2022-2023学年广东省广州市第八十九中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省广州市第八十九中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．直线在y轴上的截距是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】在y轴上的截距只需令x=0求出y的值即可得出.

【详解】令x=0，则y=-2，即直线在y周上的截距为-2，

故选D.

2．求点关于x轴的对称点的坐标为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据点关于坐标轴的对称点特征，直接写出即可.

【详解】A点关于x轴对称点，横坐标不变，纵坐标与竖坐标为原坐标的相反数，

故点的坐标为，

故选：D

3．已知点，Q是圆上的动点，则线段长的最小值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【分析】根据圆的几何性质转化为圆心与点的距离加上半径即可得解.

【详解】圆的圆心为，半径为，

所以，

圆上点在线段上时，，

故选：A

4．已知椭圆方程为：，则其离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据椭圆的标准方程，确定，计算离心率即可.

【详解】由知，

，

，

，即，

故选：B

5．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的类似问题：把150个完全相同的面包分给5个人，使每个人所得面包数成等差数列，且使较大的三份面包数之和的是较小的两份之和，则最大的那份面包数为（    ）

A．30 B．40 C．50 D．60

【答案】C

【分析】根据题意得到递增等差数列中，，，从而化成基本量，进行计算，再计算出，得到答案.

【详解】根据题意，设递增等差数列，首项为，公差，

则

所以

解得

所以最大项.

故选：C

6．已知抛物线的焦点为F，直线l经过点F交抛物线C于A，B两点，交抛物浅C的准线于点P，若，则为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】C

【分析】由题意可知设,由可得，可求得,，根据模长公式计算即可得出结果.

【详解】由题意可知，准线方程为，设,

可知，

，解得：，代入到抛物线方程可得：.

,

故选:C

7．已知圆，直线，直线l被圆O截得的弦长最短为（    ）

A． B． C．8 D．9

【答案】B

【分析】先求得直线过定点，再根据当点与圆心连线垂直于直线l时，被圆O截得的弦长最短求解.

【详解】因为直线方程，即为，

所以直线过定点，

因为点在圆的内部，

当点与圆心连线垂直于直线l时，被圆O截得的弦长最短，

点与圆心（0，0）的距离为，

此时，最短弦长为，

故选：B

8．数列1，6，15，28，45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出米，故称它们为六边形数，那么第11个六边形数为（    ）

A．153 B．190 C．231 D．276

【答案】C

【分析】细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时联系相关知识,如等差数列、等比数列等，结合图形即可求解.

【详解】由题意知，数列的各项为1，6，15，28，45，...

所以，，，

，，，

所以.

故选：C

二、多选题

9．过点的直线l与直线平行，则下列说法正确的是（    ）

A．直线l的倾斜角为

B．直线l的方程为：

C．直线l与直线间的距离为

D．过点P且与直线l垂直的直线为：

【答案】BCD

【分析】由直线的斜率可求得倾斜角即可判断选项A，由直线平行和垂直的斜率关系设出所求方程点代入求得直线方程即可判断B、D，由平行直线间的距离公式计算即可判断C选项.

【详解】过点的直线l与直线平行，

设直线l方程为，代入可得，解得：,所以直线l的方程为：，B正确，

直线l的斜率，直线l的倾斜角为，则A错误，

l与直线的距离为，C正确，

过点P且与直线l垂直的直线可设为：，代入可得，解得：,则过点P且与直线l垂直的直线为：，D正确.

故选：BCD.

10．已知曲线与曲线，则下列说法正确的是（    ）

A．曲线的焦点到其渐近线的距离是3

B．当时，两曲线的焦距相等

C．当时，曲线为椭圆

D．当时，曲线为双曲线

【答案】AC

【分析】求出曲线的焦点坐标和渐近线方程，进而求出距离即可判断A；

求出两条曲线的焦距即可判断B；

根据题意求出的范围即可判断C,D.

【详解】对A，曲线的左右焦点为，渐近线方程是，则焦点到渐近线的距离，A正确；

对B，由A，曲线的焦距为10，若，则曲线是焦点在x轴上的双曲线，焦距为，B错误；

对C，若，则，即曲线为焦点在x轴上的椭圆，C正确；

对D，若，则，不表示任何图形，D错误.

故选：AC.

11．如图，点是正方体中的侧面上的一个动点，则（    ）

A．点存在无数个位置满足

B．若正方体的棱长为，三棱锥的体积最大值为

C．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是

D．点存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等

【答案】ABD

【分析】根据线面垂直的判定可证得平面，则当在线段上时，恒成立，知A正确；由线面垂直的性质和判定可证得平面，利用三角形相似可知到平面的距离为，根据可知当与重合时，体积取得最大值，结合棱锥体积公式知B正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，利用异面直线所成角的向量求法和二次函数最值可确定异面直线与所成的角大于，知C错误；根据点到直线的距离即为其到点的距离，可知点轨迹为抛物线的一部分，知D正确.

【详解】对于A，连接，

四边形为正方形，；

平面，平面，；

又，平面，平面，

则当平面，即在线段上时，恒成立，

点存在无数个位置，使得，A正确；

对于B，连接，交于点，连接，交于点，

，，，平面，

平面，又平面，；

同理可得：；又，平面，

平面，即平面；

∽，，，

；

是边长为的等边三角形，；

设点到平面的距离为，则；

当与重合时，取得最大值，，B正确；

对于C，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，

，，

当在线段上时，可设，

，则，，

；

则当时，，

异面直线与所成的角大于，C错误；

对于D，平面，点到直线的距离即为其到点的距离，

若点到直线和直线的距离相等，则点轨迹是以为焦点，为准线的抛物线在侧面上的部分，

点存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等，D正确.

