新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案30第五章平面向量与复数第二讲平面向量的基本定理及坐标表示

练案[30] 第二讲　平面向量的基本定理及坐标表示

A组基础巩固

一、单选题

1．(2022·巴中模拟)向量＝(2,3)，＝(4,7)，则等于( B )

A．(－2，－4)  B．(2,4)

C．(6,10)  D．(－6，－10)

[解析]　＝－＝(2,4)．故选B.

2．(2022·陕西汉中月考)已知向a，b满足a－b＝(1，－5)，a＋2b＝(－2,1)，则b＝( C )

A．(1,2)  B．(1，－2)

C．(－1,2)  D．(－1，－2)

[解析]　∵a－b＝(1，－5)①，a＋2b＝(－2,1)②，

∴②－①得3b＝(－3,6)．∴b＝(－1,2)．故选C.

3．若e1，e2是平面α内的一组基底，则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是( B )

A．e1－e2，e2－e1  B．e1＋e2，e1－e2

C．2e2－3e1，－6e1＋4e2  D．2e1＋e2，e1＋e2

[解析]　由e1，e2是平面α内的一组基底，则e1，e2为非零不共线向量，对A，e1－e2＝－(e2－e1)，故e1－e2，e2－e1共线，不符题意；对B，e1＋e2，e1－e2不能互相线性表示，故不共线，满足题意；对C,2e2－3e1＝(－6e1＋4e2)，故2e2－3e1，－6e1＋4e2共线，不满足题意；对D,2e1＋e2＝2，故2e1＋e2，e1＋e2共线，不满足题意，故选B.

4．(2022·山西晋中市新一双语学校月考)若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝( B )

A．3a＋b  B．3a－b

C．－a＋3b  D．a＋3b

[解析]　设c＝λa＋μb，则(4,2)＝(λ－μ，λ＋μ)

即，解得：λ＝3，μ＝－1

则c＝3a－b

故选B.

5．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝( B )

A．2  B．4

C．  D．

[解析]　以向量a和b的交点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1)，

则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)．

所以a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．

∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，

∴解得∴＝4.故选B.

6．(2022·汕头调研)如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF＝3FE，记a＝，b＝，则＝( D )

A.a＋b  B．a－b

C．－a＋b  D．a－b

[解析]　取a＝，b＝作为基底，则＝a＋b.因为BF＝3FE，所以＝＝＝a＋b，所以＝－＝a＋b－b＝a－b，故选D.

7．△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，则角C的大小为( B )

A.  B．

C．  D．

[解析]　因为向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)且p∥q，所以(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即c2－a2－b2＋ab＝0，所以cos C＝＝，因为0<C<π，所以C＝.故选B.

8．(2023·江西新余第一中学模拟)如图，已知△OAB，若点C满足＝2，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＋＝( D )

A.  B．

C．  D．

[解析]　∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴λ＝，μ＝，∴＋＝3＋＝.故选D.

二、多选题

9．(2023·聊城一中模拟)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于点M，设＝a，＝b，则下列结论正确的是( ABD )

A.＝a＋b  B．＝－a＋b

C.＝－a＋b  D．＝－a＋b

[解析]　＝＋＝＋＝a＋b，故A正确；

＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b，故B正确；

＝＋＝－＋＝－a＋b，故C错误；

＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b，故D正确．

10．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是( ABD )

A．－2  B．

C．1  D．－1

[解析]　各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点就可构成三角形．

11．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且||＝||，则P点的坐标为( BD )

A．(－8,1)  B．

C.  D．

[解析]　设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，

而＝(－8,1)＝，当＝时，

有解得

所以P点坐标为.

同理当＝－时，可解得P.故选B、D.

三、填空题

12．已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_(2,4)__.

[解析]　∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，

∴＝2.

设点D的坐标为(x，y)，则＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)，＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，

∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，

即(4－x ,2－y)＝(2，－2)，

∴解得

故点D的坐标为(2,4)．

13．(2023·广西贺州联考)已知向量＝(m，n)，＝(2,1)，＝(3,8)，则mn＝_7__.

[解析]　∵＝＋＝(m＋2，n＋1)＝(3,8)，

∴m＋2＝3，n＋1＝8，∴m＝1，n＝7，∴mn＝7.

