2023高考数学二轮复习专项训练《函数与方程》

这是一份2023高考数学二轮复习专项训练《函数与方程》，共13页。试卷主要包含了、单选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。


一 、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）已知平面向量a→=(-2,x)，b→=(1,3)，且(a→-b→)⊥b→，则实数x的值为( )
A. -23B. 23C. 43D. 63
2.（5分）下列函数中，在（0，+∞）上单调递增的是（）
A. f（x）=3-xB. f(x)=x2-3x
C. f(x)=-1xD. f(x)=-|x|
3.（5分）已知α是三角形的一个内角，且sinα+csα=23，则这个三角形的形状是（ ）
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
4.（5分）已知tan(π4+α)=12，则sin2α+2cs2α1+sin2α的值为()
A. 32B. -32C. 3D. -3
5.（5分）已知函数f(x)=sin(2ωx+π6)+cs2ωx(ω>0)在[0,π]内有且仅有3个零点，则ω的取值范围是()
A. [43,116)B. (43,116)
C. (53,136)D. [53,136)
6.（5分）已知cs(α+π4)=-210，0⩽α⩽π，则cs2α的值为()
A. 2425B. -725C. 725D. -2425
7.（5分）已知函数f(x)由下表给出，则f[f(3)]等于 ( )

A. 3B. 2C. 1D. 4
8.（5分）设f(x)为定义在R上的函数，函数f(x+1)是奇函数.对于下列四个结论：
①f(1)=0；
②f(1-x)=-f(1+x)；
③函数f(x)的图象关于原点对称；
④函数f(x)的图象关于点(1,0)对称；
其中，正确结论的个数为()
A. 1B. 2C. 3D. 4
9.（5分）如图是偶函数y=f(x)的局部图象，根据图象所给信息，下列结论正确的是（ ）
A. f(-2)-f(6)=0B. f(-2)-f(6)＜0
C. f(-2)+f(6)＜0D. f(-2)-f(6)＞0
10.（5分）已知函数f(x)=x2-2tx+1在(-∞,1]上单调递减，且对任意的x1，x2∈[0,t+1]，总有|f(x1)-f(x2)|⩽2，则实数t的取值范围为( )
A. [1,2]B. [-2,2]C. (1,2)D. (-2,2)
11.（5分）函数f(x)=sinx+xcsx+x2在[-π,π]上的图像大致为()
A. B.
C. D.
12.（5分）已知函数f(x)=|lg2(-x)|,x<0x2-2x+2,x⩾0，函数F(x)=f(x)-a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4且满足：x1A. (174,25716]B. [2,+∞)
C. (2,174]D. (2,+∞)
13.（5分）已知集合C={(x,y)|y=x}，集合D={（x，y）|2x-y=1x+4y=5}，则下列正确的是（ ）
A. C=DB. C⊆DC. C⫋DD. D⊆C
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）(1)设集合A={-1,0,1}，B=\left{ a-1,a+1a}，A∩B={ 0}，则实数a的值为________.
(2)已知集合A={ x|x2-x-12⩽0}，B={ x|2m-115.（5分）已知14a=7b=4c=2，则1a-1b+1c= ______ ．
16.（5分）已知函数fx={12x,x⩽02fx-1,x>0
(i)f(2)=__________.
(ii)若方程f(x)=32x+a有且只有一个实根，则实数a的取值范围是__________.
17.（5分）已知当x>0时，函数f(x)=(2a-1)x({a>0,且a≠12)的值总大于1，则函数y=a2x-x2的单调增区间是______.
18.（5分）已知向量a→，b→的夹角为60°，|a→|=1，|2a→-b→|=7，则|b→|=______．
三 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）设函数g(x)=3x，h(x)=9x．
(1)h(x)-8g(x)-h(1)=0；
(2)令p(x)=g(x)g(x)+3，求证：p(12018)+p(22018)+…+p(20162018)+p(20172018)=20172．
20.（12分）设函数f(x)=2sin(2x+ϕ)(-π<ϕ<0)，y=f(x)的图象的一条对称轴是直线x=π8．
(1)在答题卡上用“五点法”列表并作出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象；
(2)用文字说明通过函数图象变换，由函数y=sinx的图象得到函数y=f(x)的过程．
21.（12分）在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=acsC+12c．
(1)求角A；
(2)若AB→.AC→=3，求a的最小值．
22.（12分）设全集为R，A={ x|2(1)求A∩B及∁R(A∩B)；
(2)若(A∩B)∩C=∅，求实数a的取值范围．
23.（12分）已知函数f(x)=lga(x2-ax+3)．
(1)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；
(2)当x∈(0,2)时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】
该题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式，属于基础题．
根据题意，由向量坐标计算公式可得a→-b→的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系，分析可得(a→-b→).b→=(-3)×1+(x-3)×3=0，解可得x的值，即可得答案．

