2022-2023学年吉林省长春市第五中学高二上学期期末数学试题含解析

2022-2023学年吉林省长春市第五中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．一条直线过原点和点，则这条直线的倾斜角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】求出直线的斜率，结合倾斜角的取值范围可求得所求直线的倾斜角.

【详解】设这条件直线的倾斜角为，则，

，因此，.

故选：C.

2．抛物线的准线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】依题意将抛物线化为标准式，即可求出抛物线的准线；

【详解】解：因为抛物线方程为，即，所以，即，所以抛物线的准线为

故选：C

3．已知椭圆C的焦点，在x轴上，过点的直线与C交于A，B两点，若周长为8，则椭圆C的标准方程可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由椭圆的定义可得的周长为，然后可选出答案.

【详解】由椭圆的定义可得的周长为

所以

因为椭圆的焦点在轴上，所以椭圆C的标准方程可能为

故选：C

4．已知等差数列的前项和为，若与方程的两个实根，则（    ）

A．46 B．44 C．42 D．40

【答案】B

【分析】利用等差数列的性质和前n项和公式即可求解.

【详解】因为与方程的两个实根，

所以.

由等差数列的性质可得：，

所以.

故选：B

5．经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】联立直线方程求出交点坐标，利用两直线垂直的条件求出斜率，点斜式写出直线方程.

【详解】由，解得

因为所求直线与直线垂直

所以所求直线方程：2x+3y＋c＝0,

代入点可得，

所以所求直线方程为

故选：D

【点睛】方法点睛：本题考查直线方程，确定直线方程一般有两种途径：1.确定直线上不同的两点，通过直线方程的两点式确定；2.确定直线的斜率和直线上的一点，通过直线方程的点斜式确定.

6．等比数列的各项均为正数，已知向量，，且，则　　

A．12 B．10 C．5 D．

【答案】C

【分析】利用数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质即可得出．

【详解】向量＝（，），＝（，），且•＝4，

∴+＝4，

由等比数列的性质可得：＝……＝＝＝2，

则log2（•）＝．

故选C．

【点睛】本题考查数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．

7．2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数是（    ）（，）

A．40 B．41 C．42 D．43

【答案】C

【解析】设对折次时，纸的厚度为，则是以为首项，公比为的等比数列，

求出的通项，解不等式即可求解

【详解】设对折次时，纸的厚度为，每次对折厚度变为原来的倍，

由题意知是以为首项，公比为的等比数列，

所以，

令，

即，所以，即，

解得：，

所以至少对折的次数是，

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据题意抽象出等比数列的模型，求出数列的通项，转化为解不等式即可.

8．圆上有四个点到双曲线的一条渐近线的距离为2，则双曲线E的离心率的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】易得双曲线的一条渐近线为和圆的圆心，半径为5，根据圆C上有四个点到的距离为2，由圆心到的距离求解.

【详解】双曲线的一条渐近线为，圆，圆心，半径为5，

因为圆C上有四个点到的距离为2，

所以圆心到的距离，即，

而，所以，即．

故选：C

二、多选题

9．下列结论中，正确的是（    ）

A． B．若，则

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据初等函数的导数逐一判断即可.

【详解】A：因为，所以，因此本选项不正确；

B：由，所以，因此本选项正确；

C：因为，所以本选项正确；

D：因为，所以本选项正确，

故选：BCD

10．已知曲线，下列说法正确的是（    ）

A．若A=B=1，则C是圆

B．若A=B=0，，则C是直线

C．若A≠0，B=0，则C是抛物线

D．若AB<0，D=E=0，，则C是双曲线

【答案】BD

【分析】对于A：当A=B=1时，则曲线，分，，，分别讨论可判断；

对于B：当A=B=0，则，且，可判断；

对于C：当A≠0，B=0，则，分，，讨论可判断；

对于D：当AB<0，D=E=0，，则由此可判断.

【详解】已知曲线，

对于A：当A=B=1时，则曲线，

若，则C是点；

若，则C是圆；

若，则C不存在，故A不正确；

对于B：当A=B=0，则，且，则C是直线，故B正确；

对于C：当A≠0，B=0，则，

若，则表示一元二次方程，

若，则表示抛物线，故C不正确，

对于D：当AB<0，D=E=0，，则表示双曲线，故D正确，

故选：BD.

11．等差数列是递增数列，公差为d，前n项和为，满足，下列选项正确的是（　　）

A．d＜0 B．

C．当n＝5时最小 D．时n的最小值为8

【答案】BD

【分析】利用等差数列基本量计算以及等差数列前n项和公式进行判断.

【详解】A：因为数列递增，故，故A错；

B：因为，根据基本量展开，即，因为，所以，故B正确；

C：由可知，所以前3项均为负数，故最小时，n为3或4. 故C错；

D：，，故当时，n最小值为8.

