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新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案28第四章三角函数解三角形第六讲解三角形
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这是一份新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案28第四章三角函数解三角形第六讲解三角形，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
练案[28] 第六讲 解三角形
A组基础巩固
一、选择题
1．(2023·云南省宾川高三上学期数学摸底试卷)在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于( B )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
[解析] ∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝，∴A＝60°.
2．在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆的面积为( B )
A. B．π
C．2π D．4π
[解析] 在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝45°，
故C＝180°－A－B＝60°.
设△ABC的外接圆半径为R，
则由正弦定理可得2R＝＝，解得R＝1，
故△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝π.故选B.
3．(2023·安徽合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为( B )
A. B．
C．2 D．2
[解析] 因为S＝AB·ACsin A＝×2×AC＝，
所以AC＝1，
所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝22＋12－2×2cos 60°＝3.
所以BC＝.
4．在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是( D )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
[解析] 由已知＝＝＝，所以＝或＝0，即C＝90°或＝.当C＝90°时，△ABC为直角三角形．当＝时，由正弦定理，得＝，所以＝，即sin Ccos C＝sin Bcos B，即sin 2C＝sin 2B.因为B，C均为△ABC的内角，所以2C＝2B或2C＋2B＝180°，所以B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.
5.为了测量西藏被誉为“阿里之巅”的冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行．测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量，最后将所有的高度差累加，得到山峰的高度．在测量过程中，已知竖立在点B处的测量觇标高10米，测量人员在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70°，80°，则A，B两处的高度差约为(参考数据：sin 10°≈0.173 6，sin 70°≈0.939 7，sin 80°≈0.984 8)( C )
A．10米 B．9.66米
C．9.40米 D．8.66米
[解析] 如图所示，设与点A在同一水平面上，且与BC在同一竖直面上的点为D.在△ABC中，由正弦定理可得＝.因为∠BAC＝∠DAC－∠BAD＝10°，∠ACB＝90°－∠CAD＝10°，所以AB＝BC＝10米．在Rt△ADB中，BD＝ABsin ∠BAD＝10×sin 70°≈9.40(米)．故选C.
6．(2023·河北武邑中学调研)黑板上有一道有解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a＝2，…，解得b＝，根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件( B )
A．A＝30°，B＝45°
B．C＝75°，A＝45°
C．B＝60°，c＝3
D．c＝1，cos C＝
[解析] 由C＝75°，A＝45°可知B＝60°，又＝，∴b＝＝＝＝，符合题意，故选B.
7．(2022·合肥市质量检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin A＋2csin C＝2bsin Ccos A，则角A的最大值为( A )
A. B．
C． D．
[解析] 由正弦定理可得a2＋2c2＝2bccos A．根据余弦定理得b2＋c2－2bccos A＋2c2＝2bccos A，整理得4bccos A＝b2＋3c2≥2bc，所以cos A≥，又A∈(0，π)，所以0
A. B．
C． D．
[解析] 在△ABC中，由正弦定理及acos B＋bcos A＝3ccos
C．
得sin Acos B＋cos Asin B＝3sin Ccos C，
∴sin(A＋B)＝sin C＝3sin Ccos C，
又sin C≠0，∴cos C＝；
由正弦定理及asin A－csin C＋bsin A＝0，
得a2－c2＝－ab.
又由余弦定理得
cos C＝＝＝，
∴＝.
二、多选题
9．在△ABC中，a＝4，b＝8，A＝30°，则此三角形的边角情况可能是( AD )
A．B＝90° B．C＝120°
C．c＝2 D．C＝60°
[解析] ∵＝，∴sin B＝＝1，∴B＝90°，C＝60°，根据＝得c＝＝＝4.故选A、D.
