2023高考数学二轮复习专项训练《函数的基本性质》

这是一份2023高考数学二轮复习专项训练《函数的基本性质》，共12页。试卷主要包含了、单选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。


一 、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）（2021.新高考Ⅰ卷）设集合A={x|-2<;x<;4}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（ ）
A. {2}B. {2，3}C. {3，4}D. {2，3，4}
2.（5分）如果幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,22)，则f(8)的值等于( )
A. 22B. 24C. 34D. 32
3.（5分）设a=(23)13，b=(13)23，c=lg2313，则a，b，c的大小关系是( )
A. a>b>cB. b>a>cC. a>c>bD. c>a>b
4.（5分）已知函数f(x)=lnxx,x>1ex+1,x⩽1，则函数f(x)的值域为( )
A. (0,e+1]B. (0,e+1)
C. (0,1e]∪(1,e+1)D. (0,1e]∪(1,e+1]
5.（5分）“a>1”是“函数f(x)=x3+a在R上为单调递增函数”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6.（5分）曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线垂直于直线2x-y=0，则a=()
A. 1B. -1C. 14D. -14
7.（5分）设函数f(x)=1ex+1+a，若f(x)为奇函数，则不等式f(x)>-14的解集为( )
A. (0,ln2)B. (-∞,1n2)
C. (-∞,ln3)D. (0,ln3)
8.（5分）下列命题中：
①若p，q为两个命题，则“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件．
②若p为：∃x∈R，x2+2x⩽0，则¬p为：∀x∈R，x2+2x>0．
③命题“∀x，x2-2x+3>0”的否命题是“∃x，x2-2x+3<0”．
④命题“若¬p，则q”的逆否命题是“若p，则¬q”．
其中正确结论的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
9.（5分）函数f(x)对任意的实数x都有f(x+2)-f(x)=2f(1)，若y=f(x-1)的图象关于x=1对称，且f(0)=2，则f(2017)+f(2018)=( )
A. 0B. 2C. 3D. 4
10.（5分）函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值和为3，则函数y=a2x2+bx+3在[0,+∞)上是单调函数，则有( )
A. b>0B. b<0C. b⩾0D. b⩽0
11.（5分）设f(x)=-x,x⩽0lg2x,x>0，则函数y=f(f(x))的零点之和为( )
A. 0B. 1C. 2D. 4
12.（5分）定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且在[-1,0]上单调递减，设a=f(-2.8)，b=f(-1.6)，c=f(0.5)，则a，b，c大小关系是 ( )
A. a>b>cB. c>a>b
C. b>c>aD. a>c>b
13.（5分）已知定义在R上的函数f(x)满足：y=f(x-1)的图象关于(1,0)点对称，且当x⩾0时恒有f(x-32)=f(x+12)，当x∈[0,2)时，f(x)=ex-1，则f(2016)+f(-2015)=( )
A. 1-eB. e-1C. -1-eD. e+1
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知函数f(x)=x2+2mx+3是偶函数，则实数m的值为______．
15.（5分）已知函数f(x)={x2+5x+4,x⩽02x-2,x>0，若函数y=f(x)-ax恰有4个零点，则实数a的取值范围为__________.
16.（5分）曲线y=2ln(x-1)在点(2,0)处的切线方程为 ______ .
17.（5分）(开放创新)［2021北大附中高一期末］函数f(x)的定义域为D，给出下列两个条件：
①对任意x1，x2∈D，当x1≠x2时，总有fx1≠fx2；
②f(x)在定义域内不是单调函数。
请写出一个同时满足条件①②的函数f(x)，则f(x)＝______.
18.（5分）已知函数f(x)=x+sinx，若正实数a，b满足f(4a)+f(b-9)=0，则1a+1b的最小值为______．
三 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）如图，计算由曲线y=x2+1，直线x+y=3以及两坐标轴所围成的图形的面积S．
20.（12分）已知集合A={ x|3⩽3x⩽27}，B={ x|1(1)求集合(∁RB)∪A；
(2)已知集合C={ x|2a21.（12分）已知函数f(x)=lg2(|x+1|+|x-2|-a)．
(Ⅰ)当a=7时，求函数f(x)的定义域；
(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)⩾3的解集是R，求实数a的最大值．
22.（12分）已知命题p：方程x2-22x+m=0有两个不相等的实数根；命题q：2m+1<4． (1)若p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．
23.（12分）已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).求函数f(x)的单调区间；
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】略
2.【答案】B;
【解析】解：幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,22)，
所以2α=22，解得α=-12，
所以f(x)=x-12，
所以f(8)=8-12=24.
故选：B.