解：根据题意，向量a→=(-2,x)，b→=(1,3)，
则a→-b→=(-3,x-3)，
又由(a→-b→)⊥b→，则(a→-b→).b→=(-3)×1+(x-3)×3=0，
解可得x=23．
故选B．
2.【答案】C;
【解析】略
3.【答案】B;
【解析】略
4.【答案】C;
【解析】解：因为tan(π4+α)=1+tanα1-tanα=12，
所以tanα=-13，
则sin2α+2cs2α1+sin2α=2sinαcsα+2cs2αsin2α+cs2α+2sinαcsα=2tanα+2tan2α+1+2tanα=3.
故选：C.
由已知利用两角和的正切公式可求tanα的值，进而利用二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．
此题主要考查了两角和的正切公式，二倍角的正弦公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
5.【答案】A;
【解析】解：f(x)=sin(2ωx+π6)+cs2ωx(ω>0)=sin2ωxcsπ6+cs2ωxsinπ6+csωx=32sin2ω+32cs2ωx=3sin(2ωx+π3)，
因为当x∈[0,π]时，2ωx+π3∈[π3,2πω+π3]，
又因为f(x)在[0,π]上有且仅有3个零点，
所以3π⩽2πω+π3<4π，
综上：43⩽ω<116，
故选：A.
先化简函数式，然后根据x的范围求出2ωx+π3的范围，f(x)在[0,π]有且仅有3个零点，再利用正弦函数相关知识求ω的范围．
此题主要考查诱导公式、两角和的正弦公式，正弦函数的零点，属于中档题．
6.【答案】B;
【解析】
此题主要考查了两角和与差的三角函数公式，二倍角公式及其应用，属于中档题.
根据已知及两角和与差的三角函数公式，二倍角公式的计算，求出cs2α的值.解：因为cs(α+π4)=22(csα-sinα)=-210，
所以csα-sinα=-15，
所以(csα-sinα)2=125，
所以2sinαcsα=1-125=2425>0，又0⩽α⩽π，则sinα>0,csα>0，
所以(csα+sinα)2=1+2425=4925，
所以csα+sinα=75，
所以cs2α=cs2α-sin2α=(csα-sinα)(csα+sinα)=(-15)×75=-725.
故选：B.
7.【答案】C;
【解析】解：由图表可得f(3)=4，故 f[f(3)]=f(4)=1，
故选：C．
先根据表格求出f(3)=4，再由表格计算 f[f(3)]=f(4)的值．
这道题主要考查求函数的值，属于基础题．
8.【答案】C;
【解析】
此题主要考查函数的奇偶性，考查函数图象的变换与函数图象的对称性，属中档题.
根据f(x+1)是奇函数，得f(-x+1)=-f(x+1)，令x=0得f(1)=-f(1)即可求得f(1)=0，可判断①，②，
f(x+1)得图象关于原点对称，根据函数f(x)的图象可由f(x+1)的图象向右平移1个单位得到，即可判断③，④.解：由f(x+1)是奇函数，得f(-x+1)=-f(x+1)，令x=0得f(1)=-f(1)，即f(1)=0，
故①，②正确，
由f(x+1)是奇函数得f(x+1)得图象关于原点对称，
而函数f(x)的图象可由f(x+1)的图象向右平移1个单位得到，
所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，故③错误，④正确；
故选C.

