新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案29第五章平面向量与复数第一讲平面向量的概念及其线性运算

练案[29] 第五章　平面向量与复数

 第一讲　平面向量的概念及其线性运算

A组基础巩固

一、单选题

1.如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式错误的是( D )

A.＝  B．＝

C.＝－  D．＝

[解析]　由数乘向量的定义可以得到A，B，C都是正确的，只有D错误．

2．(2022·四川成都七中一诊)已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2＝2＋，则( B )

A．点P在线段AB上

B．点P在线段AB的反向延长线上

C．点P在线段AB的延长线上

D．点P不在直线AB上

[解析]　∵2＝2＋，∴2－2＝，即2＝，∴点P在线段AB的反向延长线上，故选B.

3．(2018·课标全国Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝( A )

A.  B．

C．  D．

[解析]　＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝，故选A.

4．(2022·辽宁丹东模拟)设平面向量a，b不共线，若＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则( A )

A．A，B，D三点共线  B．A，B，C三点共线

C．B，C，D三点共线  D．A，C，D三点共线

[解析]　∵＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，＝＋＋＝(a＋5b)＋(－2a＋8b) ＋3(a－b)＝2(a＋5b)＝2，∴与共线，即A，B，D三点共线，故选A.

5．(2022·唐山模拟)已知O是正方形ABCD的中心．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则等于( A )

A．－2  B．－

C．－  D．

[解析]　＝＋＝＋＝－＋＝－，所以λ＝1，μ＝－，因此＝－2.

6．(2022·南昌质检)已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是( A )

A．λμ＝1  B．λμ＝－1

C．λ－μ＝－1  D．λ＋μ＝2

[解析]　∵A，B，C三点共线，∴存在实数t，使＝t，即λa＋b＝ta＋μtb，则消去参数t，得λμ＝1；反之，当λμ＝1时，＝a＋b＝(a＋μb)＝，此时存在实数使＝，故和共线．∵与有公共点A，∴A，B，C三点共线，故选A.

7.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为DE的中点，若＝x＋，则x等于( C )

A.  B．

C．  D．

[解析]　连接AE(图略)，因为F为DE的中点，

所以＝(＋)，

而＝＋＝＋＝＋，

所以＝(＋)

＝

＝＋，

又＝x＋，

所以x＝.

8．(2023·东北师大附中等五校联考)已知向量a＝，b＝(cos α，1)，α∈，且a∥b，则sin＝( C )

A．－  B．

C．  D．－

[解析]　向量a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b，

则＝tan α·cos α＝sin α，

又α∈，知cos α＝－，

所以sin＝－cos α＝.

二、多选题

9．(2023·湖北枣阳白水高中期中改编)下列说法正确的是( BC )

A．单位向量都相等

B．模为0的向量与任意向量共线

C．平行向量一定是共线向量

D．任一向量与它的相反向量不相等

[解析]　对于A，单位向量的模相等，方向不一定相同，所以A错误；对于B，模为0的向量为零向量，零向量和任意向量共线，所以B正确；对于C，共线向量是方向相同或相反的非零向量，也叫平行向量，所以C正确；对于D，零向量与它的相反向量相等，所以D错误，故选B、C正确．

10．下列选项中的式子，结果为零向量的是( AD )

A.＋＋

B.＋＋＋

C.＋＋＋

D.－＋－

[解析]　利用向量运算，易知A，D中的式子结果为零向量．

11．(2023·广东仲元中学期中改编)在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( AC )

A．||＝||一定成立

B.＝＋一定成立

C.＝一定成立

D.＝－一定成立

[解析]　在平行四边形ABCD中，＝＋一定成立，＝一定不成立，＝－一定成立，但||＝||不一定成立，故选A、C.

三、填空题

12．如图所示，下列结论正确的是_①③__.

①＝a＋b；

②＝－a－b；

③＝a－b；

④＝a＋b.

