2022-2023学年吉林省白城市通榆重点中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年吉林省白城市通榆重点中学高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知随机变量的分布列如表：

则实数(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若名学生报名参加天文、计算机、文学、美术这个兴趣小组，每人选报组，则不同的报名方式有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

3.  在如图所示的散点图中，若去掉点，则下列说法正确的是(    )

A. 样本相关系数变大
B. 变量与变量的相关程度变弱
C. 变量与变量呈正相关
D. 变量与变量的相关程度变强

4.  一面国旗燃起青春的向往，一身戎装肩负国家的担当名学生含甲、乙决定参军报国，不负韶华，报名前人排成一排拍照，则甲、乙两人不相邻的不同的排法有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

5.  某市组织高二学生统一体检，其中男生有人，已知此次体检中高二男生身高近似服从正态分布，统计结果显示高二男生中身高高于的概率为，则此次体检中，高二男生身高不低于的人数约为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知随机变量，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  某防空导弹系统包含辆防空导弹发射车，其中联装，联装，联装防空导弹发射车各辆，当警戒雷达车发现敌机后通知指挥车，指挥车指挥防空导弹发射车发射导弹，每次只选择辆防空导弹发射车已知指挥车指挥联装，联装，联装防空导弹发射车发射导弹的概率分别为，，，且联装，联装，联装防空导弹发射车命中敌机的概率分别为，，在某次演习中警戒雷达车发现一架敌机，则此防空导弹系统发射导弹命中敌机的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  元宵节庙会上有一种摸球游戏：布袋中有个大小和形状均相同的小球，其中白球个，红球个，每次摸出个球若摸出的红球个数为，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则下列说法正确的是(    )

A. 在上单调递增 B. 在上单调递减
C. 在处取得极小值 D. 在处取得极大值

10.  已知，且，，则下列式子不正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为，则(    )

A.
B. 的展开式中有理项有项
C. 的展开式中偶数项的二项式系数和为
D. 除以余

12.  有一座高度是级第级第级台阶的楼梯，小明在楼梯底部第级从下往上走，每跨一步只能向上级或者向上级，且每步向上级与向上级的概率相同，设第步后小明所在台阶级数为随机变量，则(    )

A.  B.
C.  D. 中最大

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  在密室逃脱游戏中，小明闯过第一关的概率为，连续闯过前两关的概率为事件表示小明第一关闯关成功，事件表示小明第二关闯关成功，则 ______ ．

14.  牛膝是苋科多年生药用草本植物，具有活血通经、补肝肾、强筋骨等功效，可用于治疗腰膝酸痛等症状某农户种植牛膝的时间单位：天和牛膝的根部直径单位：的统计表如表：

由上表可得经验回归方程为，若此农户准备在时采收牛膝，据此模型预测，此批牛滕采收时间预计是第______ 天

15.  的展开式中的系数是______ ．

16.  已知数列满足，且，若，则数列的前项和 ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
部队是青年学生成长成才的大学校，是砥砺品格、增强意志的好课堂，是施展才华、成就事业的大舞台，国防和军队现代化建设迫切需要一大批有责任、敢担当的有志青年携笔从戎、报效祖国为响应征兵号召，某高等院校名男生和名女生报名参军，经过逐层筛选，有人通过入伍审核．
若学生甲和乙都接到了入伍通知，其余入伍人员尚未接到通知，求所有可能结果有多少种？
若至少有名女生通过入伍审核，但入伍人员尚未接到通知，求所有可能结果有多少种？

18.  本小题分
已知数列是公差不为零的等差数列，且，，成等比数列．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．

19.  本小题分
牛排主要分为菲力牛排，肉眼牛排，西冷牛排，骨牛排，某牛肉采购商从采购的一批牛排中随机抽取盒，利用牛排的分类标准得到的数据如表：

用比例分配的分层随机抽样方法从这盒牛排中抽取盒，再从抽取的盒牛排中随机抽取盒，求恰好有盒牛排是骨牛排的概率；
若将频率视为概率，用样本估计总体，从这批牛排中随机抽取盒，若表示抽到的菲力牛排的数量，求的分布列和数学期望．

20.  本小题分
设各项都是正数的数列的前项和为，，且．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．

21.  本小题分
年月日时分，编号为的大飞机从上海浦东机场第跑道起飞，于时分安全降落，标志着中国商飞公司即将交付首家用户的首架大飞机首次飞行试验圆满完成大飞机某型号的精密零件由甲、乙制造厂生产，产品按质量分为，，三个等级，其中，等级的产品为合格品，等级的产品为不合格品质监部门随机抽取了甲、乙制造厂的产品各件，检测结果为：甲制造厂的合格品为件，甲、乙制造厂的级产品分别为件、件，两制造厂的不合格品共件补全下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为产品的合格率与制造厂有关？

