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2025高考数学一轮考点突破训练第五章平面向量与复数5.1平面向量的概念及线性运算
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这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第五章平面向量与复数5.1平面向量的概念及线性运算，共7页。试卷主要包含了平面向量的基本概念，平面向量的线性运算，向量共线定理及应用等内容，欢迎下载使用。
例1 【多选题】如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断正确的是（ ABC ）
A. B. C. D.
解：由正六边形的结构特征，知 与 方向相同，长度相等，所以，故 正确.
与 方向相反，所以，故 正确.
由正六边形的性质，知，故 正确.
与 不共线，所以不相等，故 错误.
故选.
【点拨】 准确理解向量的概念，请特别注意以下几点:，有与方向相同或相反两种情形.②向量的模与数的绝对值有所不同，如.③零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行.④对于任意非零向量，是与同向的单位向量，这也是求单位向量的方法.⑤向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上.⑥只要不改变向量的大小和方向，可以自由平移，平移后的向量与相等，所以线段共线与向量共线是有区别的，当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线，而向量的共线与向量的平行是一致的.
变式1
（1） 下列命题正确的是（ B ）
A. 任一向量与它的相反向量都不相等
B. 长度相等、方向相同的两个向量是相等向量
C. 平行且模相等的两个向量是相等向量
D. 若，则
解：零向量与它的相反向量相等，错误.由相等向量的定义，知 正确.两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，例如，在平行四边形 中，，且，但，故 错误，可能两个向量模相等而方向不同，错误.故选 .
（2） 在中，，分别为边，的中点，则在如图所示的向量中，相等向量有 （ A ）
A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组
解：由相等向量的定义,可知题图中只有一组向量相等，即.故选.
考点二 平面向量的线性运算
命题角度1 向量加、减法的几何意义
例2 已知单位向量，， ,，则的最大值是 2024，最小值是 0.
解：当单位向量，， ,方向相同时，取得最大值，
当单位向量，， ,首尾相连时，则，所以 的最小值为0.
故填2024；0.
【点拨】 运用三角形法则时，注意向量三角不等式的应用.运用平行四边形法则时，注意与就是以向量和为邻边的平行四边形的对角线向量.
变式2 在四边形中，若，且，则四边形是（ A ）
A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 平行四边形
解：因为，所以四边形 为平行四边形.因为，所以，即对角线相等.所以四边形 为矩形.故选.
命题角度2 平面向量的线性运算
例3 如图，在平行四边形中,，，，则（ B ）
A. B. C. D.
解：由题意，可得,所以，，所以.故选.
【点拨】 ①平面向量的线性运算除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何性质，将未知向量转化为已知向量来求解.②求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，通过向量相等或平行得到含参系数的方程，进而求参数的值.
变式3
（1） [2022年新课标Ⅰ卷]在中，点在边上，.记，，则（ B ）
A. B. C. D.
解：如图，因为，所以，即.故选 .
（2） 如图，是圆的一条直径，，是半圆弧的两个三等分点，则（ D ）
A. B. C. D.
解：因为，是半圆弧的两个三等分点，所以，且.所以.故选.
考点三 向量共线定理及应用
命题角度1 向量共线问题
例4 已知，是两个不共线的平面向量，向量，，若，则有（ C ）
A. B. C. D.
解：由，设.
因为，，所以，可得 所以.故选.
【点拨】 是判断两个向量共线的主要依据，注意待定系数法和方程思想的应用.若与不共线且,则.对于向量共线定理，当时，与任一向量都是共线的；当且时，是不成立的，但与共线.因此，为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求.
变式4
（1） 已知向量,不共线，若与共线，则实数的值为 （ B ）
A. B. C. 1D. 2
解：因为 与 共线，所以存在唯一实数 ，使.
所以 解得.故选 .
已知向量，，中任意两个都不共线，但与共线，且与共线，则向量0.
解：依题意，设，，则有，即.又 与 不共线，于是有，，，故填0.
命题角度2 三点共线问题
例5
（1） 设，是不共线的两个平面向量，已知，.若，，三点共线，则实数的值为（ A ）
A. B. C. D. 2
解：若，，三点共线，则 所以.故选 .
（2） 已知，若,,三点共线，则为（ C ）
A. B. C. D. 2
解：因为，且，，三点共线，所以.解得，即，即，即，即.故选.
【点拨】 三点共线问题可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线.
变式5
（1） 设,是不共线的两个向量，已知,，，则（ D ）
A. ，，三点共线B. ，，三点共线
C. ，，三点共线D. ，，三点共线
解：因为，，，所以.所以，共线.又 与 有公共点，所以，，三点共线.故选 .
（2） 已知的边上有一点，满足，则（ C ）
A. 1B. C. D.
解：直接应用性质,得，即.