[解析]　由a＋b＝，知＝a＋b，①正确；由＝a－b，从而②错误；＝＋b，故＝a－b，③正确；＝＋2b＝a＋b，④错误．故正确的为①③.

13．若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝ 2　.

[解析]　因为||＝||＝|－|＝2，

所以△ABC是边长为2的正三角形，

所以|＋|为△ABC的边BC上的高的2倍，

所以|＋|＝2.

14．设a和b是两个不共线的向量，若＝2a＋kb，＝a＋b，＝2a－b，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于_－4__.

[解析]　∵A，B，D三点共线，∴∥.∵＝2a＋kb，＝＋＝a－2b，∴k＝－4.故填－4.

15．如图所示，已知∠B＝30°，∠AOB＝90°，点C在AB上，OC⊥AB，若用和来表示向量，则＝ ＋　.

[解析]　易知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.

四、解答题

16．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．

(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；

(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.

[证明]　(1)若m＋n＝1，

则＝m＋(1－m)＝＋m(－)，

∴－＝m(－)，

即＝m，∴与共线．

又∵与有公共点B，

则A，P，B三点共线．

(2)若A，P，B三点共线，

则存在实数λ，使＝λ，

∴－＝λ(－)．

∴＝λ＋(1－λ)，　①

又＝m＋n，　②

由①②得λ＋(1－λ)＝m＋n，

∵，不共线，

∴

∴m＋n＝1.

17．(1)设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.

①求证：A，B，D三点共线；

②若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求实数k的值；

(2)已知a、b不共线，若向量ka＋b与a＋kb共线反向，求实数k的值．

[解析]　(1)①证明：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，

∵＝2e1－8e2，∴＝2，又与有公共点B，

∴A，B，D三点共线．

②由①可知＝e1－4e2，

又＝3e1－ke2，由B，D，F三点共线，得＝λ，

即3e1－ke2＝λe1－4λe2，

∴解得k＝12，

(2)∵ka＋b与a＋kb共线反向，

∴存在实数λ使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)．

∴∴k＝±1.又λ<0，∴k＝－1.

B组能力提升

1．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( C )

A．矩形  B．平行四边形

C．梯形  D．菱形

[解析]　∵＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，

∴∥.

又与不平行，∴四边形ABCD是梯形．

2．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点或终点的向量中，与向量相等的向量有几个( C )

A．1  B．2

C．3  D．4

[解析]　根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量相等的向量有，，，共3个．

3．(2022·广西玉林高中模拟)设D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，则＋2＋3＝( D )

A.  B．

C．  D．

[解析]　∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴＋2＋3＝(＋)＋2×(＋)＋3×(＋)＝＋＋＋＋＋＝＋＋＝.

 4.(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( ACD )

A．若＝＋，则点M是边BC的中点

B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上

C．若＝－－，则点M是△ABC的重心

D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的

[解析]　若＝＋，则点M是边BC的中点，故A正确；

若＝2－，即有－＝－，即＝，

则点M在边CB的延长线上，故B错误；

若＝－－，即＋＋＝0，

则点M是△ABC的重心，故C正确；

如图，＝x＋y，且x＋y＝，

可得2＝2x＋2y，

设＝2，

则M为AN的中点，

则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确．

故选ACD.

5．(2023·湖南师大附中高一期末)在△ABC中，已知D为BC上一点，且满足＝3，则＝( B )

A.＋  B．＋

C.＋  D．＋

[解析]　在△ABC中，＝3，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.故选B.

6．(2023·衡水调研)如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则＝( D )

A．－＋  B．＋

C.－  D．－

[解析]　＝－，＝＋.

∵E为BC的中点，F为AE的中点，

∴＝，＝，

∴＝－＝－＝(＋)－

＝＋－，

又＝，∴＝－.

7．(2022·兰州诊断)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是 　.

[解析]　由已知得AD＝1，CD＝，所以＝2.因为点E在线段CD上，所以＝λ(0≤λ≤1)．因为＝＋＝＋λ＝＋，又＝＋μ，所以μ＝.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤.