适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第7章平面向量复数第4节复数课件新人教A版

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1.理解复数的概念,理解复数相等的充要条件.2.理解复数的代数表示法及其几何意义.3.掌握复数代数形式的四则运算,了解两个具体复数相加减的几何意义.
1.复数的定义及分类(1)复数的定义形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做　　　　　　,实部是　　,虚部是　　. (2)复数的分类
全体复数构成的集合叫做复数集,记为C,显然有R∈C
复数z=a+bi (a,b∈R)
微点拨1.复数的实部与虚部都是实数,特别注意复数a+bi(a,b∈R)的虚部是b,而不是bi.2.对于复数a+bi(a,b∈R),其实部a=0是a+bi为纯虚数的必要不充分条件.
微思考“3+2i>1+2i”“2+i<4+i”等结论对吗?为什么?
提示 不对.两个实数可以比较大小,但两个虚数只能判断它们是否相等,而不能比较它们的大小.
微点拨若复数z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,则|z1-z2|的几何意义是点Z1,Z2之间的距离.
4.复数的运算(1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.
(a±c)+(b±d)I
(ac-bd)+(bc+ad)i
(2)几何意义:复数的加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
(3)复数加法的运算定律设z1,z2,z3∈C,则复数加法满足以下运算律:①交换律:z1+z2=　　　　　　　. ②结合律:(z1+z2)+z3=　　　　　　. 
z1+(z2+z3)
6.复数z的方程在复平面上表示的图形(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心,以a和b为半径的两圆所夹的圆环(包括圆环的边界);(2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆.
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.复数z=a-bi(a,b∈R)中,虚部为b.(　　)2.复数中有复数相等的概念,因此复数可以比较大小.(　　)3.已知z=a+bi(a,b∈R),当a=0时,复数z为纯虚数.(　　)4.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.(　　)
题组二回源教材5.(人教A版必修第二册94页复习参考题7第1(2)题)复数 的共轭复数是(　　)A.i+2B.i-2C.-2-iD.2-i
6.(人教A版必修第二册7.1.1节例1改编)若复数z=m+1+(m-1)i为纯虚数,则m=　　　　. 
7.(人教A版必修第二册81页习题7.2第7题改编)已知2i-3是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,求实数p的值.
解析 若复数z为纯虚数,则m+1=0,且m-1≠0,即m=-1.
解 因为2i-3是方程的一个根,所以-2i-3也是这个方程的一个根,由根与系数的关系,得 =(2i-3)+(-2i-3),解得p=12.
题组三连线高考8.(2023·新高考Ⅱ,1)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于(　　)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
解析 ∵(1+3i)(3-i)=3-i+9i+3=6+8i,∴复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选A.
9.(2023·全国乙,文1)|2+i2+2i3|=(　　)A.1B.2C.D.5
10.(2023·天津,10)已知i是虚数单位,化简 的结果为　　　　　. 
考点一 复数的四则运算
(2)(2023·全国甲,理2)若a∈R,(a+i)(1-ai)=2,则a=(　　)A.-1B.0C.1D.2
解析 由(a+i)(1-ai)=2,可得a+i-a2i+a=2,即2a+(1-a2)i=2,所以 解得a=1.故选C.
(3)(2023·全国甲,文2) =(　　)A.-1B.1C.1-iD.1+i
(4)(2024·云南昆明一中模拟)已知复数z= ,则z+z2+z3+…+z2 023=(　　)A.-1B.1C.-iD.i
解析 依题意z= =i,所以z2=-1,z3=-i,z4=1,得z+z2+z3+z4=0,所以z+z2+z3+…+z2 023=505(z+z2+z3+z4)+z+z2+z3=-1.
规律方法复数代数形式运算问题的解题策略
考点二 复数的有关概念
A.-iB.iC.0D.1
(2)(2024·湖南岳阳模拟)设复数z满足(1-i)z=|3+i|,则复数z的虚部是(　　)
(3)(2024·湖北武汉模拟)复数z=i(1+bi)+2+3bi(b∈R),若z为纯虚数,则z=(　　)A.-iB.7iC.-5iD.5i
解析 由题意得z=i(1+bi)+2+3bi=2-b+(3b+1)i,因为z为纯虚数,所以解得b=2,所以z=7i.
考点三 复数的几何意义
例3(1)(2021·新高考Ⅱ,1)在复平面内,复数 对应的点位于(　　)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
(2)(2024·山东淄博实验中学模拟)设复平面上表示2-i和3+4i的点分别为点A和点B,则向量 对应的复数在复平面上所对应的点位于(　　)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
解析 复平面上表示2-i和3+4i的点分别为点A和点B,则A(2,-1),B(3,4),所以 =(1,5),所以向量 对应的复数在复平面上所对应的点位于第一象限.
(3)(2024·江西赣州模拟)已知复数z满足|z+i|=1(i为虚数单位),则|z-i|的最大值为(　　)A.1B.2C.3D.4
解析 设复数z在复平面中对应的点为Z,由题意可得|z+i|=|z-(-i)|=1,表示复平面中点Z到定点C(0,-1)的距离为1,所以点Z的轨迹为以C(0,-1)为圆心,半径r=1的圆.因为|z-i|表示复平面中点Z到定点B(0,1)的距离,所以|ZB|≤|BC|+r=2+1=3,即|z-i|的最大值为3.
[对点训练2](1)(2024·广东深圳红岭中学模拟)已知复数z=(1+i)·(m-2i)在复平面内对应的点落在第一象限,则实数m的取值范围为(　　)A.(2,+∞)B.(0,2)C.(-2,2)D.(-∞,-2)
解析 z=(1+i)·(m-2i)=m+2+(m-2)i,在复平面内对应的点为(m+2,m-2),由于点(m+2,m-2)在第一象限,所以 解得m>2.
(2)(2024·湖北武汉模拟)如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是
例4(多选题)(2024·山东潍坊模拟)在复数范围内关于x的实系数一元二次方程x2+px+2=0的两根为x1,x2,其中x1=1+i,则(　　)A.p=2 B.x2=1-i