10．(2023·山东德州期中)下列关于正弦定理的叙述中正确的是( ACD )
A．在△ABC中，abc＝sin Asin Bsin C
B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B
C．在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B
D．在△ABC中，＝
[解析] 对于A，在△ABC中，由正弦定理可得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，所以abc＝sin Asin Bsin C，故A正确；对于B，若sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝π，可得A＝B或A＋B＝，故B错误；对于C，若sin A>sin B，根据正弦定理a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，得a>b，再根据大边对大角可得A>B.若A>B，则a>b，由正弦定理a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，得sin A>sin B，故C正确；对于D，由＝＝，再根据比例式的性质可知D正确．故选A、C、D.
11．(2023·武汉调研)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是( ACD )
A．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形
B．若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形
C．若bcos C＋c cos B＝b，则△ABC是等腰三角形
D．若＝＝，则△ABC是等边三角形
[解析] ∵tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)，
∵tan A＋tan B＋tan C＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan C＝－tan C(1－tan Atan B)＋tan C＝tan Atan Btan C>0，∴A，B，C均为锐角，∴选项A正确；
由acos A＝bcos B及正弦定理，可得sin 2A＝sin 2B，∴A＝B或A＋B＝，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴选项B错误；由bcos C＋ccos B＝b及正弦定理，
可知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B，
∴sin A＝sin B，∴A＝B，则△ABC是等腰三角形，∴选项C正确；
由已知和正弦定理，易知tan A＝tan B＝tan C，A＝B＝C，则△ABC是等边三角形，∴选项D正确．
三、填空题
12．我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S＝，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边a＝，b＝，c＝2，则该三角形的面积S＝ .
[解析] 因为a＝，b＝，c＝2，所以S＝＝.
13．(2023·重庆诊断)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝2，c＝3，A＝2B，则a＝ .
[解析] A＝2B⇒sin A＝sin 2B⇒sin A＝2sin Bcos B，由正弦定理得a＝2bcos B，又由余弦定理得a＝2b·，代入b＝2，c＝3，可得a2＝10，故a＝.
14．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝sin A－sin B，则C＝ .
[解析] 在△ABC中，∵＝sin A－sin B，∴＝a－b.
∴a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝＝.∴C＝.
15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，＝a，a＝2.若b∈[1,3]，则c的最小值为_3__.
[解析] 由＝a，得＝sin
C．由余弦定理可得cos C＝，即3cos C＝sin C，所以tan C＝，故cos C＝，所以c2＝b2－2b＋12＝(b－)2＋9，因为b∈[1,3]，所以当b＝时，c取最小值3.
四、解答题
16．(2022·北京卷)在△ABC中，sin 2C＝sin C．
(1)求∠C；
(2)若b＝6，且△ABC的面积为6，求△ABC的周长．
[解析] (1)因为sin 2C＝sin C，所以2sin Ccos C＝sin C，
因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以cos C＝，C＝.
(2)因为△ABC的面积S＝absin C＝×a×6×＝6，所以a＝4.
由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝48＋36－72＝12，所以c＝2，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝4＋6＋2＝6(＋1)．
17．(2022·全国Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)．
(1)若A＝2B，求C；
(2)证明：2a2＝b2＋c2.
[解析] (1)由A＝2B，A＋B＋C＝π可得A＝.
将A＝2B代入sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)可得sin Csin B＝sin Bsin(C－A)，
因为B∈(0，π)，sin B≠0，所以sin C＝sin(C－A)，
又A，C∈(0，π)，所以C＋C－A＝π，即A＝2C－π，
与A＝联立，解得C＝.
(2)解法一：由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)可得，
sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B＝sin Bsin Ccos A－sin Bcos Csin A.
由正弦定理可得，accos B－bccos A＝bccos A－abcos C，
即accos B＋abcos C＝2bccos A(*)．
由余弦定理得，accos B＝，abcos C＝，2bccos A＝b2＋c2－a2，
代入(*)式并整理得，2a2＝b2＋c2.
解法二：因为A＋B＋C＝π，
所以sin Csin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2 Acos2 B－cos2 Asin2 B＝sin2 A(1－sin2 B)－(1－sin2 A)sin2 B＝sin2 A－sin2 B，
sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2 C－sin2 A，
又sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
所以sin2 A－sin2 B＝sin2 C－sin2 A.
