2022-2023学年广东省广州市第八十六中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省广州市第八十六中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．直线l：的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据直线倾斜角和斜率的关系即可求解.

【详解】解：由题意得：

直线l的方程：可化为

直线l的斜率为，设直线l的倾斜角为，则

又

所以

故选：C

2．已知圆，则其圆心和半径分别为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将圆的一般式化为标准式，然后求圆心和半径即可.

【详解】圆的方程可整理为，所以圆心为，半径为.

故选：C.

3．已知数列是等差数列，其前n项和为，若，则（    ）

A．15 B．25 C．35 D．45

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式，结合等差数列性质计算作答.

【详解】等差数列的前n项和为，，所以.

故选：D

4．点到直线的距离是，那么m的值是（    ）

A．4 B． C．4或 D．或4

【答案】D

【分析】根据点到线的距离公式求解即可.

【详解】由题意，，故，即，解得.

故选：D

5．已知的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件及椭圆定义求椭圆的标准方程.

【详解】错解：

∵△ABC的周长为20，顶点，

∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，

∵12＞8，

∴点A到两个定点的距离之和等于定值，

∴点A的轨迹是椭圆，

∵a＝6，c＝4，

∴b2＝20，

∴椭圆的方程是

故选：D.

错因：

忽略了A、B、C三点不共线这一隐含条件.

正解：

∵△ABC的周长为20，顶点，

∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，

∵12＞8，

∴点A到两个定点的距离之和等于定值，

∴点A的轨迹是椭圆，

∵a＝6，c＝4，

∴b2＝20，

∴椭圆的方程是

故选：B.

6．三棱锥O﹣ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，且＝，＝，＝，用，，表示，则等于（　　）

A． B．

C．） D．

【答案】B

【分析】根据空间向量运算求得正确答案.

【详解】

.

故选：B

7．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，且直线过双曲线的一个焦点，则双曲线实轴长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可得及，再结合求出，即可得解.

【详解】解：由题意知，，，又，

∴，，，

故双曲线实轴长为.

故选：C.

8．设是以2为首项，1为公差的等差数列，是1为首项，2为公比的等比数列，记，则中不超过2023的项的个数为（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】C

【分析】求出数列的通项公式，可得出数列的通项公式，利用分组求和法可求得，找出使得不等式成立的最大正整数的值，进而可得出结论.

【详解】由题意可得，

所以，，则，

所以，数列单调递增，因为，

则，则使得不等式成立的最大正整数的值为10.

因此，数列中不超过2023的项的个数为10.

故选: C.

二、多选题

9．下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ）

A．若空间向量，满足，则

B．若非零向量，满足，则有

C．若是空间的一组基底，且，则四点共面

D．若向量是空间的一组基底，则也是空间的一组基底

【答案】CD

【分析】结合空间向量定义可直接判断A错；由空间的垂直关系可判断B错误；由四点共面的结论可判断C正确；由基底向量的定义化简可判断D正确.

【详解】对于A，模长相等方向可不同，显然A错误；

对于B，由于空间中垂直于同一直线的两直线可以不平行，所以B错误；

对于C，由平面的向量示可知是空间的一组基底，则三点不共线.由，，可判断四点共面，故C正确；

对于D，若向量是空间一组基底，则对空间中的任何一个向量，存在唯一的实数组，使得，于是，所以也是空间的一组基底，故D正确.

故选：CD

10．已知直线和圆，则（    ）

A．直线l恒过定点

B．圆心C到直线l的最大距离是.

C．直线l与圆O相交

D．若，直线l被圆O截得的弦长为4

【答案】ABC

【分析】首先，改写直线方程形式，判断定点，即可判断AC；当圆内定点为弦的中点时，此时弦长最短，圆心到直线的距离最大；D.利用弦长公式求解.

【详解】对于A、C，由，得，令，解得，

所以直线恒过定点，故A正确；

因为直线恒过定点，而，即在圆内，所以直线l与圆O相交，故C正确；

对于B，设直线与圆相交于两点，弦中点为，则，为到直线的距离的最大值，,圆心C到直线l的最大距离为，故B正确；

对于D， 时，直线，圆心到直线的距离为，所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误.

故选：ABC.

11．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是（    ）

A．椭圆C的方程为 B．椭圆C的方程为

C． D．的周长为

【答案】AC

【分析】AB选项，根据短轴长，离心率和求出，，焦点在y轴上，所以求出椭圆方程；C选项，求出P，Q两点的横坐标，进而得到通径长；D选项利用椭圆的定义进行求解.

【详解】由题意得：，所以，因为，，解得：，，因为焦点在y轴上，所以椭圆C的方程为，A正确，B错误；不妨设，则P，Q两点的纵坐标也为，令中，解得：，所以不妨令，，所以，C正确；根据椭圆的定义可知，的周长为，故D错误.

故选：AC

12．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．1225既是三角形数，又是正方形数

C．

D．，总存在，使得成立

【答案】ABD

【分析】利用等差数列求和，分别求出，，进而结合裂项求和法逐个选项进行判断即可得到答案.

