2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高二下学期期中考试数学试题（解析版）

2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．在等差数列中，，．记，则数列（    ）．

A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项

C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项

【答案】B

【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.

【详解】由题意可知，等差数列的公差，

则其通项公式为：，

注意到，

且由可知，

由可知数列不存在最小项，

由于，

故数列中的正项只有有限项：，.

故数列中存在最大项，且最大项为.

故选：B.

【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.

2．公元前世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了米，此时乌龟便领先他米，当阿基里斯跑完下一个米时，乌龟先他米，当阿基里斯跑完下一个米时，乌龟先他米....所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为（    ）

A．米 B．米

C．米 D．米

【答案】D

【分析】根据题意，是一个等比数列模型，设，由，解得，再求和.

【详解】根据题意，这是一个等比数列模型，

设，

所以，

解得，

所以.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用，还考查了建模解模的能力.属于中档题.

3．已知等比数列的各项都为正数，且当时有，则数列的前20项和为（    ）

A．190 B．210 C．220 D．420

【答案】B

【分析】根据等比数列的性质可得，即可求出数列的通项，最后根据等差数列求和公式计算可得；

【详解】解：依题意等比数列的各项都为正数，且当时有

所以，所以

所以

所以数列的前20项和为

故选：B

【点睛】本题考查等比数列的通项公式以及等差数列求和公式的应用，属于基础题.

4．设等差数列的前项和为，且，则当取最小值时，的值为（   ）

A． B． C． D．或

【答案】B

【解析】由题得出，则，利用二次函数的性质即可求解.

【详解】设等差数列的公差为，

由得，则，

解得，，，

，对称轴为，开口向上，

当时，最小.

故选：B.

【点睛】方法点睛：求等差数列前n项和最值，由于等差数列是关于的二次函数，当与异号时，在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当与同号时，在取最值.

5．如图，函数的图象在P点处的切线方程是,若点的横坐标是5，则 (　　)

A． B．1 C．2 D．0

【答案】C

【详解】试题分析：函数的图象在点P处的切线方程是，所以，在P处的导数值为切线的斜率，2，故选C．

【解析】本题主要考查导数的几何意义．

点评：简单题，切线的斜率等于函数在切点的导函数值．

6．已知函数和在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．在a到b之间的平均变化率大于在a到b之间的平均变化率

B．在a到b之间的平均变化率小于在a到b之间的平均变化率

C．对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率

D．存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率

【答案】D

【解析】由平均变化率和瞬时变化率的概念即可判断.

【详解】解：∵在a到b之间的平均变化率是，

在a到b之间的平均变化率是，

又，，

∴，

∴A、B错误；

易知函数在处的瞬时变化率是函数在处的导数，

即函数在该点处的切线的斜率，

同理可得：函数在处的瞬时变化率是函数在该点处的导数，

即函数在该点处的切线的斜率，

由题中图象可知：

时，函数在处切线的斜率有可能大于在处切线的斜率，也有可能小于在处切线的斜率，故C错误，D正确．

故选：D．

7．已知，P为曲线上的点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为，则点P的横坐标的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设点P的横坐标为，利用导数求切线的斜率，根据倾斜角范围求斜率范围，建立不等式即可求解.

【详解】设点P的横坐标为，则点P处的切线倾斜角与的关系为．

∵，

∴，

∴，即，

∴点P的横坐标的取值范围为．

故选：D

8．已知数列满足：，则

A．16 B．25 C．28 D．33

【答案】C

【解析】依次递推求出得解.

【详解】n=1时，，

n=2时，，

n=3时，，

n=4时，，

n=5时，.

故选：C

【点睛】本题主要考查递推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

9．数列， ， ， ，……的通项公式可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由分母构成等差数列即可求出.

【详解】数列的分母形成首项为5，公差为2的等差数列，则通项公式为，

所以.

故选：C.

10．已知函数满足，当时，（    ）

A．20 B． C． D．

【答案】A

【分析】根据导数的定义有时，即可知.

【详解】∵，而，

∴，故.

故选：A

11．某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（    ）

A．是物体从开始到这段时间内的平均速度

B．是物体从到这段时间内的速度

C．是物体在这一时刻的瞬时速度

D．是物体从到这段时间内的平均速度

【答案】C

【解析】由瞬时变化率的物理意义判断．

【详解】是物体在这一时刻的瞬时速度.

故选：C.

12．函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【分析】由导数的几何意义判断

【详解】由图象可知在上单调递增

故，即

故选：B

二、填空题

13．数列满足，前16项和为540，则 ______________.

【答案】

【分析】对为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立方程，求解即可得出结论.

【详解】，

当为奇数时，；当为偶数时，.

设数列的前项和为，

，

.

故答案为：.

【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.

14．已知过点的直线交轴于点，抛物线上有一点使,

若是抛物线的切线，则直线的方程是___．

【答案】或.

