2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知复数满足，且为纯虚数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设复数，根据复数的模和纯虚数的概念，由求解.

【详解】设复数，

因为，且为纯虚数，

所以，

解得，

所以，

故选：D

【点睛】本题主要考查复数的概念和模的运算，属于基础题.

2．已知，，，用，表示，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】结合平面图形的几何性质以及平面向量的线性运算即可求出结果.

【详解】

因为，

所以，

又因为，，

所以，

故选：D.

3．如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km的C，D两点，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，则两目标A，B间的距离为km.

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】由已知可求，，由正弦定理可求的值，在中，，由正弦定理可求的值，进而由余弦定理可求的值．

【详解】由已知，中，，，

由正弦定理，，

所以，

在中，，

由正弦定理，，

所以，

在中，由余弦定理，，解得：．

所以与的距离.

故选B

【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．

4．如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（    ）

A． B．8 C．6 D．

【答案】B

【分析】根据斜二测画法得出原图形四边形的性质，然后可计算周长．

【详解】由题意，所以原平面图形四边形中，，，，所以，

所以四边形的周长为：．

故选：B．

5．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是

A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体

B．该几何体有12条棱、6个顶点

C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形

D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形

【答案】D

【分析】根据几何体的直观图，得出该几何体的结构特征，由此判断选项A、B、C正确，选项D错误．

【详解】根据几何体的直观图，得

该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体，

且有棱MA、MB、MC、MD、AB、BC、CD、DA、NA、NB、NC和ND，共12条；

顶点是M、A、B、C、D和N共6个；

且有面MAB、面MBC、面MCD、面MDA、面NAB、面NBC、面NCD和面NDA共个，且每个面都是三角形．

所以选项A、B、C正确，选项D错误．

故选D．

【点睛】本题考查了利用空间几何体的直观图判断几何体结构特征的应用问题，是基础题目．

6．已知,且,则

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】求出的坐标，利用垂直的坐标表示列方程求解.

【详解】由题意知，，且，

故，

解得.

故选：C.

【点睛】本题考查向量的坐标表示，垂直的坐标表示，是基础题.

7．已知正四棱锥的底面边长是，侧棱长是，则该正四棱锥的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据正四棱锥的底面边长和侧棱长，求出侧面面积与底面面积，然后求出表面积即可.

【详解】如图所示，

在正四棱锥中，取中点，连接，

则为直角三角形，

所以，

所以表面积.

故选：B.

【点睛】本题考查了正棱锥的表面积，属于基础题.

8．现有一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面所在的平面与各棱的交点分别为其所在棱的中点，则图甲中水面的高度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】首先利用图乙求出水的体积，再利用等体积法求出图甲中水面的高度.

【详解】设正三棱柱的底面积为，

∵，，，分别为其所在棱的中点，

∴，即，

∴，

∴，

因为，，

所以图甲中水面的高度为.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了利用等体积法求高，属于基础题.

二、多选题

9．复数满足，则下列说法正确的是（    ）

A．的实部为 B．的虚部为2 C． D．

【答案】AD

【分析】由已知可求出，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.

【详解】解：由知，，即

，所以的实部为，A正确；的虚部为-2，B错误；

，C错误；，D正确；

故选:AD.

【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的概念，考查了共轭复数的求解，考查了复数模的求解，属于基础题.

10．正三棱锥的外接球半径为2，底面边长为，则此三棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】首先设三棱锥的外接球的球心为，三角形的中心为，得到，再分类讨论求解三棱锥体积即可。

【详解】设三棱锥的外接球的球心为，三角形的中心为，

由题知：，解得.

当外接球球心在线段上时，如图所示：

，，

所以.

当外接球球心在线段的延长线上时，如图所示：

，，

所以.

故选：AB

11．（多选）已知向量，不共线，若，，且A，B，C三点共线，则关于实数，的值可以是（    ）

A．2， B．−3，

C．2， D．−3，

【答案】AB

【分析】利用平面向量共线基本定理即可求解.

【详解】因为A，B，C三点共线，

则存在实数，使得，

即，

即，

所以，

又因为向量，不共线，

所以，解得，

所以实数，的值互为倒数即可求解.

故选：AB

12．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，下列说法正确的有（    ）

A．该圆台轴截面ABCD面积为

B．该圆台的体积为

C．该圆台的母线AD与下底面所成的角为30°

D．沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm

【答案】ABD

【分析】求出圆台的高，根据梯形面积公式可求圆台轴截面的面积，从而可判断A；根据圆台的体积公式可判断B；圆台的母线与下底面所成的角为，从而可判断C；由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm，底面半径为2cm，设的中点为P，连接，求出，即为沿着该圆台表面，从点C到中点的最短距离，从而可判断D.

【详解】由，且CD＝2AB，可得，高,

则圆台轴截面的面积为,故A正确；

圆台的体积为，故B正确；

圆台的母线与下底面所成的角为，其正弦值为,

所以，故C错误；

由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm，底面半径为2cm，

侧面展开图的圆心角.

设的中点为P，连接，可得,

则.

所以沿着该圆台表面，从点C到中点的最短距离为5cm，故D正确.

