新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案32第五章平面向量与复数第四讲平面向量的综合应用

练案[32] 第四讲　平面向量的综合应用

A组基础巩固

一、单选题

1．若O为△ABC内一点，||＝||＝||，则O是△ABC的( B )

A．内心  B．外心

C．垂心  D．重心

[解析]　由向量模的定义知O到△ABC的三顶点距离相等，故O是△ABC的外心，故选B.

2．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2－6，则点P的轨迹是( D )

A．圆  B．椭圆

C．双曲线  D．抛物线

[解析]　因为＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，所以·＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2－6，所以y2＝x，即点P的轨迹是抛物线．故选D.

3．已知向量a＝(1，sin θ)，b＝(1，cos θ)，则|a－b|的最大值为( B )

A．1  B．

C．  D．2

[解析]　∵a＝(1，sin θ)，b＝(1，cos θ)，

∴a－b＝(0，sin θ－cos θ)．

∴|a－b|＝＝.

∴|a－b|最大值为.故选B.

4．已知A，B是圆心为C半径为的圆上两点，且||＝，则·等于( A )

A．－  B．

C．0  D．

[解析]　由于弦长|AB|＝与半径相等，则∠ACB＝60°⇒·＝－·＝－||·||·cos ∠ACB＝－×·cos 60°＝－.

5．(2023·云南省宾川高三上学期数学摸底试卷)点P是△ABC内一点且满足4＋3＋2＝0，则△PBC，△PAC，△PAB的面积比为( A )

A．432  B．234

C．111  D．346

[解析]　由P是△ABC内一点且满足4＋3＋2＝0，根据向量的几何运算作出图形如下，

其中|PA|＝|PA′|，|PC′|＝2|PC|，

|PB|＝|PB′|，

虚线为垂线，且|B′D|＝3|BF|，|A′M|＝4|AE|，

|A′G|＝4|AN|.

所以S△PBC＝|PC||BF|＝×|PC′|××|B′D|＝S△PB′C′，

S△PAC＝|PC||AE|＝×|PC′|××|A′M|＝S△PA′C′，

S△PAB＝|PB||AN|＝×|PB′|××|A′G|＝S△PA′B′，

又PA′B′C′为平行四边形，

所以S△PA′B′＝S△PA′C′＝S△PB′C′，

所以S△PBCS△PACS△PAB＝＝432，

选A.

6．(2022·浙江省兰溪市第三中学月考)扇形OAB的半径为1，圆心角为，P是上的动点，则·的最小值为( C )

A．－  B．0

C．－  D．

[解析]　由题设，＝－，＝－，

∴·＝(－)·(－)＝2－·(＋)＋·，

∵·＝－，2＝1，

∴·＝－·(＋)，要使·最小，即，＋同向共线．

又|＋|＝||＝1，

∴(·)min＝－1＝－.

故选C.

二、多选题

7．设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有( AD )

A．a⊥b  B．a∥b

C．|a|＝|b|  D．|a＋b|＝|a－b|

[解析]　f(x)＝－(a·b)x2＋(a2－b2)x＋a·b.

依题意知f(x)的图象是一条直线，

所以a·b＝0，即a⊥b.故选A、D.

8．如图，已知△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，＋＋＝0，且||＝||，下列选项正确的是( BCD )

A.在方向上的投影长为－

B.·＝·

C.在方向上的投影长为

D.·＝·

[解析]　由＋＋＝0，得＝－＝，所以四边形OBAC为平行四边形．又O为△ABC外接圆的圆心，所以||＝||，又||＝||，所以△OAB为正三角形．因为△ABC的外接圆半径为2，所以四边形OBAC是边长为2的菱形，所以∠ACB＝，所以在上的投影为||cos＝2×＝，故A错误，C正确．因为·＝·＝－2，·＝·＝2，故B、D正确．

三、填空题

9．在△ABC中，若·＝·＝2，则边AB的长等于_2__.

[解析]　由题意知·＋·＝4，即·(＋)＝4，即·＝4，所以||＝2.

10．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是 　.

[解析]　由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，即4|b|2＋4×2|b|2cos θ＝0，所以cos θ＝－，又因为0≤θ≤π，所以θ＝.

11．已知向量m＝，n＝.若m·n＝1，则cos＝ －　.

[解析]　m·n＝sin cos ＋cos2

＝sin ＋＝sin＋，

因为m·n＝1，所以sin＝.

因为cos＝1－2sin2＝，

所以cos＝－cos＝－.故填－.

12．(2022·蚌埠模拟)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的最大值为_1__.