故选：BD

12．已知双曲线的实轴长为，焦距为，左、右焦点分别为，下列结论正确的是（    ）

A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为

C．到一条渐近线的距离是 D．过的最短弦长为

【答案】AC

【分析】依题意可知，，，进而由双曲线的几何性质可依次做出判断.

【详解】依题意可知，，所以.

离心率，故A正确；

渐近线方程为，故B错误；

，不妨设渐近线为，则到渐近线的距离，故C正确；

过的最短弦长为，故D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上一点，则的取值范围为_________．

【答案】[1,3]

【分析】设出点P的坐标，由两点间的距离公式求出，进而根据点在椭圆上将式子化简，最后求出范围.

【详解】由题意，，设，则，所以，因为，所以的范围是.

故答案为：.

14．函数在点处的切线方程为__________.

【答案】

【分析】求出切点和斜率，代入点斜式即可求出结果.

【详解】因为，所以，

，

所以切线方程为，即

故答案为：

【点睛】本题考查的是导数的几何意义，考查了运算求解能力，属于一般题目.

15．已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为________.

【答案】或

【分析】根据等比中项的性质求得，由此对进行分类讨论，求得圆锥曲线的离心率.

【详解】由于实数成等比数列，所以，所以.

当时，为椭圆，.

当时，为双曲线，.

所以锥曲线的离心率为或.

故答案为：或

【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查椭圆和双曲线的离心率的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.

16．已知双曲线且圆的圆心是双曲线的右焦点.若圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的方程为____________.

【答案】

【分析】由已知可得双曲线右焦点坐标为，再由圆心到渐近线的距离为，得到关系，结合，即可求解.

【详解】∵.①取渐近线，

又.②

由①②可得，，

∴双曲线的方程为.

故答案为:.

【点睛】本题以圆为背景，考查双曲线的性质，考查计算求解能力，属于基础题.

四、解答题

17．等差数列满足，.

(1)求的通项公式和前项和；

(2)设等比数列满足，，求数列的前项和.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式求解即可；

（2）根据条件算出，再由等比数列的前项和公式求解即可.

【详解】（1）设等差数列的公差为，

由，可得，，

解得：，

可得：，

.

（2）设等比数列的公比为，

由足，，可得：，，

解得：，

则数列的前项和为：.

18．已知圆，直线．

(1)当直线与圆相交，求的取值范围；

(2)当直线与圆相交于、两点，且时，求直线的方程．

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）根据直线与圆的位置关系，利用几何法可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围；

（2）根据勾股定理求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于实数的值，即可求出直线的方程.

【详解】（1）解：圆的标准方程为，圆心为，半径为，

因为直线与圆相交，则，解得.

（2）解：因为，则圆心到直线的距离为，

由点到直线的距离公式可得，整理得，解得或.

所以，直线的方程为或.

19．已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：．

（1）若与只有一个公共点，求的值；

（2）过点作斜率为的直线交抛物线于、两点，求的面积．

【答案】（1）1或0；（2）.

【分析】（1）将直线方程与抛物线方程联立，由或即可求解；

（2）求出抛物线的焦点坐标，即可得直线方程，设，，联立直线与抛物线方程，根据及韦达定理即可求解；

【详解】解：（1）依题意消去得，即，

①当时，显然方程只有一个解，满足条件；

②当时，，解得；

综上，当或时直线与抛物线只有一个交点；

（2）抛物线：，所以焦点，所以直线方程为，设，，

由，消去得，所以，，

所以，

所以.

20．已知数列的前项和为，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据数列公式，结合已知得出与，即可根据等比数列定义得出答案；

（2）根据对数运算结合小问1通项得出，再得出数列的通项公式，即可利用裂项相消法得出答案.

【详解】（1）由题意得，当时，，解得，

当时，由可得，，

两式相减并整理得：，

故数列是首项为9，公比为3的等比数列，

则数列的通项公式为：.

（2）由小问1知：，

则，

则，

，

，

.

21．已知椭圆过点，

（1）求的方程；

（2）记的左顶点为，上顶点为，点是上在第四象限的点，，分别与轴，轴交于，两点，试探究四边形的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）；（2）是定值，定值.

【分析】（1）利用代入法进行求解即可；

（2）根据直线二点式方程，结合四边形的面积表达式，通过数学运算进行求解判断即可.

【详解】解：（1）依题意，

解得，故的方程为.

（2）是定值.

理由如下：

依题意，，设，则，

所以直线，令，

则；

直线，令.

则，

又易知，所以四边形的面积为

，

所以四边形的面积为.

【点睛】关键点睛：根据四边形的面积表达式，通过熟练的数学运算求解是解题的关键.