根据幂函数的图象经过点(2,22)求出α的值，写出f(x)的解析式，再计算f(8)的值．
此题主要考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．
3.【答案】D;
【解析】解：∵a=(23)13>(23)23，b=(13)23<(23)23，
且(23)13<(23)0=1，而c=lg2313>lg2323=1，
∴c>a>b．
故选：D．
直接利用对数的运算性质比较得答案．
此题主要考查对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题．
4.【答案】D;
【解析】解：当x>1时，由f(x)=lnxx，得f'(x)=1-lnxx2，
∴当x∈(1,e)时，f'(x)>0，当x∈(e,+∞)时，f'(x)<0．
∴f(x)在(1,e)上为增函数，在(e,+∞)上为减函数，
∵当x→1+时，f(x)→0，当x→+∞时，f(x)→0，且f(e)=1e，
∴f(x)在(1,+∞)上的值域为(0,1e]；
当x⩽1时，f(x)=ex+1为增函数，
∴1综上，函数f(x)的值域为(0,1e]∪(1,e+1]．
故选：D．
利用导数研究函数f(x)=lnxx(x>1)的单调性，求其在(1,+∞)上的值域，再由函数单调性求得函数在(-∞,1]上的值域，取并集得答案．
此题主要考查函数的值域，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．
5.【答案】A;
【解析】解：若a>1，则f'(x)=3x2+a>0，
∴f(x)在R上是增函数，是充分条件，
若函数f(x)=x3+a在R上为单调递增函数，
∴f'(x)=3x2+a>0，
∴a⩾0，不是必要条件，
故选：A．
分别由a>1，得到f(x)是增函数，而f(x)是增函数，得不出a>1，从而得到答案．
此题主要考查了充分必要条件，考查了函数的单调性，是一道基础题．
6.【答案】D;
【解析】解：由y=e2ax，得y'=2ae2ax，
∴y'|x=0=2a，
∵曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线垂直于直线2x-y=0，
∴2×2a=-1，即a=-14.
故选：D.
求出原函数的导函数，得到函数在x=0处的导数值，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解a值．
此题主要考查导数的几何意义及应用，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题．
7.【答案】C;
【解析】解：根据题意，函数f(x)=1ex+1+a，其定义域为R，
若f(x)为奇函数，则有f(0)=12+a=0，解可得a=-12，
则f(x)=1ex+1-12，
又由y=ex+1为增函数，则f(x)=1ex+1-12在R上为减函数，且f(ln3)=1eln3+1-12=-14，
f(x)>-14⇒f(x)>f(ln3)⇒x即不等式的解集为(-∞,ln3)；
故选：C．
根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=12+a=0，解可得a的值，进而分析f(x)的单调性以及f(ln3)的值，据此分析可得f(x)>-14⇒f(x)>f(ln3)⇒x此题主要考查函数的奇偶性与单调性的判定以及应用，关键是求出a的值，属于基础题．
8.【答案】A;
【解析】解：对于①p且q为真⇔p为真且q为真，p或q为真⇔p为真或q为真，
∴“p且q为真”⇒“p或q为真”，但反之不成立，
∴“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故①错；
对于②，∵命题p：∃×∈R，x2+2x⩽0是特称命题
∴¬p：∀×∈R，x2+2x>0.故②正确；
③：∵“∀x，x2-2x+3>0”是全称命题，它的否定命题是特称命题，即：¬p为“∃x，x2-2x+3⩽0．
而③中给出的命题“∀x，x2-2x+3>0”的否定是“∃x，x2-2x+3<0”，不是否命题．故③错误；
对于④，由于逆否命题是把原命题否定了的结论作条件得到的命题，故④不正确；
其中正确结论的是②．
故选A．
根据复合命题的真值表判断出命题①错误；据含量词的命题的否定判断出命题②对，命题③是错误．根据四种命题的形式判断出命题④错误．
本小题主要考查复合命题的真假、四种命题的真假关系、全称命题与特称命题的相互转化问题等基础知识，这里注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题．属于基础题．
9.【答案】B;
【解析】解：根据题意，若y=f(x-1)的图象关于x=1对称，则y=f(x)的图象关于x=0对称，则f(x)为偶函数；
又由f(x+2)-f(x)=2f(1)，
令x=-1可得，f(1)-f(-1)=2f(1)，变形可得f(1)=0，
则有f(x+2)=f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数；
f(2017)=f(1)=0，f(2018)=f(0)=2，
则f(2017)+f(2018)=0+2=2；
故选：B．
根据题意，分析可得y=f(x)的图象关于x=0对称，则f(x)为偶函数，再由特殊值法令x=-1可得，f(1)-f(-1)=2f(1)，变形可得f(1)=0，进而可得f(x+2)=f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数；据此可得f(2017)与f(2018)的值，分析可得答案．
此题主要考查抽象函数的求值，涉及函数的周期性，关键是分析函数的周期．
10.【答案】C;
【解析】
此题主要考查指数函数单调性的应用，得到a的关系式是关键，考查分析与计算能力，二次函数的单调性，根据开口方向和对称轴求解，属于中档题．利用函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[0,1]上的单调性与f(x)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3即可列出关于a的关系式，解之即可得a，再根据二次函数的单调性进行判断．

解：∵函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，
∴a0+a1=3，
∴a=2．
所以函数y=x2+bx+3在[0,+∞)上是单调函数，
∴-b2⩽0，
解得b⩾0，
故选C．
11.【答案】C;
【解析】解：令f(x)=0得x=0或x=1，
∵f(f(x))=0，
∴f(x)=0或f(x)=1，
由以上过程可知f(x)=0的解为0，1，
令f(x)=1得x=-1，或x=2，
∴f(f(x))的零点之和为0+1+(-1)+2=2．
故选：C．
求出f(x)的零点为0，1，再解方程f(x)=0和f(x)=1得出f(f(x))的所有零点．
此题主要考查了函数零点的计算，分段函数函数值的计算，属于中档题．
12.【答案】D;
【解析】

此题主要考查函数的周期性，单调性，属于基础题.
