高中北师大版 (2019)2.2 成对数据的线性相关性巩固练习

第七章　§1　§2

A　组·素养自测

一、选择题

1．已知变量X与Y负相关，且由观测数据算得样本平均数＝1.5，＝5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是(　A　)

A．Y＝－0.8X＋6.2　　 B．Y＝－0.5X＋8

C．Y＝－0.6X＋4.1　　 D．Y＝0.6X＋5

[解析]　因为变量X与Y负相关，所以排除D；因为回归直线过样本中心点(，)，将(1.5,5)代入A，B，C对应的方程中，可知选A．

2．下图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线，若去掉一个点使得余下的5个点所对应的数据的相关系数最大，则应当去掉的点是(　B　)

A．D　　 B．E

C．F　　 D．A

[解析]　由具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线可知，散点越靠近直线，对应的数据的相关系数越大，故应该去掉最远点E.

3．小明家所在小区倡导对生活垃圾进行分类，他对垃圾分类后处理垃圾X(千克)所需费用Y(角)的情况做了调研，统计了下表中几组对应数据，用最小二乘法得到Y关于X的线性回归方程Y＝0.7X＋0.35，则下列说法错误的是(　D　)

A．变量X，Y之间呈正相关关系

B．m＝4.5

C．可以预测当X＝10，Y＝7.35

D．由表格中数据知样本中心点为(4.5,4.5)

[解析]　因为Y＝0.7X＋0.35，所以变量X，Y之间呈正相关关系，A选项正确；将X＝10代入线性回归方程Y＝0.7X＋0.35，可以预测Y＝7.35，C选项正确；所得回归直线一定经过数据的样本中心点，＝＝4.5，将其代入Y＝0.7X＋ 0.35，得＝3.5，D选项错误；由中心点坐标可求得m＝4.5，B选项正确，故选D．

4．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程＝＋x中，回归系数b(　C　)

A．不能小于0　　 B．不能大于0

C．不能等于0　　 D．只能小于0

[解析]　回归系数b可以大于0，可以小于0，但不能等于0.

5．已知x与y之间的几组数据如下表.

假设根据上表数据所得线性回归方程为＝x＋.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′ ，则以下结论正确的是(　C　)

A．>b′，>a′　　 B．>b′，<a′

C．<b′，>a′　　 D．<b′，<a′

[解析]　由(1,0)，(2,2)求b′，a′.

b′＝＝2，a′＝0－2×1＝－2.

求，时，xiyi＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，

＝，＝，x＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，

∴＝＝，

＝－×＝－＝－，

∴<b′，>a′.

6．(多选)下列关系中，属于相关关系的是(　BD　)

A．正方形的边长与面积之间的关系

B．生活习惯与健康状况的关系

C．人的身高与年龄之间的关系

D．降雪量与交通事故的发生率之间的关系

[解析]　在A中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在B中，生活习惯与健康状况不具有严格的函数关系，但具有相关关系；在C中，人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具有相关关系；在D中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．

二、填空题

7．对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表：

若已求得它们的回归直线方程的斜率为6.5，则这条回归直线的方程为_＝6.5x＋17.5__.

[解析]　设回归直线为＝6.5x＋a，点(，)在此直线上，故a＝17.5.

8．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程和相关系数r，分别得到以下四个结论：

①y＝2.347x－6.423，且r＝－9.928 4；②y＝－3.476x＋5.648，且r＝－0.953 3；③y＝5.437x＋8.493，且r＝0.983 0；④y＝－4.326x－4.578，且r＝0.899 7.

其中一定不正确的结论的序号是_①④__.

[解析]　对于①，两变量为正相关，∴r应该大于0，∴①错误；

对于④，两变量为负相关，∴r应该小于0，∴④错误；②③是正确的．

三、解答题

9．某个服装店经营某种服装， 在某周内获纯利y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系见表：

已知x＝280，xiyi＝3 487.

(1)求，；

(2)已知纯利y与每天销售件数x线性相关，试求出其回归直线方程.

[解析]　(1)＝＝6，＝＝.

(2)因为y与x有线性相关关系，

所以＝＝＝4.75，＝－6×4.75＝≈51.36.

故回归直线方程为＝4.75x＋51.36.

