2022-2023学年广东省广州市第八十六中学高一上学期期末（线上）数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省广州市第八十六中学高一上学期期末（线上）数学试题

一、单选题

1．已知集合，则的真子集个数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先求集合中的元素个数，再根据集合的真子集个数公式求解.

【详解】因为，所以，即，集合中有两个元素，所以的真子集个数是.

故选：A

2．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】全称命题的否定形式，变，变即可.

【详解】命题“”为全称命题，则命题的否定为，

故选：C．

【点睛】本题考查了含有量词的命题的否定形式，考查了逻辑推理能力，属于基础题.

3．在中，，，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【解析】根据已知条件计算出的值，然后根据两角差的正切公式结合的值计算出的值.

【详解】因为且，所以，所以，

所以，

故选：A.

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是根据特殊角的余弦值求出其正切值以及两角差的正切公式的熟练运用.

4．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据指数函数、对数函数、正弦函数的性质把与0和1比较后可得．

【详解】因为，，，所以．

故选：D．

5．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是奇函数，且当时，，则（    ）

A． B．6 C． D．7

【答案】D

【分析】先求出，再求出即得解.

【详解】由已知，函数与函数互为反函数，则．

由题设，当时，，则．

因为为奇函数，所以.

故选：D．

6．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；③若，则与的终边相同；④若，是第二或第三象限的角.其中正确的命题个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】根据题意，对题目中的命题进行分析，判断正误即可.

【详解】对于①，根据任意角的概念知，第二象限角不一定大于第一象限角，①错误；

对于②，根据角的定义知，不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关，②正确；

对于③，若，则与的终边相同，或关于轴对称，③错误；

对于④，若，则是第二或第三象限的角，或终边在负半轴上，④错误；

综上，其中正确命题是②，只有个.

故选：

【点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数概念，属于基础题.

7．函数的零点个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】所求零点个数等价于与图象的交点个数，作出函数图象，由数形结合即可判断.

【详解】函数的零点即的解，即与图象的交点，如图所示，

从函数图象可知，与有两个交点.

故选：C

8．若函数的图象与轴有交点，且值域，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由函数有零点，可求得，由函数的值域可求得，综合二者即可得到的取值范围.

【详解】定义在上的函数，

则，由函数有零点，所以，解得；

由函数的值域，所以，解得；

综上，的取值范围是．

故选：D

二、多选题

9．已知x，y∈R，且<0，则（    ）

A．x-y>0 B．sinx-siny>0 C．>0 D．>2

【答案】ACD

【分析】由不等式的性质得出，再由三角函数的性质、指数函数的单调性以及基本不等式即可求解.

【详解】因为x，y∈R，且<0，

且，，

A，由题意可得，故A正确；

B，因为正弦函数是周期函数，仅有，不能得出sinx-siny>0，故B错误；

C，由，则，即，故C正确；

D，因为，则，即，

当且仅当，即取等号，又因为，

所以，故D正确.

故选：ACD

10．下列函数中，最小正周期为的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】逐项分析即得.

【详解】对于A，的最小正周期为，故A正确；

对于B，的最小正周期为，故B正确；

对于C，的最小正周期为，故C错误；

对于D，的最小正周期为2，故D错误.

故选：AB.

11．下列各式正确的是（    ）

A．设，则

B．已知，则

C．若，则

D．

【答案】ABC

【分析】根据指数运算法则和对数运算法则即可判断答案.

【详解】对于A，，故A对；

对于B，，故B对；

对于C，，，，故C对；

对于D，，故D错．

故选：ABC．

12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的图，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（    ）

A．筒车转动的角速度

B．当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为

C．当筒车旋转100秒时，盛水筒M和初始点的水平距离为6

D．筒车在秒的旋转过程中，盛水筒M最高点到x轴的距离的最大值为6

【答案】ACD

【分析】根据题意可知周期为120秒，进而可求，根据可求解，进而得，根据三角函数的性质，即可结合选项逐一求解.

【详解】对于A,因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，所以，故A正确；

对于B,因为当时，盛水筒位于点，所以，

所以有，

因为，所以，

即，

所以，故B错误；

对于C,由B可知：盛水筒的纵坐标为，设它的横坐标为，

所以有，

因为筒车旋转100秒时，所以此时盛水筒在第三象限，

故，盛水筒和初始点的水平距离为,故C正确；

对于D,因为，，

所以筒车在，秒的旋转过程中，盛水筒最高点到轴的距离的最大值为6，故D正确．

故选：ACD

三、填空题

13．已知，，且，则的最小值是________．

【答案】

【分析】，再根据基本不等式求解.

【详解】

又因为

由基本不等式得，当且仅当并且

所以，所以，即的最小值为.

故答案为：

14．函数的表达式为，若，则实数的取值集合是______．

【答案】

【分析】分类讨论和不同条件下，即可得到实数的取值集合.

【详解】解：由题意

在中，

当时，，

当时，解得：

当时，，

当时，解得：

综上，

∴满足的实数的取值集合是

故答案为：.

