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    2022-2023学年吉林省长春市第五中学高二上学期期末数学试题含解析

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    这是一份2022-2023学年吉林省长春市第五中学高二上学期期末数学试题含解析,共12页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2022-2023学年吉林省长春市第五中学高二上学期期末数学试题

     

    一、单选题

    1.一条直线过原点和点,则这条直线的倾斜角是(    

    A B C D

    【答案】C

    【解析】求出直线的斜率,结合倾斜角的取值范围可求得所求直线的倾斜角.

    【详解】设这条件直线的倾斜角为,则

    ,因此,.

    故选:C.

    2.抛物线的准线方程是(    

    A B

    C D

    【答案】C

    【分析】依题意将抛物线化为标准式,即可求出抛物线的准线;

    【详解】解:因为抛物线方程为,即,所以,即,所以抛物线的准线为

    故选:C

    3.已知椭圆C的焦点x轴上,过点的直线与C交于AB两点,若周长为8,则椭圆C的标准方程可能为(    

    A B

    C D

    【答案】C

    【分析】由椭圆的定义可得的周长为,然后可选出答案.

    【详解】由椭圆的定义可得的周长为

    所以

    因为椭圆的焦点在轴上,所以椭圆C的标准方程可能为

    故选:C

    4.已知等差数列的前项和为,若方程的两个实根,则    

    A46 B44 C42 D40

    【答案】B

    【分析】利用等差数列的性质和前n项和公式即可求解.

    【详解】因为方程的两个实根,

    所以.

    由等差数列的性质可得:

    所以.

    故选:B

    5.经过两条直线的交点,且垂直于直线的直线方程为(    

    A B

    C D

    【答案】D

    【解析】联立直线方程求出交点坐标,利用两直线垂直的条件求出斜率,点斜式写出直线方程.

    【详解】,解得

    因为所求直线与直线垂直

    所以所求直线方程:2x+3yc0,

    代入点可得

    所以所求直线方程为

    故选:D

    【点睛】方法点睛:本题考查直线方程,确定直线方程一般有两种途径:1.确定直线上不同的两点,通过直线方程的两点式确定;2.确定直线的斜率和直线上的一点,通过直线方程的点斜式确定.

    6.等比数列的各项均为正数,已知向量,且,则  

    A12 B10 C5 D

    【答案】C

    【分析】利用数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质即可得出.

    【详解】向量=(),=(),且4

    +4

    由等比数列的性质可得:=……=2

    log2)=

    故选C

    【点睛】本题考查数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质,考查推理能力与计算能力,属于中档题.

    720201217日凌晨159分,嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆,这是我国首次实现了地外天体采样返回,标志着中国航天向前又迈出了一大步.月球距离地球约38万千米,有人说:在理想状态下,若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折次其厚度就可以超过到达月球的距离,那么至少对折的次数是(    )(

    A40 B41 C42 D43

    【答案】C

    【解析】设对折次时,纸的厚度为,则是以为首项,公比为的等比数列,

    求出的通项,解不等式即可求解

    【详解】设对折次时,纸的厚度为,每次对折厚度变为原来的倍,

    由题意知是以为首项,公比为的等比数列,

    所以

    ,所以,即

    解得:

    所以至少对折的次数

    故选:C

    【点睛】关键点点睛:本题解题的关键是根据题意抽象出等比数列的模型,求出数列的通项,转化为解不等式即可.

    8.圆上有四个点到双曲线的一条渐近线的距离为2,则双曲线E的离心率的取值范围是(    ).

    A B C D

    【答案】C

    【分析】易得双曲线的一条渐近线为和圆的圆心,半径为5,根据圆C上有四个点到的距离为2,由圆心的距离求解.

    【详解】双曲线的一条渐近线为,圆,圆心,半径为5

    因为圆C上有四个点到的距离为2

    所以圆心的距离,即

    ,所以,即

    故选:C

     

    二、多选题

    9.下列结论中,正确的是(    

    A B.若,则

    C D

    【答案】BCD

    【分析】根据初等函数的导数逐一判断即可.

    【详解】A:因为,所以,因此本选项不正确;

    B:由,所以,因此本选项正确;

    C:因为,所以本选项正确;

    D:因为,所以本选项正确,

    故选:BCD

    10.已知曲线,下列说法正确的是(    

    A.若A=B=1,则C是圆

    B.若A=B=0,则C是直线

    C.若A≠0B=0,则C是抛物线

    D.若AB<0D=E=0,则C是双曲线

    【答案】BD

    【分析】对于A:当A=B=1时,则曲线,分,分别讨论可判断;

    对于B:当A=B=0,则,且,可判断;

    对于C:当A≠0B=0,则,分,讨论可判断;

    对于D:当AB<0D=E=0,则由此可判断.

    【详解】已知曲线

    对于A:当A=B=1时,则曲线

    ,则C是点

    ,则C是圆;

    ,则C不存在,故A不正确;

    对于B:当A=B=0,则,且,则C是直线,故B正确;

    对于C:当A≠0B=0,则

    ,则表示一元二次方程,

    ,则表示抛物线,故C不正确,

    对于D:当AB<0D=E=0,则表示双曲线,故D正确,

    故选:BD.

    11.等差数列是递增数列,公差为d,前n项和为,满足,下列选项正确的是(  )

    Ad0 B

    C.当n5最小 Dn的最小值为8

    【答案】BD

    【分析】利用等差数列基本量计算以及等差数列前n项和公式进行判断.

