2023年广东省梅州市兴宁市石马中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省梅州市兴宁市石马中学中考数学一模试卷

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列事件中，必然事件为(    )

A. 投掷一枚硬币，向上一面是正面
B. 经过有交通信号灯的路口；遇到红灯
C. 打开电视机，正在播放新闻联播
D. 口袋中装有个红球和个白球，从中任意摸出的个球中有红球

3.  垃圾分类功在当代利在千秋，如图垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  用若干个棱长为的小立方体摆成如图所示的几何体，现拿掉其中的一个小立方体后，从正面看这个几何体得到的平面图形的面积与拿掉前相同，则这个拿掉的小立方体可以是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏；分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  算法统宗是我国明代数学家程大位的一部著作在这部著作中，许多数学问题都是以诗歌的形式呈现“以碗知僧”就是其中一首巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧；三百六十四只碗，看看用尽不差争；三人共食一碗饭，四人其吃一碗羹；请问先生明算者，算来寺内几多僧？”意思是说：山林中有一个古寺，寺里共有个碗，平均三个僧人共用一个碗吃饭，四个僧人共用一个碗喝汤，问寺中有多少个僧人？(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若关于、的方程的解满足，则的值为(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

9.  如图，在半径为的中，点是劣弧的中点，点是优弧上一点，且，下列四个结论：；；扇形的面积为；四边形是菱形．其中正确结论的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  一元二次方程：；：，其中，，给出以下四个结论：若方程有两个不相等的实数根，则方程也有两个不相等的实数根；若方程的两根符号相同，则方程的两根符号也相同；若是方程的一个根，则是方程的一个根；若方程和方程有一个相同的根，则这个根必是，其中正确的结论是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  ______．

12.  六名同学在“爱心捐助”活动中，捐款数额为，，，，，单位：元，这组数据的中位数是______．

13.  若点在反比例函数的图象上，则当函数值时，自变量的取值范围是________．

14.  如图，为了测量河对岸，两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点，测得，均在的北偏东方向上，沿正东方向行走米至观测点，测得在的正北方向，在的北偏西方向上，两点间的距离为______ 米
 

15.  已知抛物线：和抛物线：，若无论取何值，直线被两条抛物线所截的两条线段都保持相等，则______，______．

16.  如图，在平面直角坐标系中，点是轴上一点，以为对角线作菱形，使得，现将抛物线沿直线平移到，那么关于的关系式是______，当抛物线与菱形的边有公共点时，则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式组：，并写出它所有的整数解．

18.  本小题分
已知：如图，，求证：．

19.  本小题分
为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了若干个家庭月份的用水量，结果如表．

根据上表完成下列问题：
写出这组数据的众数；
求这若干个家庭月份的平均用水量；
请根据的结论估计该小区个家庭月份总用水量．

20.  本小题分
“双减”政策背景下，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子，已知跳绳的单价比毽子的单价多元，用元购买的跳绳数量和用元购买的键子数量相同．
求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
如果学校计划购买跳绳和毽子共个，总费用不超过元，那么最多能买多少个跳绳？

21.  本小题分
如图中，，，的平分线交于点．
求证：为等腰三角形．
若的平分线交边于点，证明：．

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，两点的坐标分别为，点的纵坐标为，边与轴交于点反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象经过点，且与交于点．
求反比例函数的表达式；
连接，猜想四边形是什么特殊四边形，并加以证明．

23.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、．
求抛物线的函数表达式；
抛物线的对称轴与轴交于点，连接，点为第二象限抛物线上的一动点，，直线与抛物线交于点，设直线的表达式为______．
如图，直线与抛物线对称轴交于点，若∽，求、的值；
如图，直线与轴交于点，与直线交于点，若，求的值．

 

24.  本小题分
问题提出：
如图，在中，，，垂足为点，若，，则线段的长度为______ ．
问题探究：
如图，在四边形中，，，点为边的中点，点是边上的一点，连接，，若，，，求线段的长．
问题解决：
如图，在四边形中，，，，，点，是边上的两点，连接，，，交于点，交于点若，，，求的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是；
故选：．
根据互为相反数的两数之和为和只有符号不同的两个数是相反数进行判断即可．
本题考查相反数．熟练掌握相反数的定义，是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、投掷一枚硬币，向上一面是正面是随机事件，不符合题意；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意；
C、打开电视机，正在播放新闻联播是随机事件，不符合题意；
D、口袋中装有个红球和个白球，从中任意摸出的个球中有红球是必然事件，符合题意．
故选：．
根据必然事件的定义：事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，对各选项进行分析即可．
本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解答此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
利用轴对称图形的概念求解．
此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：拿掉正方体后，其主视图与原主视图相同，因此应该拿掉正方体，
故选：．
根据拿掉前后，主视图的形状进行判断即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：用列表法将所有可能出现的结果表示如下：所有可能出现的结果共有种．