由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.
B组能力提升
1．(多选题)(2022·临沂模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，c＝3，A＋3C＝π，则下列结论正确的是( AD )
A．cos C＝ B．sin B＝
C．a＝3 D．S△ABC＝
[解析] 因为A＋3C＝π，A＋B＋C＝π，所以B＝2C.由正弦定理得＝，即＝，所以cos C＝，故A正确．因为cos C＝，所以sin C＝，所以sin B＝sin 2C＝2sin Ccos C＝2××＝，故B错误．因为cos B＝cos 2C＝2cos2C－1＝－，所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝，则cos A＝，所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝(2)2＋32－2×2×3×＝1，所以a＝1，故C错误．S△ABC＝bcsin A＝×2×3×＝，故D正确．故选AD.
2．(2020·课标Ⅲ)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则tan B＝( C )
A. B．2
C．4 D．8
[解析] 解法一：由余弦定理及cos C＝，AC＝4，BC＝3，知AB＝3，于是cos B＝＝>0，所以sin B＝，所以tan B＝4，故选C.
解法二：作BD⊥AC于D，由cos C＝，BC＝3，知CD＝2，即D为边AC的中点，所以三角形ABC是等腰三角形，且BD＝，于是tan ＝，故tan B＝＝4，故选C.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为( C )
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
[解析] ∵＝，∴＝，∴b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC是等边三角形．
4．(2022·湖南四校摸底调研)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋＝1，则C＝( B )
A. B．
C． D．
[解析] 由正弦定理及＋＝1，得＋＝1，整理可得a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理得cos C＝＝，又C∈(0，π)，所以C＝.故选B.
5．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝ －1 .
[解析] 设BD＝k(k>0)，则CD＝2k.根据题意作出大致图形，如图．在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos ∠ADB＝22＋k2－2×2k×＝k2＋2k＋4.在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos ∠ADC＝22＋(2k)2－2×2×2k×＝4k2－4k＋4，则＝＝＝4－＝4－＝4－，∵k＋1＋≥2(当且仅当k＋1＝，即k＝－1时等号成立)，∴≥4－＝4－2＝(－1)2，∴当取得最小值－1时，BD＝k＝－1.
6．(2020·新高考Ⅰ)在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
[解析] 方案一：选条件①.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.
由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.
方案二：选条件②.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c，B＝C＝，A＝.
由②csin A＝3，所以c＝b＝2，a＝6.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2.
方案三：选条件③.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.
由③c＝b，与b＝c矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
7．(2023·河北武邑中学高三上学期数学摸底试卷)如图，在凸四边形ABCD中，AB＝1，BC＝，AC⊥DC，CD＝AC.设∠ABC＝θ.
(1)若θ＝30°，求AD的长；
(2)当θ变化时，求BD的最大值．
[解析] (1)在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，
∴AC2＝1＋3－2cos 30°＝1，
∴AC＝1.
在△ACD中，AD2＝AC2＋DC2＝4AC2＝4，
∴AD＝2.
(2)设AC＝x，CD＝x，
在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，
x2＝4－2cos θ.
∵＝＝，
∴sin∠ACB＝.
在△BCD中，
BD＝＝＝＝＝＝.
∵θ∈(0，π)，∴θ－∈，当θ－＝，θ＝时BD取到最大值3.
8．(2022·全国新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)若C＝，求B；
(2)求的最小值．
[解析] (1)因为＝，
所以＝，
所以＝，
所以cos Acos B＝sin B＋sin Asin B，
所以cos(A＋B)＝sin B，
所以sin B＝－cos C＝－cos ＝，
因为B∈，所以B＝.
(2)由(1)得cos(A＋B)＝sin B，
所以sin＝sin B，且0
由正弦定理得
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝4cos2 B＋－5
≥2－5
＝4－5，当且仅当cos2 B＝时取等号，
所以的最小值为4－5.
