新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案31第五章平面向量与复数第三讲平面向量的数量积

练案[31]　第三讲　平面向量的数量积

A组基础巩固

一、单选题

1．(2022·全国乙卷)已知向量a＝(2,1)，b＝(－2,4)，则|a－b|＝( D )

A．2  B．3

C．4  D．5

[解析]　解法一：由题意知a－b＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝＝5，故选D.

解法二：由题意知|a|＝，|b|＝2，a·b＝2×(－2)＋1×4＝0，所以|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝25，所以|a－b|＝5，故选D.

2．已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝( B )

A．－1  B．0

C．1  D．2

[解析]　由已知得|a|＝|b|＝1，a与b的夹角θ＝60°，

则(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cos θ－|b|2

＝2×1×1×cos 60°－12＝0，故选B.

3．若向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|a＋2b|＝2，则|b|＝( B )

A.  B．1

C．4  D．3

[解析]　因为a＝(2,0)，所以|a|＝2，又因为|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4×|a|×|b|×cos 60°＋4|b|2＝(2)2，所以|b|2＋|b|－2＝0，解得|b|＝1(－2舍去)，故选B.

4．已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( C )

A．－  B．0

C．3  D．

[解析]　因为2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3，选C.

5．(2023·湖南省澧县一中高三试题)若AC⊥BC，AC＝BC＝1，点P是△ABC内一点，则·的取值范围是( A )

A.  B．

C.  D．(－1,1)

[解析]　建立平面直角坐标系，设出点P坐标，根据向量数量积的坐标运算，转化成坐标间的关系；根据坐标的取值范围确定数量积的范围．建立平面直角坐标系，由AC⊥BC，AC＝BC＝1，∴A(0,1)，B(1,0)，

设点P(x，y)，则＝(－x,1－y)，＝(1－x，－y)；又P是△ABC内的一点，

∴，∴·＝－x(1－x)＋(－y)(1－y)＝x2＋y2－x－y＝2＋2－；它表示△ABC内的点到点M距离的平方，再减去的值；结合图形知，点P与点M重合时，·取得最小值为－，点P与点A或B或C重合时，·取得最大值为0，∴·的取值范围是.

6．(2023·新高考八省联考)已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝a＋b，则sin〈a，c〉＝( B )

A.  B．

C．  D．

[分析]　利用夹角公式求解．

[解析]　解法一：设a＝(1,0)，b＝(0,1)，则c＝(，)，

cos〈a，c〉＝＝＝，

∴sin〈a，c〉＝，故选B.

解法二：|c|2＝c2＝(a＋b)2＝7a2＋2a·b＋2b2＝9，∴|c|＝3

a·c＝a(a＋b)＝a2＋a·b＝

∴cos〈a，c〉＝＝，∴sin〈a，c〉＝.故选B.

7．(2023·青岛调研)如图所示，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，CD＝8.若＝－7，3＝，则·＝( D )

A．11  B．10

C．－10  D．－11

[解析]　以A为坐标原点，建立直角坐标系如图．

则A(0,0)，B(4,0)，E(1,4)，F(5，1)，所以＝(5,1)，＝(－3，4)，则·＝－15＋4＝－11.

8．(2022·江西南昌二中期末改编)已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围可以是( C )

A.  B．(2，＋∞)

C.∪(2，＋∞)  D．∪

[解析]　∵a与b的夹角为钝角，∴－2λ－1<0，即λ>－.又a≠μb(μ<0)，∴λ≠2，∴λ的取值范围是∪(2，＋∞)．故选C.