上面等可能出现的种结果中，有种情况可以得到紫色，
所以可配成紫色的概率是，
故选：．
根据题意，用列表法得出所有可能出现的结果，分析可能得到紫色的概率，得到结论．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
 

7.【答案】 

【解析】解：设寺中有个僧人，根据题意列方程，
得，
解得，
寺中有个僧人．
故选：．
读懂题中的诗句，找出条件，共有只碗，三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹．可以列出方程．
解决本题的关键是找出人数和碗数之间的关系，从而列出方程求出答案．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，得，
，
，
，
解得：，
故选：．
得出，求出，根据求出，再求出方程的解即可．
本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解等知识点，能求出是解此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：点是劣弧的中点，
，所以正确；
，，
为等边三角形，
，所以错误；
同理可得为等边三角形，
，
，
扇形的面积为，所以正确；
，
四边形是菱形，所以正确．
故选：．
利用垂径定理可对进行判断；根据圆周角定理得到，则为等边三角形，根据等边三角形的性质和垂径定理可计算出，则可对进行判断；通过判断为等边三角形，再根据扇形的面积公式可对进行判断；利用可对进行判断．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
 

10.【答案】 

【解析】解：：有两个不相等的实数根，
，
：的判别式为，
方程也有两个不相等的实数根，
故正确；
：两根符号相同，
，
，
方程的两根符号也相同，
故正确；
是方程 ：的一个根，
，

是方程的一个根；
故正确；
设方程和方程相同的根为，
根据题意，得，
，
，，
，
解得，
故这个根是，
故错误；
故选B．
根据根的判别式，根的定义，计算判断即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式，公共根，方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：
原式利用零指数幂法则，算术平方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
 

12.【答案】． 

【解析】解：将一组数据从小到大排列，中间两个数为，，则中位数为，
故答案为．
根据中位数的定义，将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数求解即可．
本题为统计题，考查中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．
 

13.【答案】或 

【解析】解：点在反比例函数的图象上，
，．
．
当函数值时，自变量的取值范围是或．
 故答案为：或．
根据题意可求点的坐标；画出草图，运用观察法求解．
此题考查了反比例函数的图象及其性质以及运用观察法解不等式，难度中等．注意反比例函数的图象是双曲线．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得：米，，，
，
，
，
在中，米，
在中，米，
，两点间的距离约为米，
故答案为：．

根据题意可得：米，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

15.【答案】   

【解析】解：经过定点，
抛物线：的顶点坐标，
抛物线：的顶点坐标，
，，
抛物线的开口大小相同，
无论取何值，直线被两条抛物线所截的两条线段都保持相等，
则是抛物线两个顶点的中点，
，
分别求出两个抛物线的顶点坐标为，，根据直线的解析式可知直线经过定点，通过观察两个抛物线的开口大小一样，当是两个顶点的中点时符合题意．
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
 

16.【答案】  

【解析】解：连接交于，
四边形是菱形，
，，，
，
，，
直线的解析式为：，
抛物线沿直线平移，
，
为，
当抛物线与菱形的边有公共点时，
把代入得，解得，，
，
，
把代入得，，
解得，，
，
，
，
故答案是：；．
连接交于，由四边形是菱形，得到，，，求得，于是得到，，求得直线的解析式为：，得到，把代入即可得到结论．
本题考查了二次函数与几何变换，菱形的性质，解直角三角形，平移的性质，正确的理解题意是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是，
所以不等式组的整数解是，，． 

【解析】先求每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．
本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

18.【答案】证明：，
，
，
，
． 

【解析】根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出即可．
本题考查了平行线的性质和判定，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键．
 

19.【答案】解：这组数据的众数是．
立方米．
故这若干个家庭的月份平均用水量是立方米；
立方米．
故估计该小区个家庭月份总用水量是立方米． 

【解析】根据众数的定义即可求出；
根据加权平均数的计算公式求出这若干个家庭月份的平均用水量即可；
根据用样本估计总体，乘即可得到结果．
此题考查了统计表，加权平均数，众数，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
 