故选:ABD.

三、填空题

13．已知是虚数单位，若，则的值为______.

【答案】0

【分析】运用复数四则运算及复数相等的定义即可得解.

【详解】因为，

所以，.

故答案为:

14．已知，，则与的夹角为         .

【答案】

【详解】根据已知条件，去括号得：，

15．如图，半径为2的半球内有一个内接正六棱锥P－ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是________．

【答案】6

【详解】显然正六棱锥P－ABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆，由已知，可得大圆的半径为2.易得其内接正六边形的边长为2.又正六棱锥P－ABCDEF的高为2，则斜高为＝，所以该正六棱锥的侧面积为6××2×＝6.

16．如图，△ABC为等腰三角形，，，以A为圆心，1为半径的圆分别交AB，AC与点E，F，点P是劣弧上的一点，则的取值范围是______．

【答案】

【详解】以为原点，以的垂线平行线为轴，建立直角坐标系，由，，可得，可设，，，,故答案为.

【方法点睛】本题主要考查平面向量的数量积以及向量的坐标表示、利用三角函数的有界性求范围，属于难题. 求范围问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据: ① 配方法（适合二次函数）；② 换元法（代数换元与三角换元）；③ 不等式法（注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”）；④ 三角函数法（注意恒等变形）；⑤ 图像法（根据图象的最高和最低点求解）；⑥ 函数单调性法求解（根据其单调性求凼数的取值范围即可），本题主要应用方法④解答的.

四、解答题

17．如图所示，在中，，，与相交于点.设，.

（1）试用向量、表示；

（2）在线段上取一点，在线段上取一点，使过点，设，，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）设，由、、三点共线以及、、三点共线可得出关于与的方程组，解出这两个未知数，即可得出关于、的表达式；

（2）设，利用向量的减法运算可得出，结合可建立等式，通过化简计算可得出，即可得出结论.

【详解】（1）不妨设.

由于、、三点共线，则存在使得，

即，于是.

又，所以，

则，即.①

由于、、三点共线，则存在使得，

即，于是.

又，所以，

所以，即.②

由①②可得，，所以；

（2）由于、、三点共线，所以存在实数使得，

即，于是.

又，，所以，

所以，则，可得，

两式相加得.

【点睛】本题考查了平面向量的数乘，向量的线性运算及向量表示三点共线，属中档题．

18．设复数（，，是虚数单位），且复数满足，复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.

⑴求复数；

(2)若为纯虚数(其中）,求实数的值.

【答案】（1）；（2）.

【详解】试题分析：（1）设，由得：，又复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，则即.联立求解即可（2）由,可得,为纯虚数，∴，然后解方程即可

试题解析：

⑴设，由得：.①

又复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，则即.②.

由①②联立方程组,解得,或，，

，∴，.

∴.

⑵由,可得,

为纯虚数，∴，

解得.

19．一个圆台的母线长为，两底面面积分别为和．

（1）求圆台的高；

（2）求截得此圆台的圆锥的母线长．

【答案】(1) . (2) .

【分析】（1）作出圆台的轴截面图示，利用勾股定理计算相关长度；（2）将轴截面的梯形补形成三角形，利用相似的知识去计算出母线长.

【详解】（1）如图，过圆台的轴作截面，则截面为等腰梯形，，分别为，的中点，作于点，连接.

由已知可得上底半径，下底半径，且腰长，

∴，即圆台的高为.

（2）如图，延长，交于点，设截得此圆台的圆锥的母线长为，则由，得，即，∴即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.

【点睛】本题考查圆台的相关量的简单计算，难度一般.处理圆台有关问题时一定要将圆台和圆锥联系在一起，有时利用圆锥能很方便解决圆台问题.

20．如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

【答案】救援船到达D点需要1小时．

【详解】

海里

又海里

中，由余弦定理得,

海里，则需要的时间

答：救援船到达D点需要1小时

21．已知平面向量.

(1)若,求x的值;

(2)若,求与的夹角的余弦值.

【答案】(1).(2)

【解析】(1)利用向量平行的坐标表示，列方程求解；

(2) 根据平面向量垂直的坐标表示列方程求出，再计算与所成夹角的余弦值.

【详解】(1)平面向量，

若,则，

解得；

(2)若,则，

即,解得，

∴，

∴与的夹角的余弦值为.

【点睛】本题考查了平面向量的共线定理与数量积应用问题，是基础题.

22．如图所示，正三棱锥P-ABC的底面边长为a，高PO为h，求它的侧棱PA的长和斜高PD的长．

【答案】侧棱PA的长为,斜高PD的长为

【分析】易知O为的中心，从而得OA，OD，分别在和中求解即可.

【详解】如图，连接AD，则点O在AD上．

∵正三棱锥P-ABC的底面边长为a，O为的中心，

∴OA=a，OD=a．

在中，根据勾股定理，

得PA=．

在中，根据勾股定理，

得PD=，

所以此正三棱锥的侧棱PA的长为，

斜高PD的长为．

【点睛】本题主要考查了正三棱锥的几何特征，属于基础题.