二、多选题

9．(2023·山东高考预测卷)已知平面向量a＝(3,4)，b＝(7,1)，则下列结论正确的是( AD )

A．a＋b＝(10,5)  B．|b|＝10|a|

C．a∥(a－b)  D．a与b的夹角为45°

[解析]　根据向量的坐标运算易知A选项正确；因为|b|＝5，|a|＝5，所以B选项错误；因为a－b＝(－4,3)，3×3≠4×(－4)，所以C选项错误；因为cos〈a，b〉＝＝＝，所以a与b的夹角为45°，D选项正确．

10．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均为正数，且(a－b)∥c，则下列说法正确的是( CD )

A．a与b的夹角为钝角

B．向量a在b上的投影向量为b

C．2m＋n＝4

D．mn的最大值为2

[解析]　对于A，向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，

则a·b＝2－1＝1>0，又a，b不共线，

所以a，b的夹角为锐角，故A错误；

对于B，向量a在b上的投影向量为

·＝b，B错误；

对于C，a－b＝(1,2)，若(a－b)∥c，

则－n＝2(m－2)，变形可得2m＋n＝4，C正确；

对于D，由2m＋n＝4，且m，n均为正数，

得mn＝(2m·n)≤2＝2，当且仅当m＝1，n＝2时，等号成立，即mn的最大值为2，D正确．

11．(2023·武汉调研)如图，点A，B在圆C上，则·的值( BC )

A．与圆C的半径有关  B．与圆C的半径无关

C．与弦AB的长度有关  D．与点A，B的位置有关

[解析]　如图，连接AB，过C作CD⊥AB交AB与D，则D是AB的中点，故·＝||·||·cos∠CAD＝||·||·＝||2，故·的值与圆C的半径无关，只与弦AB的长度有关，故选BC.

三、填空题

12．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos a，b＝ －　.

[解析]　cos a，b＝＝＝－.

13．(2020·全国Ⅱ，13)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝ 　.

[解析]　本题考查平面向量的数量积运算．由题意知|a|＝|b|＝1，所以a·b＝|a||b|cos 45°＝.因为ka－b与a垂直，所以(ka－b)·a＝0，即ka2－a·b＝0，即k－＝0，得k＝.

14．(2022·皖中名校联考)已知向量a，b满足|a|＝5，|a－b|＝6，|a＋b|＝4，则向量b在向量a上的投影为_－1__.

[解析]　∵向量a，b满足|a|＝5，|a－b|＝6，|a＋b|＝4.

∴|a－b|2＝25＋b2－2a·b＝36，

|a＋b|2＝25＋b2＋2a·b＝16.

∴a·b＝－5，|b|＝1，

∴向量b在向量a上的投影为

|b|·cos a，b＝|b|·＝＝＝－1.

15．(2021·新高考Ⅱ，15)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝ －　.

[解析]　由a＋b＋c＝0，得b＋c＝－a，则a·(b＋c)＝－a2，所以a·b＋c·a＝－12＝－1.

由b＋c＝－a，得(b＋c)2＝(－a)2，则b2＋2b·c＋c2＝a2，

即22＋2b·c＋22＝12，

所以b·c＝－，则a·b＋b·c＋c·a＝－.

四、解答题

16．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.

(1)求a与b的夹角θ；

(2)求|a＋b|；

(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．

[解析]　(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，

所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.

又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，

所以a·b＝－6，所以cos θ＝＝＝－.

又0≤θ≤π，所以θ＝.

(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2

＝42＋2×(－6)＋32＝13，

所以|a＋b|＝.

(3)因为与的夹角θ＝，

所以∠ABC＝π－＝.

又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，

所以S△ABC＝||||·sin∠ABC

＝×4×3×＝3.

B组能力提升

1．(2023·甘肃兰州高三模拟)已知非零单位向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a与b－a的夹角为( D )

A.  B．

C．  D．

[解析]　解法一：设a与b－a的夹角为θ.

因为|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2，

即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，

所以a·b＝0.

因为a，b为非零单位向量，

所以(b－a)2＝2，即|b－a|＝.

因为a·(b－a)＝a·b－a·a＝－1＝|a||b－a|cos θ，

所以cos θ＝＝－，因为θ∈[0，π]，

所以θ＝.

解法二：几何法，如图，|a＋b|与|a－b|分别表示以a，b为邻边(共起点)的菱形两条对角线长度，且长度相等，从而菱形为正方形，再作出b－a知所求为.

解法三：坐标法，由|a＋b|＝|a－b|得a⊥b，又a，b为单位向量，则在平面直角坐标系中取a＝(1,0)，b＝(0,1)，则b－a＝(－1,1)，由向量夹角的坐标运算知a与b－a的夹角为.

