中项的个数一般是2个；对D，可以采用基本量法计算即可.

【详解】A：由通项公式知：数列是严格递减数列，又

所以数列前5项的和最大，A对；

B：在等差数列中，成等差，

又，

B对；

C：成等比数列，所以不是充要条件，C错；

D：为等差数列, ，，所以D错，

故选：AB

12．已知抛物线：与圆：交于，两点，且，直线过的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（    ）

A．若直线的斜率为，则

B．的最小值为

C．若以为直径的圆与轴的公共点为，则点的横坐标为

D．若点，则周长的最小值为

【答案】BCD

【分析】首先求出抛物线的解析式，设出的坐标，联立进行求解，当时，，进而判断选项A错误；再根据韦达定理和不等式求最小值后进行判断选项B；画出大致图象，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，结合抛物线定义判断选项C；过作垂直于准线，垂足为，结合的周长，进而判断选项D即可.

【详解】由题意得点在抛物线上，

所以，解得，所以，则，

设直线，与联立得，

设，，所以，，

所以，

当时，，A项错误；

，

则，

当且仅当，时等号成立，B项正确；

如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，

取的中点为，过点作轴的垂线，垂足为，

则，是梯形的中位线，

由抛物线的定义可得，

所以，

所以以为直径的圆与轴相切，

所以点为圆与轴的切点，所以点的纵坐标为，

又为的中点，所以点的纵坐标为，

又点在抛物线上，所以点的横坐标为，C项正确；

过作垂直于准线，垂足为，

所以的周长为，

当且仅当点的坐标为时取等号，D项正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．设数列的通项为，则____________．

【答案】

【详解】试题分析：，为等差数列，，公差，由得，，

.所以答案应填：．

【解析】1、等差数列；2、求数列的前项和．

【思路点睛】由数列的通项为可知为等差数列，先求出首项和公差，欲求的值需先判断数列中哪些项为负项，哪些为正项，由得，，

可知数列的前三项为负项，从而去掉绝对值，再用等差数列的前项和公式求和.本题主要考查等差数列的前项和公式的应用，去绝对值是求和的关键，属于基础题.

14．已知圆上有且仅有3个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是________．

【答案】

【分析】转化为原点到直线的距离为，解方程即得解.

【详解】因为圆上有且仅有3个点到直线的距离为1，

所以原点到直线 的距离为，

由点到直线的距离公式可得，

解得，

故答案为：.

15．过点作直线与抛物线相交于A，B两点，若点P是线段的中点，则直线的方程是____________．

【答案】

【分析】设，，将点代入抛物线方程后作差，将点代入可得直线的斜率，再通过点斜式可得直线方程.

【详解】设，，

，两式作差可得，

即，

点P是线段的中点，，且，

，

直线的方程是，即.经检验满足题意，

故答案为：.

16．如图所示，在棱长为1的正方体中，P，Q分别是线段，上的点，满足平面，则与平面所成角的范围是__________．

【答案】

【分析】以为原点，为轴、轴、为轴建立空间直角坐标系，设，且，其中，求得向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，求得的范围，即可求解.

【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，可得，

设平面的法向量为，则，

令，可得，所以，

易得不重合，设，其中，且，

所以，所以，，

因为平面，所以，可得，所以，，

因为平面，所以的一个法向量为，

设与平面所成的角为，

则，

当，可得，因为，所以

当，可得，因为，所以，

所以与平面所成的角的范围是为.

故答案为：

四、解答题

17．已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．

(1)点P在抛物线上，且，求点P的坐标；

(2)直线交抛物线于A，B两点，求．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）先根据焦点到准线的距离求出，设，进而利用焦半径公式可得点P的坐标；

（2）联立直线和抛物线方程，然后利用弦长公式求.

【详解】（1）由已知，抛物线的焦点F到准线的距离为2，

则，

则抛物线方程为，

设，则，

将代入得，，

所以点P的坐标为或

（2）联立，消去得，

18．已知数列是等差数列，是等比数列，，，，.

(1)求、的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由可求得数列的公比，由等比数列通项公式可得，进而得到；由可求得数列的公差，由等差数列通项公式可得；

（2）由（1）可得，采用分组求和法，结合等差、等比数列求和公式可得.

【详解】（1）设等比数列的公比为，则，；

又，，设等差数列的公差为，则，

.

（2）由（1）得：；

.