由条件可得函数的周期为2，再根据a=f(-2.8)=f(-0.8)，b=f(-1.6)=f(0.4)=f(-0.4)，c=f(0.5)=f(-0.5)，
因为-0.8<-0.5<-0.4，且函数f(x)在[-1,0]上单调递减，可得a，b，c大小关系 .

解：∵偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，
∴函数的周期为2，
故a=f(-2.8)=f(-0.8)，
b=f(-1.6)=f(0.4)=f(-0.4)，
c=f(0.5)=f(-0.5)，
因为-0.8<-0.5<-0.4，且函数f(x)在[-1,0]上单调递减，
∴a>c>b，
故选D.
13.【答案】A;
【解析】解：∵y=f(x-1)的图象关于(1,0)点对称，
∴y=f(x)的图象关于(0,0)点对称，
∴函数为奇函数，
∵当x⩾0时恒有f(x+2)=f(x)，当x∈[0,2)时，f(x)=ex-1，
∴f(2016)+f(-2015)
=f(2016)-f(2015)
=f(0)-f(1)
=0-(e-1)
=1-e，
故选：A．
根据图象的平移可知y=f(x)的图象关于(0,0)点对称，可得函数为奇函数，由题意可知当x⩾0时，函数为周期为2的周期函数，可得f(2016)+f(-2015)=f(0)-f(1)，求解即可．
这道题主要考查了函数图象的平移，奇函数的性质和函数的周期性．难点是对知识的综合应用．
14.【答案】0;
【解析】解：若f(x)为偶函数，则：
f(-x)=f(x)；
∴x2+2mx+3=x2-2mx+3，
∴mx=0；
∴m=0．
故答案为：0
根据偶函数的定义f(-x)=f(x)，从而可得到mx=0，对于任意x∈R该等式都成立，所以得出m=0
这道题主要考查函数奇偶性的应用，根据函数奇偶性的定义建立方程是解决本题的关键，比较基础．
15.【答案】1【解析】解：作出f(x)的图像：函数y=f(x)-ax恰有4个零点，即函数y=ax的图像与函数f(x)的图像有4个交点(根据图像知a>0)，当a=2时，函数f(x)的图像与函数y=ax的图像有3个交点，故a<2；当y=ax(x⩽0)与f(x)=x2+5x+4相切时，在整个定义域内，函数f(x)的图像与函数y=ax的图像有5个交点，此时由{y=-axy=-x2-5x-4得x2+(5-a)x+4=0，由Δ=0得(5-a)2-14=0，解得：a=1或a=9(舍去)，则当116.【答案】;
【解析】解：由y=2ln(x-1)，得y'=2x-1，
∴y'|x=2=2，即曲线y=2ln(x-1)在点(2,0)处的切线的斜率为2，
则曲线y=2ln(x-1)在点(2,0)处的切线方程为y=2(x-2)，即2x-y-4=0.
故答案为：2x-y-4=0.
求出原函数的导函数，可得函数在x=2处的导数值，再由直线方程的点斜式得答案．
此题主要考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
17.【答案】1x(答案不唯一);
【解析】易知f(x)=1x满足对任意x1,x2∈D，当x1≠x2时，总有f(x1)≠f(x2)，且f(x)=1x在其定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不单调.