若每件产品的生产成本为元，每件，等级的产品出厂销售价格分别为元、元，等级的产品必须销毁，且销毁费用为每件元用样本的频率代替概率，试比较甲、乙制造厂生产件这种产品的平均盈利的大小．
附：

22.  本小题分
已知函数在处的切线与直线：垂直．
求的单调区间；
若对任意实数，恒成立，求整数的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得，，解得．
故选：．
根据离散型随机变量分布列的性质求解即可．
本题考查离散型随机变量的分布列的性质，是中档题．
 

2.【答案】 

【解析】解：名学生报名参加天文、计算机、文学、美术这个兴趣小组，每人选报组，
每个人都有种选择，则不同的报名方式种数为种．
故选：．
分析可知每个人都有种选择，利用分步乘法计数原理可得结果．
本题主要考查分步乘法计数原理，考查运算求解能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：去掉点后，变量与变量的相关程度变强，故D正确，B错误；
但由于散点的分布是从左上到右下，故变量与变量呈负相关，
所以相关系数变小，故AC错误．
故选：．
根括散点图的性质知去掉点后，相关性变强判断选项，相关系数为负判断选项．
本题考查散点图的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：先将不含甲、乙的人排列，有种，再在人之间及首尾个空位中任选个空位安排甲、乙，有种，
所以甲、乙两人不相邻的不同的排法有种．
故选：．
应用插空法，结合分步原理，先排不含甲、乙的人，再将甲、乙插入人所成列的个空中，利用排列数求排法数即可．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为高二男生身高近似服从正态分布，且，
于是，因此，
所以高二男生身高不低于的人数约为．
故选：．
根据给定条件，利用正态分布的对称性求出高二男生身高不低于的概率，即可计算作答．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：随机变量，
则，，
故，解得或舍．
故选：．
根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式，即可求解．
本题主要考查二项分布的期望与方差公式，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：此防空导弹系统发射导弹命中敌机分为三类：指挥联装发射且命中，指挥联装发射且命中，指挥联装发射且命中，
由题意得防空导弹系统发射导弹命中敌机的概率为．
故选：．
由已知结合相互独立事件的概率公式即可求解．
本题主要考查了相互独立事件的概率公式的应用，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意，的可能取值为，，，
则，
，
，
所以，
故．
故选：．
根据离散型随机变量的数学期望性质可解．
本题考查离散型随机变量的数学期望的性质，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图可知时，，单调递增，故A正确；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，故B错误；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在处取得极小值，故C正确；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，故D正确．
故选：．
根据导函数与函数的单调性和极值的关系求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，且，，
，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合组合数、排列数公式，即可求解．
本题主要考查组合数、排列数公式，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，因为第项与第项的二项式系数相等，
所以，
由组合数的性质知，故A正确；
对于，在的展开式中，令，得，
所以，
所以的二项式通项为．
由为整数，得，，，，，
所以展开式中有理项有项，故B正确；
对于，展开式中偶数项的二项式系数和为，故C错误；
对于，由知，则，
所以除以余，故D正确．
故选：．
由二项式系数的概念与组合数的性质可判断；由二项式的通项结合有理项的概念判断；由偶数项的二项式系数和判断；结合二项式定理判断．
本题主要考查二项式定理的应用，考查转化思想，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：小明每步向上级和向上级的概率都是，
“跨步，每步向上个台阶”，
，故A正确；
的可能取值为，，，
，，，
所以，故B正确；
“跨步到达第级台阶，且步每步向上个台阶，剩余步每步向上个台阶”，
；
“跨步到第级台阶，有步向上个台阶，剩余步每步向上个台阶”，
，故C错误；
由题意，，表示跨步到达第级台阶，每步向上个台阶，，
“跨步到达第级台阶，有步每步向上个台阶，剩余步每步向上个台阶”，
，
依次类推得：，，，，
所以时的概率最大，故D正确．
故选：．
对于，表示跨步到达第级台阶，由此算出对应概率；
对于，的值可能为，，，再求出各自的概率，再利用期望公式求解；
对于，，说明这四步有两步一阶，两步两阶，结合二项分布的知识求出，同理算出，即可判断结论；
对于，可以取，，，，，，分别算出对应的概率，比较即可．
本题考查利用二项分布的知识与方法，计算随机变量对应事件的概率和随机变量的期望，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，，，
则．
故答案为：．
根据题意，分析可得、的值，由条件概率公式计算的答案．
本题考查条件概率的计算，注意套件概率的计算公式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由已知可得  ，
，
则样本点的中心的坐标为，代入，
得，
即，
当时，解得．
此批牛膝采收时间预计是第天．
故答案为：．
由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解，进一步取求解值即可．
本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：的展开式中通项是，
的展开式中通项是，
所以中通项为，
令，则，或，或，或，，
故的展开式中的系数是．
故答案为：．
根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：依题意，由，
可得，
则，，，，，
各项相乘，可得，
，