9.【答案】B;
【解析】略
10.【答案】A;
【解析】

此题主要考查了函数单调性的运用，二次函数性质运用，不等式恒成立问题，考查了分析和转化能力，属于中档题.
先结合函数f(x)=x2-2tx+1在(-∞,1]上单调递减，可得t⩾1，进而得到当x∈[0,t+1]时，f(x)max=f(0)，f(x)min=f(t)，然后将不等式：对任意的x1，x2∈[0,t+1]，总有|f(x1)-f(x2)|⩽2，转化为f(x)max-f(x)min⩽2，建立关于t的不等式求解即可.

解：因为函数f(x)在(-∞,1]上单调递减，所以t⩾1，
所以结合二次函数性质可得当x∈[0,t+1]时，f(x)max=f(0)，f(x)min=f(t)，
又对任意的x1，x2∈[0,t+1]，总有|f(x1)-f(x2)|⩽2，等价于f(x)max-f(x)min⩽2，即f(0)-f(t)⩽2，
所以1-(t2-2t×t+1)⩽2，所以t2⩽2，
又t⩾1，所以1⩽t⩽2，
所以实数t的取值范围为[1,2].
故选A.
11.【答案】B;
【解析】解：由y=sinx+x为奇函数，y=csx+x2为函数值不为0的偶函数，
得f(x)=sinx+xcsx+x2，x∈[-π,π]为奇函数，奇函数的图象关于原点对称，故排除A选项．
又f(π)=sinπ+πcsπ+π2=ππ2-1>0，故排除C，D选项．
故选：B.
先根据奇偶性排除，再观察函数值f(π)的正负即可判断．
此题主要考查三角函数的性质，图象，属于基础题．
12.【答案】A;
【解析】解：由题意，画出函数y=|f(x)|的图象，如图所示，
又函数g(x)=a-|f(x)|有四个零点x1，x2，x3，x4，
且x1所以1且lg2(-x1)=-lg2(-x2)=x32-2x3+2=x42-2x4+2，x1∈[-4,-2)，x2∈(-2,-12]，x1=1x2，
所以x2x1∈[18,1)，
(x3+x4)x122=x12，x1∈(-4,-2)，
则x12∈(4,16]，
则x2x1+x3x12+x4x122=x2x1+x12=1x12+x12∈(174,25716],
故选：A．
画出函数y=f(x)的图象，y=a的图象，得出a的取值范围和x1与x2的关系，x3+x4的值，再化简所求的表达式，利用函数的单调性即可求出最小值最大值，得到选项．
该题考查了分段函数研究函数的零点的应用问题，也考查了函数最值的求法与等价转化的应用问题，是综合性题目．
13.【答案】D;
【解析】略
14.【答案】(1)1
(2)[-1,+∞);略;
【解析】(1)
此题主要考查交集及元素与集合的关系.由A∩B={ 0}知0∈{ a-1,a+1a}，则可求a的值.

解：由题意知0∈{ a-1,a+1a}，
由a+1a≠0，得a-1=0，
则a=1.
故实数a的值为1.
故答案为1.
(2)
此题主要考查一元二次不等式的求解，集合间的关系.先求出集合A，由A∩B=B，可知B⊆A.分B=∅和B≠∅分别求解即得答案.