[解析]　(1)解法一：如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，设E(t,0)，0≤t≤1，则D(0,1)，C(1,1)，＝(t，－1)，＝(1,0)，∴·＝t≤1.

解法二：选取{，}作为基底，设＝t，0≤t≤1，则·＝(t－)·＝t≤1.

解法三：设＝t，

则·＝·＝||·1·cos ∠AED＝||＝|t|||＝|t|≤1.

四、解答题

13．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.

(1)若m⊥n，求tan x的值；

(2)若m与n的夹角为，求x的值．

[解析]　(1)因为m＝，n＝(sin x，cos x)，m⊥n，所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0，所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.

(2)由已知得|m|＝|n|＝1，所以m·n＝|m|·|n|cos ＝，即sin x－cos x＝，所以sin＝.因为0<x<，所以－<x－<，所以x－＝，即x＝.

14．(2023·甘肃会宁一中高三上第二次月考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sin B，－)，n＝，且m∥n.

(1)求锐角B的大小；

(2)如果b＝2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．

[解析]　(1)∵m∥n，

∴2sin B＝－cos 2B，

∴sin 2B＝－cos 2B，即tan 2B＝－.

又∵B为锐角，∴2B∈(0，π)，

∴2B＝，∴B＝.

(2)∵B＝，b＝2，

∴由余弦定理cos B＝，得a2＋c2－ac－4＝0.

又∵a2＋c2≥2ac，

∴ac≤4(当且仅当a＝c＝2时等号成立)，

∴S△ABC＝acsin B＝ac≤(当且仅当a＝c＝2时等号成立)．

∴△ABC的面积的最大值为.

B组能力提升

1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行，则A＝( B )

A.  B．

C．  D．

[解析]　因为m∥n，所以asin B－bcos A＝0，由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0，又sin B≠0，从而tan A＝，由于0<A<π，所以A＝.

2．(2023·邵阳大联考)在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量m＝，n＝，p＝共线，则△ABC的形状为( A )

A．等边三角形  B．等腰三角形

C．直角三角形  D．等腰直角三角形

[解析]　由题意得acos ＝bcos ，acos ＝ccos ，由正弦定理得sin Acos ＝sin Bcos ⇒sin ＝sin ⇒B＝A，同理可得C＝A，所以△ABC为等边三角形．故选A.

3．已知点M(－3,0)，N(3,0)．动点P(x，y)满足||·||＋·＝0，则点P的轨迹的曲线类型为( B )

A．双曲线  B．抛物线

C．圆  D．椭圆

[解析]　＝(3,0)－(－3,0)＝(6,0)，||＝6，＝(x，y)－(－3,0)＝(x＋3，y)，＝(x，y)－(3,0)＝(x－3，y)，所以||·||＋·＝6＋6(x－3)＝0，化简可得y2＝－12x.故点P的轨迹为抛物线．故选B.

4．(多选题)已知函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的部分图象如图所示，A，B分别是这部分图象上的最高点、最低点，O为坐标原点，若·＝0，则函数f(x＋1)是( AD )

A．周期为4的函数  B．周期为2π的函数

C．奇函数  D．偶函数

[解析]　由题图可得A，B，

由·＝0得－3＝0，又ω>0，

所以ω＝，所以f(x)＝sin x，

所以f(x＋1)＝sin ＝cos x，它是周期为4的偶函数．故选A、D.

5．(2022·湖南五市十校联考)已知向量m＝(cos x，sin x)，n＝(cos x，cos x)，x∈R，设函数f(x)＝m·n＋.

(1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；

(2)设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，若f(A)＝2，b＋c＝2，△ABC的面积为，求a的值．

[解析]　(1)由题意知f(x)＝cos2x＋sin xcos x＋＝sin＋1，令2x＋∈，k∈Z，解得x∈，k∈Z，

∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.　

(2)∵f(A)＝sin＋1＝2，

∴sin＝1.

∵0<A<π，∴<2A＋<，

∴2A＋＝，即A＝.

由△ABC的面积S＝bcsin A＝，得bc＝2.

又b＋c＝2，

∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)，

解得a＝－1.

6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.

(1)求角B的大小；

(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值．

[解析]　(1)由题意得(a－c)cos B＝bcos

C．

根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，

所以sin Acos B＝sin (C＋B)，

即sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)，

所以sin A>0，

所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.

(2)因为|－|＝，所以||＝，即b＝，

根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，

即ac≤3(2＋)．

故△ABC的面积S＝acsin B≤，

因此△ABC的面积的最大值为.