练案[28] 第六讲 解三角形
A组基础巩固
一、选择题
1．(2023·云南省宾川高三上学期数学摸底试卷)在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于( B )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
[解析] ∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝，∴A＝60°.
2．在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆的面积为( B )
A. B．π
C．2π D．4π
[解析] 在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝45°，
故C＝180°－A－B＝60°.
设△ABC的外接圆半径为R，
则由正弦定理可得2R＝＝，解得R＝1，
故△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝π.故选B.
3．(2023·安徽合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为( B )
A. B．
C．2 D．2
[解析] 因为S＝AB·ACsin A＝×2×AC＝，
所以AC＝1，
所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝22＋12－2×2cos 60°＝3.
所以BC＝.
4．在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是( D )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
[解析] 由已知＝＝＝，所以＝或＝0，即C＝90°或＝.当C＝90°时，△ABC为直角三角形．当＝时，由正弦定理，得＝，所以＝，即sin Ccos C＝sin Bcos B，即sin 2C＝sin 2B.因为B，C均为△ABC的内角，所以2C＝2B或2C＋2B＝180°，所以B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.
5.为了测量西藏被誉为“阿里之巅”的冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行．测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量，最后将所有的高度差累加，得到山峰的高度．在测量过程中，已知竖立在点B处的测量觇标高10米，测量人员在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70°，80°，则A，B两处的高度差约为(参考数据：sin 10°≈0.173 6，sin 70°≈0.939 7，sin 80°≈0.984 8)( C )
A．10米 B．9.66米
C．9.40米 D．8.66米
[解析] 如图所示，设与点A在同一水平面上，且与BC在同一竖直面上的点为D.在△ABC中，由正弦定理可得＝.因为∠BAC＝∠DAC－∠BAD＝10°，∠ACB＝90°－∠CAD＝10°，所以AB＝BC＝10米．在Rt△ADB中，BD＝ABsin ∠BAD＝10×sin 70°≈9.40(米)．故选C.
6．(2023·河北武邑中学调研)黑板上有一道有解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a＝2，…，解得b＝，根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件( B )
A．A＝30°，B＝45°
B．C＝75°，A＝45°
C．B＝60°，c＝3
D．c＝1，cos C＝
[解析] 由C＝75°，A＝45°可知B＝60°，又＝，∴b＝＝＝＝，符合题意，故选B.
7．(2022·合肥市质量检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin A＋2csin C＝2bsin Ccos A，则角A的最大值为( A )
A. B．
C． D．
[解析] 由正弦定理可得a2＋2c2＝2bccos A．根据余弦定理得b2＋c2－2bccos A＋2c2＝2bccos A，整理得4bccos A＝b2＋3c2≥2bc，所以cos A≥，又A∈(0，π)，所以0
A. B．
C． D．
[解析] 在△ABC中，由正弦定理及acos B＋bcos A＝3ccos
C．
得sin Acos B＋cos Asin B＝3sin Ccos C，
∴sin(A＋B)＝sin C＝3sin Ccos C，
又sin C≠0，∴cos C＝；
由正弦定理及asin A－csin C＋bsin A＝0，
得a2－c2＝－ab.
又由余弦定理得
cos C＝＝＝，
∴＝.
二、多选题
9．在△ABC中，a＝4，b＝8，A＝30°，则此三角形的边角情况可能是( AD )
A．B＝90° B．C＝120°
C．c＝2 D．C＝60°
[解析] ∵＝，∴sin B＝＝1，∴B＝90°，C＝60°，根据＝得c＝＝＝4.故选A、D.