15．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：．已知新丸经过50天后，体积变为．若一个新丸体积变为，则需经过的天数为______．

【答案】75

【分析】由题意，先算出，由此可算出一个新丸体积变为需经过的天数.

【详解】由已知，得，

∴．

设经过天后，一个新丸体积变为，

则，

∴，

∴，．

故答案为：75.

16．已知是定义在R上的奇函数，满足，有下列说法：

①的图象关于直线对称；

②的图象关于点对称；

③在区间上至少有5个零点；

④若上单调递增，则在区间上单调递增．

其中所有正确说法的序号为_______．

【答案】②③④

【分析】求得函数的图象关于点对称判断①②；求得在区间上零点个数判断③；求得在区间上的单调性判断④

【详解】因为，所以，

故函数是周期为3的周期函数，又是定义在R上的奇函数，

则，所以，

故函数的图象关于点对称，故①错误，②正确；

由题意可知，，因为，

令，可得， 即，

所以，从而，

故函数在区间上至少有5个零点，故③正确；

因为，，

且函数在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增，

故函数在区间上也单调递增，故④正确．

故答案为：②③④

四、解答题

17．设

(1)分别求

(2)若，求实数的取值范围

【答案】(1)；或

(2)

【分析】（1）解不等式，直接计算集合的交集并集与补集；

（2）根据集合间的计算结果判断集合间关系，进而确定参数取值范围.

【详解】（1）解：解不等式可得，，

所以，或，或；

（2）解：由可得，且，

所以，解得，即.

18．在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，点位于角的终边上．

(1)求和的值；

(2)若，求函数的定义域和单调递增区间．

【答案】(1)，

(2)定义域，单调递增区间

【分析】（1）利用三角函数的定义，结合两角和与差的三角函数转化求解和的值；

（2）求解角，然后利用正切函数的定义域以及单调区间求解即可．

【详解】（1）∵点位于角的终边上，，，

．

（2），，，

，所以

，

所以函数的定义域为

令，解得

所以函数的单调递增区间

19．已知函数（为常数且）的图象经过点，

（1）试求的值；

（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用函数图像上的两个点的坐标列方程组，解方程组求得的值.

（2）将原不等式分离常数，利用函数的单调性，求出的取值范围.

【详解】（1）由于函数图像经过，，所以，解得，所以.

（2）原不等式为，即在时恒成立，而在时单调递减，故在时有最小值为，故.所以实数的取值范围是.

【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数的解析式，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查函数的单调性以及最值，属于中档题.

20．已知函数.

（1）求函数的最小正周期和单调区间；

（2）求函数在上的值域.

【答案】⑴，递增区间为，递减区间

⑵

【分析】整理函数的解析式可得：.

（1）由最小正周期公式和函数的解析式求解最小正周期和单调区间即可.

⑵结合函数的定义域和三角函数的性质可得函数的值域为.

【详解】

.

（1），

递增区间满足：，

据此可得，单调递增区间为，

递减区间满足：，

据此可得，单调递减区间为.

（2），，，

，

的值域为.

【点睛】本题主要考查三角函数的性质，三角函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

21．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本万元.

（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？

（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少？

【答案】（1）300台；（2）90人.

【解析】（1）每台机器人的平均成本为，化简后利用基本不等式求最小值；（2）由（1）可知，引进300台机器人，并根据分段函数求300台机器人日分拣量的最大值，根据最大值求若人工分拣，所需人数，再与30作差求解.

【详解】（1）由总成本，

可得每台机器人的平均成本.

因为.

当且仅当，即时，等号成立.

∴若使每台机器人的平均成本最低，则应买300台.

（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量为：

当时，300台机器人的日平均分拣量为

∴当时，日平均分拣量有最大值144000.

当时，日平均分拣量为

∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件.

若传统人工分拣144000件，则需要人数为（人）.

∴日平均分拣量达最大值时，

用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少（人）.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，根据实际问题抽象出函数关系，并会求最值，本题最关键的一点时会求的最大值.

22．已知函数的图象过点，.

（1）求函数的解析式；

（2）若函数在区间上有零点，求整数k的值；

（3）设，若对于任意，都有，求m的取值范围.

【答案】（1）；（2）的取值为2或3；（3）.

【解析】（1）根据题意，得到，求得的值，即可求解；

（2）由（1）可得，得到，设，根据题意转化为函数在上有零点，列出不等式组，即可求解；

（3）求得的最大值，得出，得到，设，结合单调性和最值，即可求解.

【详解】（1）函数的图像过点，所以，解得，

所以函数的解析式为.

（2）由（1）可知，，

令，得，

设，则函数在区间上有零点，

等价于函数在上有零点，所以，解得，

因为，所以的取值为2或3.

（3）因为且，所以且，

因为，

所以的最大值可能是或，

因为

所以，

只需，即，

设，在上单调递增，

又，∴，即，所以，

所以m的取值范围是.

【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：

1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；

2、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.