20.【答案】解：设毽子的单价为元，则跳绳的单价为元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：跳绳的单价为元，毽子的单价为元；
设跳绳能买根，则毽子能买个，
依题意，得：，
解得：，
答：最多可购买根跳绳． 

【解析】设毽子的单价为元，则跳绳的单价为元，由题意列出方程，解方程即可；
设跳绳能买个，则毽子能买根，由题意列出不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用；解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

21.【答案】证明：，，
，
平分，
，
，
，
是等腰三角形；
如图，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，连接，

平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即． 

【解析】由角平分线的性质和三角形内角和定理可求，可得结论；
由“”可证≌，可得，，由等腰三角形的判定可证，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

22.【答案】解：点的纵坐标为，点在反比例函数的图象上，
当时，，解得，
．
，．
，
四边形是平行四边形，
，，
，，两点的纵坐标相同，点的横坐标比点的横坐标少，
，
反比例函数经过点；
，
反比例函数的表达式为：．
四边形是平行四边形．证明如下：
设直线的解析式为：，
，，
，解得．
直线的解析式为：．
令，解得或，

，，
直线的解析式为：，
令，得，
，
，
轴，，
轴，，
，，
四边形是平行四边形． 

【解析】由题意可得，由四边形是平行四边形可知，，，所以，，两点的纵坐标相同，点的横坐标比点的横坐标少，则，将点的坐标代入反比例函数解析式可得出结论；
四边形是平行四边形．由点，的坐标可得，直线的解析式为：联立反比例函数和直线的表达式可得，由，，可得直线的解析式为：，所以，，所以轴轴，，由平行四边形的判定可知，四边形是平行四边形．
本题主要考查反比例函数上点的坐标特点，待定系数法求函数表达式，平行四边形的性质与判定等相关知识，熟知相关知识是解题关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：将代入，
得，
，
抛物线的函数表达式为；

如图，过点作，垂足为点，
在中，令，
得，，
，
设直线的解析式为，
将点代入，
得，
，
直线的表达式为，
抛物线的对称轴为，
，
，
，
在中，，
，，
∽，
，，
设，
在中，，，
，，
，
将点代入中，
得不合题意，舍去，，
点，
，
的表达式为，
将点，代入，
得，
，
，；

如图，分别过点、、作轴的垂线，垂足分别为、、，
联立，
得点，
联立，
得，
设点、的横坐标分别为，，
则，
由，
可得∽，∽，
，，
，
，
，
，
．
将点的坐标代入即可求出抛物线的函数表达式；
如图，过点作，垂足为点，分别求出点坐标，直线的解析式，即可求出的值；由点坐标及∽，求出含的点的坐标，代入抛物线求出点的坐标，将点坐标代入的表达式，即可求出的值；
如图，分别过点、、作轴的垂线，垂足分别为、、，求出含的点坐标，设点、的横坐标分别为，，利用根与系数的关系求与的值，由及已知条件推出，可得，即可求出的值．
本题考查了待定系数法求解析式，解直角三角形，直线与抛物线交点的求法，根与系数的关系，相似三角形的判定与性质等，综合性强，难度较大，解题关键是能够熟练掌握本题所涉及到的各方面的知识并能够灵活运用等．
 

24.【答案】 

【解析】解：如图，，，，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
故答案为：；
如图，过点作，交的延长线于点，

，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
≌，
，
是的中点，且，
，
设，则，，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
；
如图，过点作于，

，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，，
，，
，，
∽，
，
，
，
，
，
解得：，，
当时，，此时与重合，如图所示，

，
，
中，，
，
，
，
，，
，
，
，
的面积；
当时，，，
，
此种情况不成立，
的面积．
先根据勾股定理计算，根据面积法可得高的长，最后由勾股定理可得的长；
作辅助线构建全等三角形，证明≌，得，，再证明≌，得，设，根据勾股定理列方程可得结论；
如图，过点作于，设，则，证明∽，列比例式并综合勾股定理列方程可得的值，分两种情况计算可得和的长，最后根据三角形面积公式可得答案．
本题是四边形综合题，考查了三角形全等的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的面积，直角三角形含度角的性质，三角形相似的性质和判定等知识，作辅助线构建全等三角形是本题的关键，设未知数利用参数表示线段的长，并结合方程解决问题．