．
故答案为：．
本题先根据题干给出的递推公式运用累乘法推导出数列的通项公式，进一步计算出数列的通项公式，然后运用裂项相消法即可计算出前项和．
本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，累乘法，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
 

17.【答案】解：因为学生甲和乙都接到了入伍通知，其余入伍人员尚未接到通知，
所以从学生乙和甲以外的人中任选人，
所以所有的可能结果有种．
从人中任选人的所有可能结果有种，
选出的人中有名女生所有可能结果有种，
选出的人中没有女生所有可能结果有种，
所以至少有名女生被选出的选法数为种． 

【解析】从学生甲和乙以外的人中任选人，利用组合数公式计算可得；
利用间接法，求出没有女生和有名女生的可能结果，即可得解．
本题主要考查简单的计数问题，利用组合数公式以及排除法进行计算是解决本题的关键，是中档题．
 

18.【答案】解：设等差数列的公差为，
因为，，成等比数列，
所以，
解得或舍去．
故．
由可得，
故． 

【解析】根据等比数列性质得到，解得答案．
利用分组求和法结合等差等比数列求和公式计算即可．
本题考查等差数列的通项公式的求解，分组求和法的应用，方程思想，化归转化思想，属中档题．
 

19.【答案】解：用比例分配的分层随机抽样方法从这盒牛排中抽取盒，
其中骨牛排有盒，非骨牛排有盒，
再从中随机抽取盒，设恰好有盒牛排是骨牛排为事件，
则；
这盒牛排中菲力牛排有盒，所以菲力牛排的频率为，
设从这批牛排中随机抽取盒，抽到菲力牛排的事件为，
将频率视为概率，用样本估计总体可得，
从这批牛排中随机抽取盒，抽到的菲力牛排的数量满足，
又，
．
所以的分布列为：

所以． 

【解析】先根据分层抽样分别求出骨牛排和非骨牛排的和数，再利用古典概型求解即可；
先求出从这批牛排中随机抽取盒，抽到菲力牛排的概率，由题意可得服从二项分布，再根据二项分布的分布列及期望公式求解即可．
本题考查古典概型的概率公式的应用，二项分布的期望的求解，属中档题．
 

20.【答案】解：当时，将中的换为，
可得，
上面两式相减可得，，
即，
即．
又数列的各项都是正数，所以，所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以．
由得，
所以，

，得
，
所以． 

【解析】由数列的通项与前项和的关系，以及等差数列的定义、通项公式，可得所求；
由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
本题考查数列的通项与前项和的关系，以及等差数列和等比数列的通项公式与求和公式、数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：根据题目所给数据得到如下列联表如下：

，
根据小概率值的独立性检验，认为产品的合格率与制造厂有关．
对于甲制造厂，抽到的件产品中有等级产品件，等级产品件，等级产品件，
设生产一件产品的利润为元，则可能取得的值为，，，
的分布列为：

所以；
对于乙制造厂，抽到的件产品中有等级产品件，等级产品件，等级产品件，
设生产一件产品的利润为元，则可能取得的值为，，，
的分布列为：

所以；
因为，所以甲制造厂生产件这种产品的平均盈利比乙制造厂大． 

【解析】根据题目所给的数据填写列联表，计算，对照题目中的表格，得出统计结论；
分别求得甲、乙制造厂生产件这种产品的平均盈利的期望，进行比较即可．
本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
 

22.【答案】解：由，得，又切线与直线：垂直，，即，
，令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
的单调递减区间为，单调递增区间为．
对任意实数，恒成立，即对任意实数，恒成立．
设，即．
，令，
恒成立，在上单调递增．
又，，存在，使得，即，
．
当时，，当时，，
在上单调递减；在上单调递增，

，
当时，，
，由题意知且，
，即整数的最大值为． 

【解析】利用导数的几何意义得出，再利用导数判断单调区间即可；
分离参数将问题转化为恒成立，利用导数求最值结合隐零点计算即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．