北师大版 (2019)选择性必修 第一册第七章 统计案例3 独立性检验3.1 独立性检验练习题

第七章　§3　

A　组·素养自测

一、选择题

1．在一项中学生近视情况的调查中，某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力(　C　)

A．平均数与方差　　 B．回归分析

C．独立性检验　　 D．概率

[解析]　确定两个问题是否相关时，需进行独立性检验，故利用独立性检验的方法最有说服力．

2．在研究打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是(　D　)

A．100个心脏病患者中至少有99人打鼾

B．1个人患心脏病，则这个人有99%的概率打鼾

C．100个心脏病患者中一定有打鼾的人

D．100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有

[解析]　“打鼾与患心脏病有关”的结论，有99%以上的把握认为正确，表示有99%的把握认为这个结论成立，与多少个人打鼾没有关系，故选D．

3．某防疫站对屠宰场及肉食零售点的猪肉检查沙门氏菌带菌情况，结果如表：

利用独立性检验估计屠宰场带菌与零售点猪肉带菌(　A　)

A．有95%的把握有关　　 B．无关

C．有99%的把握有关　　 D．无法判断

[解析]　χ2＝≈4.726>3.841.

4．通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子，得到如下的列联表：

附表：

随机变量χ2＝，经计算χ2≈4.762，参照附表，下列结论正确的是(　A　)

A．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱好踢毽子与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱好踢毽子与性别无关”

C．有99%以上的把握认为“是否爱好踢毽子与性别有关”

D．有99%以上的把握认为“是否爱好踢毽子与性别无关”

[解析]　χ2≈4.762>3.841，参照题中附表，可得在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱好踢毽子与性别有关”．故选A．

5.2019年10月18日至27日，第七届世界军人运动会在湖北武汉举办，中国代表团共获得133金64银42铜，共239枚奖牌．为了调查各国参赛人员对主办方的满意程度，研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查，所得数据如下表所示，现有如下说法：①在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为；②在犯错误的概率不超过1%的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；③没有99.9%的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”.

则正确说法的个数为(　B　)

附表：

A．0　　 B．1　　

C．2　　 D．3

[解析]　任取1名参赛人员，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为＝，故①错误；

χ2＝≈5.952<6.635，故②错误，③正确．故选B．

6．(多选)下列说法正确的是(　AB　)

A．事件A与B独立，即两个事件互不影响

B．事件A与B关系越密切，则χ2就越大

C．χ2的大小是判定事件A与B是否相关的唯一根据

D．若判定两事件A与B相关，则A发生B一定发生

[解析]　由事件的独立性知，A选项正确；由独立性检验的意义知，B选项正确；χ2的大小是判定事件A与B是否相关的一种方法，不是唯一依据，C选项不正确；若事件A与B相关，则A发生B可能发生，也可能不发生，D选项不正确．

二、填空题

7．(一题两空)在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算χ2＝7.63.根据这一数据分析，有_99%__的把握说，打鼾与患心脏病是_有关__的. (“有关”或“无关”)

附表：

[解析]　∵χ2＝7.63，∴χ2>6.635，因此，有99%的把握说，打鼾与患心脏病是有关的．

8．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课程的一些学生情况，具体数据如下表：

为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中数据，得到χ2＝≈4.844>3.841，所以断定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性约是_5%__.

附表：

[解析]　∵P(χ2≥3.841)＝0.05，故判断出错的可能性为5%.

三、解答题

9.2020年3月，工业和信息化部信息通信发展司发布《工业和信息化部关于推动5G加快发展的通知》，鼓励基础电信企业通过套餐升级优惠、信用购机等举措，促进5G终端消费，加快用户向5G迁移．为了落实通知要求，掌握用户升级迁移情况及电信企业服务措施，某市调研部门随机选取了甲、乙两个电信企业的用户共165户作为样本进行满意度调查，并针对企业服务措施设置了达标分数线，按照不低于80分的定为满意，低于80分的为不满意，调研人员制作了如图所示的2×2列联表.

已知从样本的165户中随机抽取1户为满意的概率是.

(1)请将2×2列联表补充完整，并判断能否有95%的把握认为“满意度与电信企业服务措施有关系”？

(2)为了进一步了解用户对电信企业服务措施不满意的具体情况，调研人员在样本中的甲企业用户中按照下面的方法抽取一户进行详细调查了解：把甲企业用户中不满意的户主按2,3,4,5，…进行编号，再先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，出现点数之和为被抽取户主的编号，且规定点数之和为12时抽取的编号为2.试求抽到5号或10号的概率．

下面临界值表仅供参考：

(参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)

[解析]　(1)设样本中乙企业用户中满意的有x户，结合列联表知，

P＝＝，解得x＝60；

所以，填写2×2列联表是：

计算K2＝

＝＝≈4.853>3.841，

所以能判断有95%的把握认为“满意度与电信企业服务措施有关系”．

(2)设“抽到5号或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚骰子，出现的点数为(m，n)，则所有的基本事件的个数有6×6＝36，

事件A包含的基本事件个数(m＋n＝5或m＋n＝10)有：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)共有7个．所以所求事件的概率为P(A)＝.