14．设向量a＝(3,2)，b＝(－1,3)，向量λa－2b与a＋b平行，则实数λ＝_－2__.

[解析]　∵a＝(3,2)，b＝(－1,3)，

∴λa－2b＝(3λ＋2,2λ－6)，a＋b＝(2,5)，

又λa－2b与a＋b平行，

所以5(3λ＋2)＝2(2λ－6)整理得11λ＝－22，即λ＝－2.

15．(2023·江西南昌模拟)已知向量a＝(m，n)，b＝(1，－2)，若|a|＝2，a＝λb(λ<0)，则m－n＝_－6__.

[解析]　∵a＝(m，n)，b＝(1，－2)，∴由|a|＝2，a＝λb(λ<0)，得m2＋n2＝20　①，　②，联立①②，解得m＝－2，n＝4.∴m－n＝－6.

四、解答题

16．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．

(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；

(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．

[解析]　(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，

a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．

∵ka－b与a＋2b共线，

∴2(k－2)－(－1)×5＝0，

即2k－4＋5＝0，得k＝－.

(2)解法一：∵A，B，C三点共线，∴＝λ，

即2a＋3b＝λ(a＋mb)，

∴解得m＝.

解法二：＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，

＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，

∵A，B，C三点共线，∴∥，

∴8m－3(2m＋1)＝0，

即2m－3＝0，∴m＝.

17．已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2)．

(1)若a∥b，求tan θ的值；

(2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．

[解析]　(1)因为a∥b，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝.

(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝12＋22＝5，

所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5.

从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，

即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，

于是sin＝－.

又由0<θ<π知，<2θ＋<，

所以2θ＋＝或2θ＋＝.

因此θ＝或θ＝.

B组能力提升

1．(多选题)设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，有如下四个命题(向量b，c和a在同一平面内且两两不共线)，则真命题是( AB )

A．给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c

B．给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc

C．给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc

D．给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc

[解析]　∵向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，

∴b≠0，c≠0，

给定向量a和b，只需求得其向量差a－b，

即为所求的向量c，

故总存在向量c，使a＝b＋c，故A正确；

当向量b，c和a在同一平面内且两两不共线时，向量b，c可作基底，

由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确；

取a＝(4,4)，μ＝2，b＝(1,0)，

无论λ取何值，向量λb都平行于x轴，而向量μc的模恒等于2，

要使a＝λb＋μc成立，根据平行四边形法则，向量μc的纵坐标一定为4，

故找不到这样的单位向量c使等式成立，故C错误；

因为λ和μ为正数，所以λb和μc代表与原向量同向的且有固定长度的向量，

这就使得向量a不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使a＝λb＋μc成立，故D错误．

故选AB.

2．(2022·吉林重点高中月考)如图，若＝a，＝b，＝c，B是线段AC靠近点C的一个四等分点，则下列等式成立的是( C )

A．c＝b－a  B．c＝b＋a

C．c＝b－a  D．c＝b＋a

[解析]　本题考查向量的线性运算．c＝＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝b－a.故选C.

3．(2023·湖北四校调研)如图所示，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD＝3DC.若＝λ＋μ，则＝( B )

A.  B．

C．2  D．

[解析]　本题考查向量的线性运算.＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝，μ＝，从而求得＝，故选B.

4．(2023·豫南九校联考)如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列向量：若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的向量有( B )

A.＋2  B．＋

C.＋  D．－

[解析]　在ON上取点C，使得OC＝2OB，以OA，OC为邻边作平行四边形OCDA(图略)，则＝＋2，其终点不在阴影区域内，排除A，同理排除C，D，故选B.

5．(2022·西安质检)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝( A )

A.  B．

C．3  D．

[解析]　如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1,0)，C点的坐标为(0,2)，

因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m>0)．

＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1,0)＋μ(0,2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，所以＝.

6．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋.则△ABM与△ABC的面积之比为_14__；若N为AB的中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，则x＋y＝ 　.

[解析]　由＝＋，

可知点M，B，C三点共线，

令＝λ(λ∈R)，

则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，

所以λ＝，即点M在边BC上，如图所示，

所以＝＝.

由＝x＋y，

得＝x＋，

＝＋y，

由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线得

解得

所以x＋y＝.