19．如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．

（1）证明：平面平面；

（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）方法一：先证平面CMD,得,再证，由线面垂直的判定定理可得DM⊥平面BMC，即可根据面面垂直的判定定理证出；

（2）方法一：先建立空间直角坐标系，然后判断出的位置，求出平面和平面的法向量，进而求得平面与平面所成二面角的正弦值．

【详解】（1）［方法一］：【最优解】判定定理

由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为上异于C，D的点,且DC为直径，所以DM⊥CM.

又 BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.

［方法二］：判定定理

由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为，平面ABCD,所以平面，而平面，所以，因为M为上异于C，D的点,且DC为直径，所以DM⊥CM.又，所以，平面，而平面，所以平面平面．

［方法三］：向量法

建立直角坐标系，如图2，设，

所以，

设平面的一个法向量为，所以，即，

取平面的一个法向量，

同理可得，平面的一个法向量，因为点在以为圆心，半径为的圆上，所以，，即，而，所以平面平面．

（2）［方法一］：【通性通法】向量法

以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz.

当三棱锥M−ABC体积最大时，M为的中点.

由题设得，

设是平面MAB的法向量,则

即，可取.

是平面MCD的一个法向量,因此，，

所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.

［方法二］：几何法（作平行线找公共棱）

如图3，当点M与圆心O连线时，三棱锥体积最大．过点M作，易证为所求二面角的平面角．在中，，即面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是．

［方法三］：【最优解】面积射影法

设平面与平面所成二面角的平面角为．

由题可得在平面上的射影图形正好是．

取和的中点分别为N和O，则可得，，所以由射影面积公式有，所以，即面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是．

［方法四］：定义法

如图4，可知平面与平面的交线l过点M，可以证明．分别取的中点O，E，联结，可证得直线平面，于是平面，所以，故是面与面所成二面角的平面角．

在中，，则，所以，即面与面所成二面角的正弦值为．

【整体点评】（1）方法一：利用面面垂直的判定定理寻找合适的线面垂直即可证出，是本题的最优解；

方法二：同方法一，只不过找的线面垂直不一样；

方法三：利用向量法，计算两个平面的法向量垂直即可，思路简单，运算较繁．

（2）方法一：直接利用向量法解决无棱二面角问题，是该类型题的通性通法；

方法二：作平行线找公共棱，从而利用二面角定义找到二面角的平面角，是传统解决无棱二面角问题的方式；

方法三：面积射影法也是传统解决无棱二面角问题的方式，是本题的最优解；

方法四：同方法二，通过找到二面角的公共棱，再利用定义找到平面角，即可解出．

20．已知数列的前项和为.

（1）求出的通项公式；

（2）求数列前n项和最小时n的取值

【答案】（1）；（2）当或时，数列前n项和取得最小值.

【分析】（1）根据，分别讨论，两种情况，根据与的关系即可求出结果；

（2）根据等差数列前项和的函数特征，即可得出结果.

【详解】（1）因为，

所以当时，；

当时，；

显然是，也满足，

所以；

(2) 因为，

所以数列为等差数列，其前n项和

又，所以当或时，取得最小值.

21．已知数列的前n项和为，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，求数列的前n项和．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）当时，由得是等比数列，再由等比数列通项求解即可；

（2）先求出，再由错位相减法求和即可.

【详解】（1）因为，所以，所以，

所以，当时，，，

所以数列是首项，公比的等比数列，所以；

（2）由得，所以，，

两式相减，得，，所以.

22．已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上.

(1)求椭圆的方程；

(2)若斜率为1的直线与椭圆相交于两点，为原点.求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.

（2）结合弦长公式求得三角形面积的表达式，结合基本不等式求得面积的最大值.

【详解】（1）由焦距为2，得，所以①.

由椭圆过点，得②，将①代入②，整理得，

解得，（舍去）.

所以，

所以椭圆的标准方程为.

（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，

消去，得.

所以，解得.

设，，则，.

所以

，

原点到直线的距离.

所以.

由基本不等式知，.

当且仅当，即时取等号.

所以的面积的最大值为.

【点睛】求解圆锥曲线中三角形面积有关的问题，关键点有三点：一个是弦长，一个是面积，一个是最值或取值范围.弦长的求法主要结合根与系数关系，面积还要结合点到直线的距离公式，求面积的最值或取值范围，可考虑基本不等式、二次函数的性质等知识来进行求解.