18.【答案】1;
【解析】
该题考查了根据导数符号判断函数单调性的方法，函数奇偶性，基本初等函数的求导公式，奇函数的定义，基本不等式求最值的方法，考查了计算和推理能力，属于中档题．
通过求导数，根据导数符号可判断出f(x)是R上的增函数，且f(x)是奇函数，从而根据f(4a)+f(b-9)=0可得出4a=9-b，从而得出4a+b9=1，从而得出1a+1b=(1a+1b).4a+b9=59+b9a+4a9b，且a，b都为正数，从而根据基本不等式即可求出最小值．

解：f'(x)=1+csx⩾0，
∴f(x)是增函数，且f(x)是奇函数，
∴由f(4a)+f(b-9)=0得，f(4a)=f(9-b)，
∴4a=9-b，
∴4a+b9=1，且a，b都为正数，
∴1a+1b=(1a+1b).4a+b9
=49+b9a+4a9b+19⩾59+2b9a.4a9b=59+49=1，
当且仅当b9a=4a9b，即b=2a=3时取等号，
∴1a+1b的最小值为1．
故答案为1．
19.【答案】解：如图，由y=x2+1与直线x+y=3在点（1，2）相交，…（2分）
直线x+y=3与x轴交于点（3，0）…（3分）
所以，所求围成的图形的面积
S=01(x2+1)dx+13(3-x)dx=(x33+x)|01+(3x-x22)|13=103;
【解析】
先确定积分区间与被积函数，再求原函数，即可求得结论．
该题考查利用定积分求面积，先确定积分区间与被积函数，再求原函数是关键．
20.【答案】解：集合A={x|3≤3x≤27}=[1，3]，B={x|1＜lg2x＜2}=（2，4），
（1）（∁RB）∪A=（-∞，3]∪[4，+∞）；
（2）若A∩C=C，C⊆A，
当2a≥a+2，即a≥2时，C为空集，成立；
当a＜2时，由2a＞1，a+2＜3，得12＜a＜1，
故a∈（12，1）∪[2，+∞）．;
【解析】
(1)求出集合A，B，直接解出即可；
(2)若A∩C=C，C⊆A，根据集合C是否为空集，进行讨论即可．
考查集合的运算，含参问题的讨论，中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)由题设知：|x+1|+|x-2|>7；
①当x>2时，得x+1+x-2>7，解得x>4；
②当1⩽x⩽2时，得x+1+2-x>7，无解；
③当x<-1时，得-x-1-x+2>7，解得x<-3；
∴函数f(x)的定义域为(-∞,-3)∪(4,+∞)；
(Ⅱ)解：不等式f(x)⩾3，即|x+1|+|x-2|⩾a+8；
∵x∈R时，恒有|x+1|+|x-2|⩾|(x+1)-(x-2)|=3；
又不等式|x+1|+|x-2|⩾a+8解集是R；
∴a+8⩽3，即a⩽-5；
∴a的最大值为-5．;
【解析】
(Ⅰ)a=7时便可得出x满足：|x+1|+|x-2|>7，讨论x，从而去掉绝对值符号，这样便可求出每种情况x的范围，求并集即可得出函数f(x)的定义域；
(Ⅱ)由f(x)⩾3即可得出|x+1|+|x-2|⩾a+8恒成立，而可求出|x+1|+|x-2|⩾3，这样便可得出3⩾a+8，解出该不等式即可得出实数a的最大值．
该题考查对数的真数大于0，函数定义域的定义及求法，不等式的性质，以及含绝对值不等式的解法，恒成立问题的处理方法．
22.【答案】解：(1)若p为真命题，则应有Δ=8-4m>0，
解得m<2．
(2)若q为真命题，则有m+1<2，即m<1，
因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，
则p，q应一真一假．
①当p真q假时，有m<2m⩾1，得1⩽m<2；
②当p假q真时，有m⩾2m<1，无解．
综上，m的取值范围是[1,2)．;
【解析】
(1)若p为真命题，则应有Δ=8-4m>0，解得实数m的取值范围；
(2)若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q应一真一假，进而实数m的取值范围．
本题以命题的真假判断与应用为载体，考查的知识点是复合命题，指数函数的图象和性质，难度中档．
23.【答案】解：f′（x）=1x-a （x＞0），
①当a≤0时，f′（x）=1x-a＞0，即函数f（x）的递增区间为（0，+∞）．
②当a＞0时，令f′（x）=1x-a=0，可得x=1a，
当0＜x＜1a时，f′（x）=1-axx＞0；
当x＞1a时，f′（x）=1-axx＜0，故函数f（x）的递增区间为（0，1a），递减区间为（1a，+∞），
综上可知，当a≤0时，函数f（x）的递增区间为（0，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的递增区间为（0，1a），递减区间为（1a，+∞）．;
【解析】
求函数的定义域，利用函数单调性和导数之间的关系即可求出函数的单调区间．
这道题主要考查函数单调区间的求解，利用函数单调性和导数之间的关系，即可得到结论，注意要对参数进行讨论．