【详解】三角形数构成数列，易得；

正方形数构成数列，，易得；

对于A：，故A正确；

对于B：令，解得；

令，解得.故B正确；

对于：∵，

∴，故C错误；

对于D：取，且，则，即，

故，总存在，使得成立，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．已知空间向量，，且，则_________.

【答案】1

【分析】由，可建立关于的方程，解出即可.

【详解】因为，，且，

所以，解得.

故答案为：1.

14．若斜率为1的直线l过抛物线焦点，交抛物线于A，B两点，且，点O为坐标原点，则点O到直线l的距离为______.

【答案】

【分析】设直线，与抛物线方程联立，利用韦达定理，表示焦点弦长，即可求，并代入点到直线的距离求解.

【详解】设抛物线的焦点坐标为，则直线l的方程为，代入，得，得，得，解得，即直线l的方程为.故点O到直线l的距离为.

故答案为：

15．已知双曲线：，，是其左右焦点.圆：，点为双曲线右支上的动点，点为圆上的动点，则的最小值是________.

【答案】##

【分析】利用双曲线定义，将的最小值问题转化为的最小值问题，然后结合图形可解.

【详解】由题设知，，，，圆的半径

由点为双曲线右支上的动点知

∴

∴.

故答案为：

四、双空题

16．已知数列的前项和为，且，若点在直线上，则______；______.

【答案】     ；    

【分析】根据等差数列的定义，结合等差数列前项和公式、裂项相消法进行求解即可.

【详解】因为点在直线上，

所以，所以数列是以，公差为的等差数列，

所以；

因为，

所以，

于是，

故答案为：；

五、解答题

17．已知圆的圆心为，它过点，且与直线相切．

(1)求圆的标准方程;

(2)若过点且斜率为的直线交圆于，两点，若弦的长为，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先设出圆M的标准方程，再根据过点及圆M与直线相切建立方程组求解即可；

（2）由点到直线的距离公式及垂径定理可求解.

【详解】（1）设圆M的标准方程为：

则圆心M到直线的距离为

由题意得，解得或舍去.

所以，所以圆M的方程为．

（2）设直线l的方程为

则圆心M到直线l的距离为

，因为，解得，

则直线的方程为．

18．已知正项数列的前项和满足：，.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用可求出其通项公式，

（2）由（1）得，然后利用等差数列的求和公式可求得结果.

【详解】（1）因为，，，

两式相减得到

当时，可得，

因为，

所以是首项为2，公比为2的等比数列

所以的通项公式为.

（2）令，则，

因为，，

所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以

19．如图，在正三棱柱中，，，分别是，的中点．

(1)在侧棱上作出点，满足平面，并给出证明；

(2)求二面角的余弦值及点到平面的距离．

【答案】(1)作图见解析，证明见解析

(2)，

【分析】（1）由线面平行的判定定理证明

（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解

【详解】（1）

设的中点为，的中点为，

则，，则，

平面，平面，平面．

（2）

设是边的中点，是的中点，

则平面ABC，为正三角形，

所以，，，，两两垂直，

建立如图所示坐标系．

则，，，，

，设平面的法向量为，

所以

则，

平面的法向量为，，

所以二面角的余弦值为．

，设点到平面的距离为，则．

20．已知等差数列的前项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件求得数列的首项和公差，从而求得.

（2）利用错位相减求和法求得.

【详解】（1）设等差数列的公差为，

依题意，，则

所以，解得，所以.

（2），

所以，

，

两式相减得

，

所以.

21．四棱锥，底面为矩形，侧面底面，．

(1)证明：；

(2)设与平面所成的角为，求二面角的大小．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理与性质定理证明，

（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解，

【详解】（1）取中点，连接，

由，故，

而平面平面，平面平面，平面，

平面，而平面，，

而，故，故，

而平面，平面，，平面，

又平面，，

（2）如图所示建立空间直角坐标系，

则，，，设，

则，，，

设平面的一个法向量为，则，令得，

而与平面所成的角为，故，

解得，

而，，，，

设平面的一个法向量为，则，令得，

同理得平面的一个法向量为

则，

而二面角为钝角，故二面角大小为

22．已知O为坐标原点，定点，定直线，动点P到直线的距离设为d，且满足：．

(1)求动点P的轨迹曲线W的方程．

(2)若直线与曲线W交于A，B两点，求面积的最大值．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）设点，根据题意得到，化简得到轨迹方程为；

（2）将直线与椭圆联立得，则得到，，利用弦长公式求出，再求出点到直线距离，写出面积表达式为，利用基本不等式即可求出最值.

【详解】（1）设点，由题知：，

所以，整理得点P的轨迹方程：．

（2）设

将代入得：，

所以，，

得，

，

点O到直线m的距离，所以，

所以，当且仅当即，即时等号成立，此时满足，

所以面积最大值为．