2．(2023·新乡质检)已知向量a＝(0,2)，b＝(2，x)，且a与b的夹角为，则x＝( B )

A．－2  B．2

C．1  D．－1

[解析]　由题意得＝＝，

则2x＝，解之得x＝2，x＝－2(舍去)．

3．(多选题)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，则( AC )

A．||＝||

B．||＝||

C.·＝·

D.·＝·

[解析]　由题意可知，||＝＝1，||＝＝1，所以||＝||，故A正确；

取α＝，则P1，

取β＝，则P2，

则||≠||，故B错误；

因为·＝cos(α＋β)，·＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，所以·＝·，故C正确；

因为·＝cos α，·＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β)＝cos(α＋2β)，取α＝，β＝，则·＝，·＝cos ＝－，所以·≠·，故D错误．

4．(2022·广西柳州期中)如图，AB是单位圆O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，则·＝( B )

A．1  B．

C．  D．

[解析]　连接CD，CB，DB，如图所示：

在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝2，则AC＝2cos 60°＝1.

在Rt△ABD中，∠DAB＝30°，AB＝2，则AD＝2cos 30°＝.

因为∠CAD＝30°，

所以·＝·(－)＝·－＝1××－1＝.故选B.

5．(多选题)(2022·湖北洪湖市第一中学高一阶段练习)已知向量a＝(3,4)，b＝(cos θ，sin θ)(0≤θ≤π)，则下列命题正确的是( AC )

A．若a⊥b，则tan θ＝－

B．存在θ，使得|a－b|＝|a|＋|b|

C．若向量b在a方向上的投影向量为a，则向量a与b的夹角为

D．与向量a共线的单位向量是

[解析]　向量a＝(3,4)，b＝(cos θ，sin θ)(0≤θ≤π)，

A项，因为a⊥b，所以a·b＝(3,4)·(cos θ，sin θ)＝3cos θ＋4sin θ＝0，所以tan θ＝＝－，故选项A正确；

B项，要使|a－b|＝|a|＋|b|成立，则有a与b共线反向，即a＝λb(λ<0)，

所以，

因为λ<0,0≤θ≤π，所以sin θ≥0，所以4＝λsin θ不成立，

所以方程组无解，所以不存在θ，使得|a－b|＝|a|＋|b|，故选项B错误；

C项，|a|＝＝5，|b|＝＝1，

因为向量b在a方向上的投影向量为a，

所以向量b在a方向上的投影为|a|，

即|b|cos〈a，b〉＝|a|，

所以cos〈a，b〉＝×5＝，

又0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝，即向量a与b的夹角为，故选项C正确；

D项，因为|a|＝＝5，所以与向量a共线的单位向量是或，故选项D错误．故选AC.

6．如图所示，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，＝4，则·(－)＝ －　.

[解析]　由已知得||＝，||＝，则·(－)＝(＋)·＝·＋·＝cos ＋×＝－.

7．(2020·天津，15)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实数λ的值为 　；若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为 　.

[解析]　本题考查平面向量的线性运算以及数量积．由题意·＝||||cos ∠BAD＝||×3×＝－，所以||＝1.又||＝6，＝λ，所以λ＝.以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，垂直于BC的直线为y轴建立平面直角坐标系，由题可得A，D，不妨设M(t,0)(0≤t≤5)，则N(t＋1,0)，＝，＝，所以·＝·＋2＝t2－4t＋＝(t－2)2＋≥，所以当t＝2时，·取最小值为.

8.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1,0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．

(1)若θ＝，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；

(2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值．

[解析]　(1)设D(t,0)(0≤t≤1)，

由题意知C，

所以＋＝，

所以|＋|2＝2＋，

所以t＝时，|＋|最小，

最小值为.

(2)由题意得C(cos θ，sin θ)，

m＝＝(cos θ＋1，sin θ)，

则m·n＝1－cos2 θ＋sin2 θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－sin，

因为θ∈，

所以≤2θ＋≤，

所以当2θ＋＝，

即θ＝时，sin取得最大值1，

即m·n取得最小值1－.

所以m·n的最小值为1－，

此时θ＝.