【详解】分析：由题设，求导得到直线 然后分和两种情况讨论即可得到直线的方程.

详解：由题设，求导即，则直线

当时，验证符合题意，此时 ，故 ，

当时，， ，

或（重合，舍去）

此时，故

点睛：本题考查曲线的切线方程的求法，垂直关系的斜率表示等，属基础题.

15．如图，画一个边长为2cm的正方形，再将这个正方形的各相邻边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样共画了8个正方形，则这8个正方形的面积和为_____cm2．

【答案】

【分析】根据题意，分析可得这些正方形的面积组成以4为首项，为公比的等比数列，结合等比数列的前n项公式分析可得答案．

【详解】根据题意，第一个正方形的边长为，其面积为，

再将这个正方形的各相邻边的中点相连得到第二个正方形，

依此类推每一个小正方形的面积都是前边正方形的面积的

这些正方形的面积组成以4为首项, 为公比的等比数列，

则这8个正方形的面积和.

故答案为：

【点睛】本题考查等比数列的前项和公式，根据正方形的面积公式得到面积关系是解决本题的关键．属于基础题.

16．若点在曲线上，且，则曲线在点处的切线方程是________．

【答案】

【解析】利用点斜式可得出所求切线的方程.

【详解】由题意知，切线的斜率．

所以，曲线在点处的切线方程为，即．

故答案为：．

三、解答题

17．设数列的前n项和为，满足，且．

(1)若，求证：数列是等差数列；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据作差得到，从而得到，即可得证；

（2）首先求出的通项公式，再根据求出的通项公式，最后根据代入计算可得；

【详解】（1）解：因为，且，当时，则，当时，所以，即，所以，即，所以是等差数列；

（2）解：因为，，所以，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以，则，所以

18．已知曲线.

（1）求该曲线斜率为-3的切线方程；

（2）当曲线的切线斜率最大时，切点为，过点作直线与轴、轴的正半轴交于两点，求面积的最小值.

【答案】（1）或.（2）

【分析】（1）先对函数求导，再令导函数等于-3即可求出切点坐标，进而可求切线方程；

（2）先由切线斜率取最大时，求出切点坐标，再设出两点坐标，得到直线的截距式方程，将切点坐标代入直线方程，结合基本不等式即可求解.

【详解】（1）由，得，

，解得或.

当时，；当时，.

∴切线方程为或，

即或.

（2）∵，

∴当时，切线的斜率取得最大值1，此时，

即点坐标为.

由题意，设，（，），则直线的方程为.

∴.

∴ ，

当且仅当，即时取“”号.

将代入，解得，.

∴直线的方程为，即时，面积的最小值为.

【点睛】本题主要考查导函数的几何意义，根据导数的方法求曲线的切线方程，由切线斜率求切点坐标，属于基础题型.

19．在等差数列中，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列是首项为，公比为的等比数列，求的前项和.

【答案】（1）；（2）当时，，当且时，.

【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得数列的通项公式；

（2）求得，分、两种情况讨论，结合等差数列求和公式以及分组求和法可求得的表达式.

【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，

因此，；

（2）由题意可得，则.

①当时，，则；

②当且时，则

.

综上所述，当时，，当且时，.

20．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关系式为，其中为体温（单位：℃），为太阳落山后的时间（单位：）．

（1）求从至，蜥蜴的体温下降了多少？

（2）从到，蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少？它表示什么实际意义？

（3）求并解释它的实际意义．

【答案】（1）16℃；（2）表示从到这段时间内变化率为，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6℃；（3）表示太阳落山后时，蜥蜴的体温下降的速度为．

【分析】（1）由题意从至的体温为，即可求值.

（2）根据平均变化率的定义求到的平均变化率，说出其实际含义即可.

（3）利用导数的定义求，并说明其实际含义即可.

【详解】（1），即从到，蜥蜴的体温下降了16℃．

（2）蜥蜴的体温下降的平均变化率为，

它表示从到这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6℃．

（3）∵，

∴当趋于0时，趋于，即，

它表示太阳落山后时，蜥蜴的体温下降的速度为．

21．在等比数列中，，且.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由数列是等比数列，及，且，两式相除得到公比，再代入可求，则通项公式可求.

（2）利用分组求和求出数列的前n项和.

【详解】解：（1）因为等比数列中，，且.

所以公比，

所以，

即，

故.

（2）因为

所以，

所以

.

【点睛】本题考查等比数列的通项公式的计算与等比数列前项和公式的应用，属于基础题.

22．已知函数图象上两点、.

（1）若割线的斜率不大于，求的范围；

（2）求函数的图象在点处切线的方程.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）求出割线的斜率（平均变化率），解不等式可得；

（2）求出进的瞬时变化率即的斜率，然后可得切线方程．

【详解】（1）由题意得，割线的斜率为

，

由，得，

又因为，所以的取值范围是.

（2）由（1）知函数的图象在点处切线的斜率为

，

又，

所以切线的方程为，

即.