另解：因为 是 上任一点，所以存在唯一实数，使.所以.所以.
因为，所以 解得.故选.
例1 【多选题】如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断正确的是（ ABC ）
A. B. C. D.
解：由正六边形的结构特征，知 与 方向相同，长度相等，所以，故 正确.
与 方向相反，所以，故 正确.
由正六边形的性质，知，故 正确.
与 不共线，所以不相等，故 错误.
故选.
【点拨】 准确理解向量的概念，请特别注意以下几点:，有与方向相同或相反两种情形.②向量的模与数的绝对值有所不同，如.③零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行.④对于任意非零向量，是与同向的单位向量，这也是求单位向量的方法.⑤向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上.⑥只要不改变向量的大小和方向，可以自由平移，平移后的向量与相等，所以线段共线与向量共线是有区别的，当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线，而向量的共线与向量的平行是一致的.
变式1
（1） 下列命题正确的是（ B ）
A. 任一向量与它的相反向量都不相等
B. 长度相等、方向相同的两个向量是相等向量
C. 平行且模相等的两个向量是相等向量
D. 若，则
解：零向量与它的相反向量相等，错误.由相等向量的定义，知 正确.两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，例如，在平行四边形 中，，且，但，故 错误，可能两个向量模相等而方向不同，错误.故选 .
（2） 在中，，分别为边，的中点，则在如图所示的向量中，相等向量有 （ A ）
A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组
解：由相等向量的定义,可知题图中只有一组向量相等，即.故选.
考点二 平面向量的线性运算
命题角度1 向量加、减法的几何意义
例2 已知单位向量，， ,，则的最大值是 2024，最小值是 0.
解：当单位向量，， ,方向相同时，取得最大值，
当单位向量，， ,首尾相连时，则，所以 的最小值为0.
故填2024；0.
【点拨】 运用三角形法则时，注意向量三角不等式的应用.运用平行四边形法则时，注意与就是以向量和为邻边的平行四边形的对角线向量.
变式2 在四边形中，若，且，则四边形是（ A ）
A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 平行四边形
解：因为，所以四边形 为平行四边形.因为，所以，即对角线相等.所以四边形 为矩形.故选.
命题角度2 平面向量的线性运算
例3 如图，在平行四边形中,，，，则（ B ）
A. B. C. D.
解：由题意，可得,所以，，所以.故选.
【点拨】 ①平面向量的线性运算除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何性质，将未知向量转化为已知向量来求解.②求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，通过向量相等或平行得到含参系数的方程，进而求参数的值.
变式3
（1） [2022年新课标Ⅰ卷]在中，点在边上，.记，，则（ B ）
A. B. C. D.
解：如图，因为，所以，即.故选 .
（2） 如图，是圆的一条直径，，是半圆弧的两个三等分点，则（ D ）
A. B. C. D.
解：因为，是半圆弧的两个三等分点，所以，且.所以.故选.
考点三 向量共线定理及应用
命题角度1 向量共线问题
例4 已知，是两个不共线的平面向量，向量，，若，则有（ C ）
A. B. C. D.
解：由，设.
因为，，所以，可得 所以.故选.
【点拨】 是判断两个向量共线的主要依据，注意待定系数法和方程思想的应用.若与不共线且,则.对于向量共线定理，当时，与任一向量都是共线的；当且时，是不成立的，但与共线.因此，为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求.
变式4
（1） 已知向量,不共线，若与共线，则实数的值为 （ B ）
A. B. C. 1D. 2
解：因为 与 共线，所以存在唯一实数 ，使.
所以 解得.故选 .
已知向量，，中任意两个都不共线，但与共线，且与共线，则向量0.
解：依题意，设，，则有，即.又 与 不共线，于是有，，，故填0.
命题角度2 三点共线问题
例5
（1） 设，是不共线的两个平面向量，已知，.若，，三点共线，则实数的值为（ A ）
A. B. C. D. 2
解：若，，三点共线，则 所以.故选 .
（2） 已知，若,,三点共线，则为（ C ）
A. B. C. D. 2
解：因为，且，，三点共线，所以.解得，即，即，即，即.故选.
【点拨】 三点共线问题可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线.
变式5
（1） 设,是不共线的两个向量，已知,，，则（ D ）
A. ，，三点共线B. ，，三点共线
C. ，，三点共线D. ，，三点共线
解：因为，，，所以.所以，共线.又 与 有公共点，所以，，三点共线.故选 .
（2） 已知的边上有一点，满足，则（ C ）
A. 1B. C. D.
解：直接应用性质,得，即.
另解：因为 是 上任一点，所以存在唯一实数，使.所以.所以.
因为，所以 解得.故选.
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