新教材2023年高中数学第6章概率1随机事件的条件概率1.1随机事件的条件概率素养作业北师大版选择性必修第一册

第六章　§1　1.1　

A　组·素养自测

一、选择题

1．下列说法正确的是(　B　)

A．P(B|A)<P(A∩B)　　　　

B．P(B|A)＝是可能的

C．0<P(B|A)<1　　　　

D．P(A|A)＝0

[解析]　由条件概率公式P(B|A)＝及0≤P(A)≤1知P(B|A)≥P(A∩B)，故A选项错误；当事件A包含事件B时，有P(A∩B)＝P(B)，此时P(B|A)＝，故B选项正确；由于0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，故C，D选项错误．故选B．

2．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　B　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　P(A)＝＝，P(AB)＝＝.

由条件概率公式得P(B|A)＝＝.故选B．

3．一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，则另一个也是女孩的概率为(　B　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　有一个是女孩记为事件A，另一个是女孩记为事件B，∵P(A)＝，P(AB)＝P(A∩B)＝，则所求概率为P(B|A)＝＝.

4．在5道题中有3道数学题和2道物理题．如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到数学题的条件下，第2次抽到数学题的概率是(　C　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　设第一次抽到数学题为事件A，第二次抽到数学题为事件B，

由已知P(AB)＝，P(A)＝，

所以P(B|A)＝＝.

5．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10 000次后还能继续使用的概率是0.80，开关了15 000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率是(　A　)

A．0.75　　 B．0.60　　

C．0.48　　 D．0.20

[解析]　记“开关了10 000次后还能继续使用”为事件A，记“开关了15 000次后还能继续使用”为事件B，根据题意，易得P(A)＝0.80，P(B)＝0.60，则P(A∩B)＝0.60，由条件概率的计算方法，可得P＝＝＝0.75.

6．(多选)下面几种概率不是条件概率的是(　ACD　)

A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，各投篮一次都投中的概率

B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率

C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率

D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，则小明在一次上学中遇到红灯的概率

[解析]　由条件概率的定义知B为条件概率，A，C，D不是条件概率．

二、填空题

7．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为___.

[解析]　设“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到正品”为事件B，则P(A)＝＝，P(A∩B)＝＝，所以P(B|A)＝＝.

8．投掷两颗均匀骰子，已知点数不同，设两颗骰子点数之和为ξ，则ξ≤6的概率为___.

[解析]　解法一：投掷两颗骰子，其点数不同的所有可能结果共30种，其中点数之和ξ≤6的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，共12种，∴所求概率P＝.

解法二：设A＝“投掷两颗骰子，其点数不同”，B＝“ξ≤6”，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，∴P(B|A)＝＝.

三、解答题

9．袋子中放有大小、形状均相同的小球若干．其中标号为0的小球有1个，标号为1的小球有2个，标号为2的小球有n个．从袋子中任取两个小球，取到的标号都是2的概率是.

(1)求n的值；

(2)从袋子中任取两个小球，若其中一个小球的标号是1，求另一个小球的标号也是1的概率．

[解析]　(1)由题意得＝＝，解得n＝2.

(2)记“其中一个小球的标号是1”为事件A，“另一个小球的标号是1”为事件B，所以P(B|A)＝＝＝.

10．已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．

(1)求此人患色盲的概率；

(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．

[解析]　设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C.

(1)此人患色盲的概率P(C)＝P(AC)＋P(BC)

＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)

＝×＋×＝.

(2)由题可得所求概率为P(A|C)＝＝＝.

B　组·素养提升

一、选择题

1．重庆气象局的空气质量监测资料表明，重庆主城区一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　C　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　设某天的空气质量为优良的概率是P(A)，则

P(A)＝，设连续两天的空气质量为优良的概率是

P(AB)，则P(AB)＝，

所以所求的概率为P(B|A)＝＝＝，故选C．

2．袋中有大小、形状完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地依次摸出两球，设“第一次摸出红球”为事件A，“摸出的两球同色”为事件B，则P(B|A)为(　A　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　由题可得P(A)＝＝，P(AB)＝＝，

则P(B|A)＝＝＝，故选A．

3．甲、乙、丙、丁、戊5名同学报名参加社区服务活动，社区服务活动共有关爱老人、环境监测、教育咨询、交通宣传、文娱活动五个项目，每人限报其中一项，记事件A为“5名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关爱老人项目”，则P(A|B)＝(　A　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　由已知得，事件B的基本事件个数为44，事件AB的基本事件个数为A，

所以P(A|B)＝＝.故选A．

4．吸烟有害健康，远离烟草，珍惜生命．据统计，一小时内吸烟5支诱发脑血管病的概率为0.02，一小时内吸烟10支诱发脑血管病的概率为0.16.已知某公司职员在某一小时内吸烟5支未诱发脑血管病，则他在这一小时内还能继续吸烟5支不诱发脑血管病的概率为(　A　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．不确定

[解析]　记事件A：某公司职员一小时内吸烟5支未诱发脑血管病，记事件B：某公司职员一小时内吸烟10支未诱发脑血管病，则由已知可得P(A)＝1－0.02＝0.98，P(B)＝1－0.16＝0.84，因此，P(B|A)＝＝＝＝，故选A．

二、填空题

5．7名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是___.

[解析]　记“甲站在中间”为事件A，“乙站在末尾”为事件B，则n(A)＝A，n(AB)＝A，P(B|A)＝＝.

6．一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如表：

从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是___；已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是___.

[解析]　从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是＝.

方法1：已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是＝.

方法2：设A：“取出的产品是甲厂生产的”，B：“取出的产品为次品”，则P(A)＝，P(A∩B)＝，所以这件产品恰好是甲厂生产的次品的概率是P(B|A)＝＝.

三、解答题

7．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表．

(1)求选到的是第一组的学生的概率；

(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．

[解析]　设事件A表示“选到第一组学生”，

事件B表示“选到共青团员”．

(1)由题意，P(A)＝＝.

(2)方法1：要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)．不难理解，在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P(A|B)＝.

方法2：P(B)＝＝，P(AB)＝＝，

∴P(A|B)＝＝.

8．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．

(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；

(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．

[解析]　(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为

C＝＝28，

这2个产品都是次品的事件数为C＝3.

∴这2个产品都是次品的概率为.

(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．

P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，

P(B3)＝＝，

P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝，

∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝×＋×＋×＝.