B　组·素养提升

一、选择题

1．利用独立性检验对事件A和B是否有关进行研究时，若有99%的把握认为事件A和B有关，则计算出的χ2的取值范围是(　A　)

A．χ2≥6.635　　 B．χ2<6.635

C．χ2≥3.841　　 D．χ2<3.841

[解析]　易知当χ2≥6.635时，有99%的把握认为事件A和B有关．故选A．

2．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下列联表：

已知在这105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，χ2≈6.109.则下列说法正确的是(　C　)

附：

A．列联表中c的值为30，b的值为35

B．列联表中c的值为15，b的值为50

C．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为成绩与班级有关系

D．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为成绩与班级有关系

[解析]　∵在这105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，

∴成绩优秀的人数为105×＝30，非优秀的人数为105－30＝75，

∴c＝30－10＝20，b＝75－30＝45，

∴χ2＝≈6.109>3.841.

∴若按95%的可靠性要求，能认为成绩与班级有关系．故选C．

3．独立性检验中，假设：变量X与变量Y没有关系，则在上述假设成立的情况下，估算概率P(χ2>6.635)≈0.01，表示的意义是(　D　)

A．变量X与变量Y有关系的概率约为1%

B．变量X与变量Y没有关系的概率约为99.9%

C．变量X与变量Y没有关系的概率约为99%

D．变量X与变量Y有关系的概率约为99%

[解析]　若估算概率P(χ2>6.635)≈0.01，则犯错误的概率不超过0.01，即变量X与变量Y有关系的概率约为99%.故选D．

4．针对时下的“抖音热” ，某校团委对“学生是否喜欢抖音和性别有关”作了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢抖音的人数占男生人数的，女生中喜欢抖音的人数占女生人数，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生的人数可能为(　C　)

附：

A．20　　 B．40　　

C．60　　 D．30

[解析]　设男生可能有x人，依题意可得列联表如下：

若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则χ2≥3.841，由χ2＝＝≥3.841，解得x≥40.330 5，又由题意知，x是5的整数倍，

∴60满足题意．故选C．

二、填空题

5．某校在两个班进行教学方式对比试验，两个月后进行了一次检测，实验班与对照班成绩统计如表所示(单位：人)：

(1)m＝_30__，n＝_100__；

(2)根据表中数据得到的结论是_有99%的把握说“教学方式与成绩有关系”__.

[解析]　(1)m＝45－15＝30，n＝50＋50＝100.

(2)由表中的数据得χ2＝

≈9.091.

因为9.091>6.635，所以有99%的把握说“教学方式与成绩有关系”．

6．2019年10月乒乓球世界杯在成都举行，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者．调查发现，男、女志愿者分别有10人和6人喜爱乒乓球，其余不喜爱．得到2×2列联表如下.

则喜爱乒乓球与性别_无关__(填“有关”或“无关”)．

若从女志愿者中抽取2人参加接待工作，其中喜爱乒乓球的人数为ξ，则ξ的均值为___.

[解析]　χ2＝≈1.157 5<2.706.因此认为喜爱乒乓球与性别无关．

喜爱乒乓球的人数ξ的可能取值为0,1,2，则

P(ξ＝0)＝＝＝，P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝.

所以喜爱乒乓球的人数ξ的分布列为

所以喜爱乒乓球的人数ξ的均值为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.

三、解答题

7．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：

(1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异；

(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．

附：χ2＝，

[解析]　(1)将2×2列表中的数据代入公式计算，得

χ2＝＝≈4.762.

由于4.762>3.841，所以有95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异．

(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}，其中ai表示喜欢甜品的学生，i＝1,2，bj表示不喜欢甜品的学生，j＝1,2,3.

基本事件空间Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．

用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}．

事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝.

8．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图：

(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；

(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.

附：

χ2＝.

[解析]　(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”，

由P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)，

旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，

故P(B)的估计值为0.62，

新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，

故P(C)的估计值为0.66，

则事件A的概率估计值为P(A)＝P(B)·P(C)＝0.62×0.66＝0.409 2，

∴A发生的概率为0.409 2.

(2)根据箱产量的频率分布直方图得到列联表：

则χ2＝≈15.705，

由15.705>6.635.

故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．