10．(2023·山东德州期中)下列关于正弦定理的叙述中正确的是( ACD )
A．在△ABC中，abc＝sin Asin Bsin C
B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B
C．在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B
D．在△ABC中，＝
[解析] 对于A，在△ABC中，由正弦定理可得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，所以abc＝sin Asin Bsin C，故A正确；对于B，若sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝π，可得A＝B或A＋B＝，故B错误；对于C，若sin A>sin B，根据正弦定理a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，得a>b，再根据大边对大角可得A>B.若A>B，则a>b，由正弦定理a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，得sin A>sin B，故C正确；对于D，由＝＝，再根据比例式的性质可知D正确．故选A、C、D.
11．(2023·武汉调研)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是( ACD )
A．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形
B．若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形
C．若bcos C＋c cos B＝b，则△ABC是等腰三角形
D．若＝＝，则△ABC是等边三角形
[解析] ∵tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)，
∵tan A＋tan B＋tan C＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan C＝－tan C(1－tan Atan B)＋tan C＝tan Atan Btan C>0，∴A，B，C均为锐角，∴选项A正确；
由acos A＝bcos B及正弦定理，可得sin 2A＝sin 2B，∴A＝B或A＋B＝，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴选项B错误；由bcos C＋ccos B＝b及正弦定理，
可知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B，
∴sin A＝sin B，∴A＝B，则△ABC是等腰三角形，∴选项C正确；
由已知和正弦定理，易知tan A＝tan B＝tan C，A＝B＝C，则△ABC是等边三角形，∴选项D正确．
三、填空题
12．我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S＝，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边a＝，b＝，c＝2，则该三角形的面积S＝ .
[解析] 因为a＝，b＝，c＝2，所以S＝＝.
13．(2023·重庆诊断)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝2，c＝3，A＝2B，则a＝ .
[解析] A＝2B⇒sin A＝sin 2B⇒sin A＝2sin Bcos B，由正弦定理得a＝2bcos B，又由余弦定理得a＝2b·，代入b＝2，c＝3，可得a2＝10，故a＝.
14．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝sin A－sin B，则C＝ .
[解析] 在△ABC中，∵＝sin A－sin B，∴＝a－b.
∴a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝＝.∴C＝.
15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，＝a，a＝2.若b∈[1,3]，则c的最小值为_3__.
[解析] 由＝a，得＝sin
C．由余弦定理可得cos C＝，即3cos C＝sin C，所以tan C＝，故cos C＝，所以c2＝b2－2b＋12＝(b－)2＋9，因为b∈[1,3]，所以当b＝时，c取最小值3.
四、解答题
16．(2022·北京卷)在△ABC中，sin 2C＝sin C．
(1)求∠C；
(2)若b＝6，且△ABC的面积为6，求△ABC的周长．
[解析] (1)因为sin 2C＝sin C，所以2sin Ccos C＝sin C，
因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以cos C＝，C＝.
(2)因为△ABC的面积S＝absin C＝×a×6×＝6，所以a＝4.
由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝48＋36－72＝12，所以c＝2，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝4＋6＋2＝6(＋1)．
17．(2022·全国Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)．
(1)若A＝2B，求C；
(2)证明：2a2＝b2＋c2.
[解析] (1)由A＝2B，A＋B＋C＝π可得A＝.
将A＝2B代入sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)可得sin Csin B＝sin Bsin(C－A)，
因为B∈(0，π)，sin B≠0，所以sin C＝sin(C－A)，
又A，C∈(0，π)，所以C＋C－A＝π，即A＝2C－π，
与A＝联立，解得C＝.
(2)解法一：由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)可得，
sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B＝sin Bsin Ccos A－sin Bcos Csin A.
由正弦定理可得，accos B－bccos A＝bccos A－abcos C，
即accos B＋abcos C＝2bccos A(*)．
由余弦定理得，accos B＝，abcos C＝，2bccos A＝b2＋c2－a2，
代入(*)式并整理得，2a2＝b2＋c2.
解法二：因为A＋B＋C＝π，
所以sin Csin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2 Acos2 B－cos2 Asin2 B＝sin2 A(1－sin2 B)－(1－sin2 A)sin2 B＝sin2 A－sin2 B，
sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2 C－sin2 A，
又sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
所以sin2 A－sin2 B＝sin2 C－sin2 A.