解：由x2-x-12⩽0，得(x+3)(x-4)⩽0，
则-3⩽x⩽4，
所以A={ x|-3⩽x⩽4}.
又A∩B=B，所以B⊆A.
①当B=∅时，有m+1⩽2m-1，解得m⩾2.
②当B≠∅时，有-3⩽2m-1m+1⩽42m-1解得-1⩽m<2.
综上，m的取值范围为[-1,+∞).
故答案为[-1,+∞).
15.【答案】3;
【解析】解：14a=7b=cc=2，
则a=lg142，b=lg72，c=lg42，
∴1a=lg214，1b=lg27，1c=lg24，
∴1a-1b+1c=lg214-lg27+lg24=lg28=3，
故答案为：3
根据对数的运算性质计算即可．
此题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
16.【答案】4 ;[12,1)
;略;
【解析】
此题主要考查了分段函数的图象与性质的应用问题，解题时应根据题意，画出图象，再结合图形进行解答问题，是较难的题．
(i)利用分段函数的表达式，代入求值即可.
(ii)根据题意，画出f(x)=12x在x⩽0时的图象，以及2f(x-1)在x>0时的图象，结合图象进行解答，即得a的取值范围．

解：(i)f(2)=2f(1)=4f(0)=4×1=4.
(ii)当0当1当2画出f(x)的图象，如图所示；
其中f(0)=1，f(1)=2f(0)=2，f(2)=2f(1)=4，f(3)=2f(2)=8，
当g(x)=32x+a分别过(0,1)，A(1,2)，B(2,4)时，
g(0)=a=1，
g (1)=32+a=2，得a=12，
g (2)=3+a=4，得a=1，
由图像知要使方程f(x)=32x+a有且只有一个实根，
则g(x)在A，B，之间的区域，即12⩽a<1
∴有且只有一个解时，实数a的取值范围是：[12,1).
故答案为4 ;[12,1).
17.【答案】（-∞，1）（或（-∞，1]）;
【解析】解：当x>0时，函数f(x)=(2a-1)x({a>0,且a≠12)的值总大于1，
即2a-1>1，解得a>1，
设t=2x-x2，则函数y=at为增函数，
则要求函数y=a2x-x2的单调增区间，
即求t=2x-x2，的增区间，
∵函数t=2x-x2的增区间为(-∞,1)，
∴函数y=a2x-x2的单调增区间是(-∞,1)，
故答案为：(-∞,1)(或(-∞,1])
根据指数函数的性质结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论．
此题主要考查单调区间的求解，根据指数函数单调性以及复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．
18.【答案】3;
【解析】解：向量a→，b→的夹角为60°，|a→|=1，|2a→-b→|=7，
∴(2a→-b→)2=4a2→-4a→⋅b→+b2→
=4×12-4×1×|b→|×cs60°+|b→|2
=4-2|b→|+|b→|2=7，
即|b→|2-2|b→|-3=0，
解得|b→|=3或|b→|=-1(不合题意，舍去)，
∴|b→|=3．
故答案为：3．
根据平面向量的数量积定义与模长公式，列出方程求出b→的模长．
此题主要考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题，是基础题目．
19.【答案】解：（1）h（x）-8g（x）-h（1）=9x-8•3x-9=（3x-9）（3x+1）=0，
∴3x=9，
∴x=2；
（2）证明：p(x)=3x3x+3，p(1-x)=31-x31-x+3=33+3.3x=33+3x，
∴p(x)+p(1-x)=3x3x+3+33x+3=1，
∴p(12018)+p(22018)+……+p(20172018)
=[p(12018)+p(20172018)]+[p(22018)+p(20162018)]+……+[p(10082018)+p(10102018)]+p(10092018)
=1×1008+p(12)=1008+12=20172．;
【解析】
(1)直接解指数方程即可；
(2)计算可知p(x)+p(1-x)=1，进而得证．
这道题主要考查指数及指数幂的运算，考查运算求解能力及逻辑推理能力，属于基础题．
20.【答案】（本题满分为12分）
解：∵由题意得，f（π8）=±2，
∴π4+φ=π2+kπ，k∈Z，
∴φ=π4+kπ，k∈Z
∵-π＜φ＜0，
∴φ=-3π4，
∴f（x）=2sin（2x-3π4），…1分
（1）列表如下：
…3分
描点连线，作图如下：…8分