    【详解】A:因为数列递增,故,故A错;

    B:因为,根据基本量展开,即,因为,所以,故B正确;

    C:由可知,所以前3项均为负数,故最小时,n34. C错;

    D,故当时,n最小值为8.

    故选:BD

    12.已知双曲线的实轴长为,焦距为,左、右焦点分别为,下列结论正确的是(    

    A.双曲线的离心率为 B.双曲线的渐近线方程为

    C到一条渐近线的距离是 D.过的最短弦长为

    【答案】AC

    【分析】依题意可知,进而由双曲线的几何性质可依次做出判断.

    【详解】依题意可知,所以.

    离心率,故A正确;

    渐近线方程为,故B错误;

    ,不妨设渐近线为,则到渐近线的距离,故C正确;

    的最短弦长为,故D错误.

    故选:AC.

     

    三、填空题

    13.已知为椭圆的左焦点,P为椭圆上一点,则的取值范围为_________

    【答案】[1,3]

    【分析】设出点P的坐标,由两点间的距离公式求出,进而根据点在椭圆上将式子化简,最后求出范围.

    【详解】由题意,,设,则,所以,因为,所以的范围是.

    故答案为:.

    14.函数在点处的切线方程为__________.

    【答案】

    【分析】求出切点和斜率,代入点斜式即可求出结果.

    【详解】因为,所以

    所以切线方程为,即

    故答案为:

    【点睛】本题考查的是导数的几何意义,考查了运算求解能力,属于一般题目.

    15.已知实数4m9构成一个等比数列,则圆锥曲线的离心率为________.

    【答案】

    【分析】根据等比中项的性质求得,由此对进行分类讨论,求得圆锥曲线的离心率.

    【详解】由于实数成等比数列,所以,所以.

    时,为椭圆,.

    时,为双曲线,.

    所以锥曲线的离心率为.

    故答案为:

    【点睛】本小题主要考查等比中项的性质,考查椭圆和双曲线的离心率的求法,考查分类讨论的数学思想方法,属于基础题.

    16.已知双曲线且圆的圆心是双曲线的右焦点.若圆与双曲线的渐近线相切,则双曲线的方程为____________.

    【答案】

    【分析】由已知可得双曲线右焦点坐标为,再由圆心到渐近线的距离为,得到关系,结合,即可求解.

    【详解】.①取渐近线

    .②

    ①②可得

    双曲线的方程为.

    故答案为:.

    【点睛】本题以圆为背景,考查双曲线的性质,考查计算求解能力,属于基础题.

     

    四、解答题

    17.等差数列满足.

    (1)的通项公式和前项和

    (2)设等比数列满足,求数列的前项和.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)利用等差数列的通项公式和前项和公式求解即可;

    2)根据条件算出,再由等比数列的前项和公式求解即可.

    【详解】1)设等差数列的公差为

    可得,

    解得:

    可得:

    .

    2)设等比数列的公比为

    由足,可得:

    解得:

    则数列的前项和为:.

    18.已知圆,直线

    (1)当直线与圆相交,求的取值范围;

    (2)当直线与圆相交于两点,且时,求直线的方程.

    【答案】(1)

    (2).

     

    【分析】1)根据直线与圆的位置关系,利用几何法可得出关于实数的不等式,由此可解得实数的取值范围;

    2)根据勾股定理求出圆心到直线的距离,再利用点到直线的距离公式可得出关于实数的值,即可求出直线的方程.

    【详解】1)解:圆的标准方程为,圆心为,半径为

    因为直线与圆相交,则,解得.

    2)解:因为,则圆心到直线的距离为

    由点到直线的距离公式可得,整理得,解得.

    所以,直线的方程为.

    19.已知抛物线,坐标原点为,焦点为,直线

    1)若只有一个公共点,求的值;

    2)过点作斜率为的直线交抛物线两点,求的面积.

    【答案】110;(2.

    【分析】1)将直线方程与抛物线方程联立,由即可求解;

    2)求出抛物线的焦点坐标,即可得直线方程,设,联立直线与抛物线方程,根据及韦达定理即可求解;

    【详解】解:(1)依题意消去,即

    时,显然方程只有一个解,满足条件;

    时,,解得

    综上,当时直线与抛物线只有一个交点;

    2)抛物线,所以焦点,所以直线方程为,设

    ,消去,所以

    所以

    所以.

    20.已知数列的前项和为

    (1)求数列的通项公式;

    (2),求数列的前项和

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)根据数列公式,结合已知得出,即可根据等比数列定义得出答案;

    2)根据对数运算结合小问1通项得出,再得出数列的通项公式,即可利用裂项相消法得出答案.

    【详解】1)由题意得,当时,,解得

    时,由可得,

    两式相减并整理得:

    故数列是首项为9,公比为3的等比数列,

    则数列的通项公式为:.

    2)由小问1知:

    .

    21.已知椭圆过点

    1)求的方程;

    2)记的左顶点为,上顶点为,点上在第四象限的点,分别与轴,轴交于两点,试探究四边形的面积是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.

    【答案】1;(2)是定值,定值.

    【分析】1)利用代入法进行求解即可;

    2)根据直线二点式方程,结合四边形的面积表达式,通过数学运算进行求解判断即可.

    【详解】解:(1)依题意,

    解得,故的方程为.

    2)是定值.

    理由如下:

    依题意,,设,则

    所以直线,令

    直线,令.

    又易知,所以四边形的面积为

    所以四边形的面积为.

    【点睛】关键点睛:根据四边形的面积表达式,通过熟练的数学运算求解是解题的关键.

     

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