B　组·素养提升

一、选择题

1．某公司过去五个月的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有下列对应数据：

工作人员不慎将表格中y的第一个数据丢失，已知y对x呈线性相关关系，且回归方程为＝6.5x＋17.5，则下列说法正确的有(　B　)

A．销售额y与广告费支出x负相关

B．丢失的数据(表中▲处)为30

C．该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加6.5万元

D．若该公司下月广告费支出为8万元，则销售额约为75万元

[解析]　由回归方程＝6.5x＋17.5，可知＝6.5，则销售额y与广告费支出x正相关，所以A错误；设丢失的数据为m，由表中的数据可得＝5，＝，把点代入回归方程，可得＝6.5×5＋17.5，解得m＝30，所以B正确；该公司广告费支出每增加1万元，销售额不一定增加6.5万元，所以C不正确；若该公司下月广告费支出为8万元，则销售额约为y＝6.5×8＋17.5＝69.5(万元)，所以D不正确，故选B．

2．某同学将收集到的六组数据制作成散点图如图所示，并得到其回归直线的方程为l1：y＝0.68x＋，计算其相关系数为r1.经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程为l2：y＝x＋0.68，相关系数为r2，以下结论中，错误的是(　B　)

A．r1>0，r2>0　　 B．r1>r2

C．＝0.12　　 D．0<<0.68

[解析]　由图可知两变量呈现正相关，故r1>0，r2>0，且r1<r2，故A正确，B错误；又回归直线l1：y＝0.68x＋必经过样本中心点(3.5,2.5)，所以＝2.5－0.68×3.5＝0.12，C正确；回归直线l2：y＝x＋0.68必经过样本中心点(3,2)，所以2＝×3＋0.68，所以＝0.44，也可直接根据图象判断0<<0.68(比较两直线的倾斜程度)，故ACD正确，B错误．

3．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为(　D　)

A．－1　　 B．0　　

C．　　 D．1

[解析]　因为所有的点都在直线上，所以它就是确定的函数关系，所以相关系数为1.

4．已知变量y关于x的回归方程为＝ebx－0.5，其一组数据如下表所示：

若x＝5，则预测y的值可能为(　D　)

A．e5　　 B．e　　

C．e7　　 D．e

[解析]　将式子两边取对数，得到ln ＝bx－0.5，令z＝ln ，得到z＝bx－0.5，列出x，z的取值对应的表格，

则＝＝2.5，＝＝3.5，

∵(，)满足z＝bx－0.5，∴3.5＝b×2.5－0.5，

解得b＝1.6，∴z＝1.6x－0.5，∴y＝e1.6x－0.5，当x＝5时，＝e1.6×5－0.5＝e，故选D．

二、填空题

5．对某台机器购置后的运行年限x(x＝1,2,3，…)与当年利润y的统计分析知x，y具备线性相关关系，回归方程为＝10.47－1.3x，估计该台机器最为划算的使用年限为_8__年．

[解析]　当年利润小于或等于零时应该报废该机器，当y＝0时，令10.47－1.3x＝0，解得x≈8，故估计该台机器最为划算的使用年限为8年．

6．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，其变换后得到线性回归方程z＝0.3x＋4，则c＝_e4__.

[解析]　由题意，得ln(cekx)＝0.3x＋4，所以lnc＋kx＝0.3x＋4，所以lnc＝4，所以c＝e4.

三、解答题

7．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据.

(1)求回归直线方程＝x＋，其中＝－20；

(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？ (利润＝销售收入－成本)

[解析]　(1)由于＝＝8.5，

＝＝80.

所以＝－＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为＝－20x＋250.

(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1 000＝－20(x－8.25)2＋361.25.

当且仅当x＝8.25时，L取得最大值，故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．

8．如图是某企业2015年至2021年的污水净化量(单位：吨)的折线图．

注：年份代码1～7分别对应年份2015～2021.

(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请用相关系数加以说明；

(2)建立y关于t的回归方程，预测2022年该企业的污水净化量．

[解析]　(1)由折线图中的数据得，

＝4， (ti－)2＝28， (yi－)2＝18， (ti－)(yi－)＝21，所以r＝≈0.94.

因为y与t的相关系数近似为0.94，说明y与t的线性相关程度相当大，所以可以用线性回归模型拟合y与t的关系．

(2)因为＝54，＝＝＝，

所以＝－＝54－×4＝51，

所以y关于t的线性回归方程为＝t＋＝t＋51，将2022年对应的t＝8代入上式，得＝×8＋51＝57，

所以预测2022年该企业污水净化量约为57吨．