故选：ABD.

12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】对AB，直接求出对应项及求和；

对CD，由得，∴即可化简；

即可化简.

【详解】对A，，A对；

对B，，，B对；

对C，由得，∴，C错；

对D，，D对.

故选：ABD

三、填空题

13．已知圆关于直线对称，则________．

【答案】1

【分析】根据题意，圆心在直线上，进而求得答案.

【详解】由题意，圆心在直线上，则.

故答案为：1.

14．如图，在平行六面体中，设，N是的中点，则向量_________．（用表示）

【答案】

【分析】根据向量的加减法运算法则及数乘运算求解即可.

【详解】由向量的减法及加法运算可得，

，

故答案为：

15．已知是双曲线的左、右焦点，点M是双曲线E上的任意一点（不是顶点），过作角平分线的垂线，垂足为N，O是坐标原点．若，则双曲线E的渐近线方程为__________．

【答案】

【分析】延长交于点，利用角平分线结合中位线和双曲线定义求得的关系，然后利用，及渐近线方程即可求得结果.

【详解】延长交于点，∵是的平分线，

，，

又是中点，所以，且，

又，

，，又，

．

双曲线E的渐近线方程为

故答案为：.

四、双空题

16．已知是数列的前n项和，且，则__________，__________．

【答案】         

【分析】直接求出前4项求和；结合公式法分组求和即可.

【详解】由可得，

；

.

故答案为：15；.

五、解答题

17．已知两点．

(1)求以线段为直径的圆C的方程；

(2)在（1）中，求过M点的圆C的切线方程．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）求出圆心和半径即可得到答案；

（2）根据题意先求出切线的斜率，进而通过点斜式求出切线方程.

【详解】（1）由题意，圆心，半径，则圆C的方程为：.

（2）由题意，，则切线斜率为-1，所以切线方程为：.

18．已知是等差数列的前n项和，且，．

(1)求数列的通项公式；

(2)令，求数列的前n项和．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由等差数列通项公式基本量、d列方程求解，即可由定义得出通项公式；

（2）由列项相消法求和.

【详解】（1）设等差数列的前n项为，公差为d，则，解得.

故数列的通项公式；

（2），故

19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为棱的中点.

(1)求异面直线与所成角的大小；

(2)求平面和平面夹角的余弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求异面直线所成角；

（2）求平面和平面的法向量，利用空间向量法求两个平面夹角的余弦值

【详解】（1）如图，底面，底面，底面，

，.

以点A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，

，，，，，

，，

，

则异面直线与所成角的余弦值为，故异面直线与所成角的大小为.

（2）由题意可知平面的法向量为，

设平面的法向量为，，，

则，即，

令，则.

.

所以平面和平面夹角的余弦值.

20．如图，正方形的边长为2，B，C分别为，的中点．在五棱锥中，底面，且，F为棱的中点，平面与棱，分别交于点G，H．

(1)求直线与平面所成角的大小；

(2)求线段的长．

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，由向量法求线面角即可；

（2）设，，结合即可解得参数，求得H坐标，由两点距离公式即可求线段的长

【详解】（1）∵底面，四边形为正方形，故以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，

∵正方形的边长为2，B，C分别为，的中点，，F为棱的中点，

故有，，，，，.

设平面的法向量为，，

则，令，得.

设直线与平面所成角为，则，

故直线与平面所成角为为；

（2）设上的点，，则，∴.

又为平面的法向量，，故，即，解得，

故有，故，

故线段的长为2.

21．记数列的前项和为.

(1)求的通项公式；

(2)设，记的前项和为.若对于且恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用与的关系证得数列是等比数列，从而求得；

（2）先利用错位相减法求得，再将问题转化为，其中，利用作差法证得，从而得解.

【详解】（1），

当时，，

两式相减，得，整理得，

当时，，

经检验，满足，

数列是以为首项，2为公比的等比数列，

.

（2）由（1）得，

，

，

两式相减得，

，

又对于且恒成立，即，

等价于对于且恒成立，

令，则，

则有，

所以当时，，当时，，

所以，则.

22．已知椭圆的离心率为，焦点分别为，点P是椭圆C上的点，面积的最大值是2．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆C交于M，N两点，点D是椭圆C上的点，O是坐标原点，若，判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由．

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见解析

【分析】（Ⅰ）由题意得到的方程组，求出的值，即可得出椭圆方程；

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，易求出四边形的面积；当直线的斜率存在时，设直线方程是，联立直线与椭圆方程，结合判别式和韦达定理，可表示出弦长，再求出点到直线的距离，根据和点在曲线上，求出的关系式，

最后根据，即可得出结果.

【详解】解：（Ⅰ）由解得 得椭圆的方程为.

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，此时四边形的面积为．

当直线的斜率存在时，设直线方程是，联立椭圆方程

，

点到直线的距离是

由得

因为点在曲线上，所以有整理得

由题意四边形为平行四边形，所以四边形的面积为

由得, 故四边形的面积是定值，其定值为．

【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，以及椭圆中的定值问题，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，计算量较大，属于常考题型.