由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.
B组能力提升
1．(多选题)(2022·临沂模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，c＝3，A＋3C＝π，则下列结论正确的是( AD )
A．cos C＝ B．sin B＝
C．a＝3 D．S△ABC＝
[解析] 因为A＋3C＝π，A＋B＋C＝π，所以B＝2C.由正弦定理得＝，即＝，所以cos C＝，故A正确．因为cos C＝，所以sin C＝，所以sin B＝sin 2C＝2sin Ccos C＝2××＝，故B错误．因为cos B＝cos 2C＝2cos2C－1＝－，所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝，则cos A＝，所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝(2)2＋32－2×2×3×＝1，所以a＝1，故C错误．S△ABC＝bcsin A＝×2×3×＝，故D正确．故选AD.
2．(2020·课标Ⅲ)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则tan B＝( C )
A. B．2
C．4 D．8
[解析] 解法一：由余弦定理及cos C＝，AC＝4，BC＝3，知AB＝3，于是cos B＝＝>0，所以sin B＝，所以tan B＝4，故选C.
解法二：作BD⊥AC于D，由cos C＝，BC＝3，知CD＝2，即D为边AC的中点，所以三角形ABC是等腰三角形，且BD＝，于是tan ＝，故tan B＝＝4，故选C.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为( C )
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
[解析] ∵＝，∴＝，∴b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC是等边三角形．
4．(2022·湖南四校摸底调研)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋＝1，则C＝( B )
A. B．
C． D．
[解析] 由正弦定理及＋＝1，得＋＝1，整理可得a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理得cos C＝＝，又C∈(0，π)，所以C＝.故选B.
5．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝ －1 .
[解析] 设BD＝k(k>0)，则CD＝2k.根据题意作出大致图形，如图．在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos ∠ADB＝22＋k2－2×2k×＝k2＋2k＋4.在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos ∠ADC＝22＋(2k)2－2×2×2k×＝4k2－4k＋4，则＝＝＝4－＝4－＝4－，∵k＋1＋≥2(当且仅当k＋1＝，即k＝－1时等号成立)，∴≥4－＝4－2＝(－1)2，∴当取得最小值－1时，BD＝k＝－1.
6．(2020·新高考Ⅰ)在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
[解析] 方案一：选条件①.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.
由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.
方案二：选条件②.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c，B＝C＝，A＝.
由②csin A＝3，所以c＝b＝2，a＝6.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2.
方案三：选条件③.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.
由③c＝b，与b＝c矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
7．(2023·河北武邑中学高三上学期数学摸底试卷)如图，在凸四边形ABCD中，AB＝1，BC＝，AC⊥DC，CD＝AC.设∠ABC＝θ.
(1)若θ＝30°，求AD的长；
(2)当θ变化时，求BD的最大值．
[解析] (1)在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，
∴AC2＝1＋3－2cos 30°＝1，
∴AC＝1.
在△ACD中，AD2＝AC2＋DC2＝4AC2＝4，
∴AD＝2.
(2)设AC＝x，CD＝x，
在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，
x2＝4－2cos θ.
∵＝＝，
∴sin∠ACB＝.
在△BCD中，
BD＝＝＝＝＝＝.
∵θ∈(0，π)，∴θ－∈，当θ－＝，θ＝时BD取到最大值3.
8．(2022·全国新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)若C＝，求B；
(2)求的最小值．
[解析] (1)因为＝，
所以＝，
所以＝，
所以cos Acos B＝sin B＋sin Asin B，
所以cos(A＋B)＝sin B，
所以sin B＝－cos C＝－cos ＝，
因为B∈，所以B＝.
(2)由(1)得cos(A＋B)＝sin B，
所以sin＝sin B，且0
由正弦定理得
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝4cos2 B＋－5
≥2－5
＝4－5，当且仅当cos2 B＝时取等号，
所以的最小值为4－5.
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