（2）将函数y=sinx的图象向右平移3π4个单位长度，得到函数y=sin（x-3π4）的图象；
将得到的函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x-3π4）的图象；
将得到的函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=2sin（2x-3π4）的图象…12分;
【解析】
(1)利用x=π8是函数y=f(x)的图象的对称轴，可求得ϕ=π4+kπ，k∈Z，又-π<φ<0，从而可得ϕ的值并由此写出f(x)的解析式，利用五点法即可作出函数的图象；
(2)直接根据函数图象的平移变换和伸缩变换规律即可得到．
该题考查的知识点是五点法作函数y=Asin(ωx+ϕ)的图象，考查正弦函数的对称性与单调性，考查三角函数的平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意分清哪个是平移前的函数，哪个是平移后的函数，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．
21.【答案】解：（1）∵△ABC中，b-acsC=c2，
∴由正弦定理知，sinB-sinAcsC=12sinC，
∵A+B+C=π，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcsC+csAsinC，
∴sinAcsC+csAsinC-sinAcsC=12sinC，
∴csAsinC=12sinC，
∴csA=12，∴A=π3．
（2）由（1）及AB→.AC→=3，得bc=6，
∴a2=b2+c2-2bccsA=b2+c2-6≥2bc-6=6，
当且仅当b=c时取等号，∴a的最小值为6．;
【解析】
(1)由正弦定理知，sinB-sinAcsC=12sinC，sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，推导出csAsinC=12sinC，由此能求出角A．
(2)推导出bc=6，从而a2=b2+c2-2bccsA=b2+c2-6⩾2bc-6=6，由此能求出a的最小值．
该题考查角的求法，考查实数的最小值的求法，考查正弦定理、三角函数、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：（1）因为A={x|2＜x≤5}，B={x|3＜x＜8}，
所以A∩B={x|3＜x≤5}，
∁R（A∩B）={x|x≤3或x＞5}．
（2）因为A∩B={x|3＜x≤5}，（A∩B）∩C=∅，
当C=∅时，a-1≥2a，解得a≤-1；
当C≠∅时，a-1<2a2a≤3或a-1<2aa-1≥5，
解得-1＜a≤32或a≥6．
综上，实数a的取值范围是（-∞，32]∪[6，+∞）．;
【解析】
(1)由A={ x|2(2)由A∩B={ x|3该题考查交集、并集、补集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、并集、补集、子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
23.【答案】解：（1）令g（x）=x2-ax+3，由题设知g（x）=x2-ax+3需取遍（0，+∞）内任意值，
所以△=a2-12≥0
解得a≤-23或a≥23，
又由a＞0且a≠1，
故a≥23，
（2）g（x）=x2-ax+3＞0对一切x∈（0，2）恒成立且a＞0，a≠1
即a＜x+3x对一切x∈（0，2）恒成立，且a＞0，a≠1
令h(x)=x+3x≥2x×3x=23，x∈(0，2)，
∴当x=3时，h（x）取得最小值为23，所以a＜23且a＞0，a≠1
∴0＜a＜23且a≠1;
【解析】
(1)对数函数的值域为R，意味着真数可以取遍一切正实数，故内层二次函数应与x轴有交点，即Δ⩾0，解得a的范围；
(2)函数f(x)恒有意义，即真数大于零恒成立，利用参变分离法解决此恒成立问题即可得a的取值范围
该题考查了对数复合函数的定义域和值域，已知函数的值域求参数的范围，已知函数的定义域求参数范围，转化化归的思想方法
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
x
0
π8
3π8
5π8
7π8
π
f（x）
-2
-2
0
2
0
-2