2021-2022学年安徽省滁州市定远县民族中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2021-2022学年安徽省滁州市定远县民族中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知正方形的边长为6，在边上且，为的中点，则

A．-6 B．12 C．6 D．-12

【答案】A

【分析】以向量为基底，将用基底表示，结合向量数量积的运算律，即可求解.

【详解】由在边上且，为的中点，

，

，

.

故选：A.

【点睛】本题考查向量基本定理以及向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题.

2．已知，为平面向量，且，，则，夹角的余弦值等于（    ）

A． B．－ C． D．－

【答案】C

【分析】先根据向量减法得，再根据向量夹角余弦值的坐标公式计算即可得答案.

【详解】∵，∴．

又，∴，

∴．

又，，

∴．

故选：C.

3．在中，，，，则（    ）

A．2 B． C． D．1

【答案】D

【分析】利用余弦定理即可求出的值．

【详解】解：因为，，，

，

故．

故选：．

【点睛】本题考查余弦定理的应用，属于基础题．

4．在锐角中，角所对的边长分别为.若

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：

【解析】正弦定理解三角形

5．设，则

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先求得,再代入即可

【详解】由题,,

所以,

故选:D

【点睛】本题考查复数的加减法的代数运算,属于基础题

6．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是　(　　)

A．AB B．AD C．BC D．AC

【答案】D

【详解】因为A′B′与y′轴重合，B′C′与x′轴重合，所以AB⊥BC，AB=2A′B′，BC=B′C′.所以在直角△ABC中，AC为斜边，故AB<AD<AC，BC<AC.

故选D.

7．已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于(　　)

A．π B．π

C．16π D．32π

【答案】B

【分析】作轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，外接球的截面是圆为球的大圆是的外接圆，由图可得球的半径与圆锥的关系．

【详解】

如图，作轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，的外接圆是球的大圆，

设该圆锥的外接球的半径为R，依题意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的体积V＝πR3＝π×23＝π，

故选B．

【点睛】本题考查球的体积，关键是确定圆锥的外接球与圆锥之间的关系，即球半径与圆锥的高和底面半径之间的联系，而这个联系在其轴截面中正好体现．

8．(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有

A．14斛 B．22斛

C．36斛 D．66斛

【答案】B

【详解】试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.

【解析】圆锥的性质与圆锥的体积公式

二、多选题

9．已知向量，设的夹角为，则（    ）

A． B．

C．∥ D．

【答案】BD

【分析】由已知条件求出的坐标，然后逐个分析判断即可.

【详解】因为，

所以，

对于A，因为，所以，

所以，所以A错误，

对于B，因为，所以，所以，所以B正确，

对于C，因为，所以，所以与不共线，所以C错误，

对于D，因为，的夹角为，

所以，

因为，所以，所以D正确，

故选：BD

10．若为钝角三角形，且，，则边C的长度可以为（    ）

A．2 B．3 C． D．4

【答案】AD

【分析】由条件，又，所以在中为钝角的可能为角或角,所以，或，解得答案.

【详解】由三角形的边长能构成三角形，则有，

又，所以在中为钝角的可能为角或角.

则或

所以或，解得：或

所以选项A、D满足.

故选：AD

【点睛】本题考查余弦定理的应用，做题时要注意钝角这个条件，钝角可能的情况，属于中档题.

11．（多选）圆柱的侧面展开图是边长分别为2a，a的矩形，则圆柱的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】按圆的高分类讨论，求出底面半径后由体积公式计算．

【详解】设圆柱底面半径为，

若高是，则，，，

若高是，则，，．

故选：AB．

12．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（    ）

A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为

C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2

【答案】CD

【解析】依次判断每个选项：圆柱的侧面积为，A错误；圆锥的侧面积为，B错误；圆柱的侧面积为，C正确；计算体积之比为3：1：2，D正确，得到答案.

【详解】依题意得球的半径为R，则圆柱的侧面积为，∴A错误；

圆锥的侧面积为，∴B错误；

球面面积为，∵圆柱的侧面积为，∴C正确；

，，

，∴D正确.

故选：CD.

【点睛】本题考查了圆柱，圆锥，球的表面积，意在考查学生的计算能力.

三、填空题

13．已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数k的值为______．

【答案】##1.25

【分析】由，结合数量积公式转化，即可求解值.

【详解】因为，所以，即，又因为，是夹角为的两个单位向量，所以，所以.

故答案为：

14．若复数满足，则复数________________.

【答案】

【解析】由一定为实数,由题可知的虚部为,设,进而求解即可

【详解】因为,所以的虚部为,

设,则,解得,所以,

故答案为:

【点睛】本题考查相等复数,考查复数的模的应用

15．在中，，，D为BC中点，则AD最长为_________.

【答案】3

【分析】在和中，分别利用余弦定理，求得，再在中，利用余弦定理和基本不等式，即可求解.

【详解】如图所示，设，，则，

在中，由余弦定理，可得，

即，①

在中，由余弦定理，可得，

即，②

由①+②，可得，

在中，由余弦定理，可得，

即，

解得，所以，即的最大值为.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，以及利用基本不等式求解最值问题，其中解答中熟练应用余弦定理得到，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

16．在中，，，，则的面积为______.

【答案】

【分析】由已知利用正弦定理可求的值，根据大边对大角，特殊角的三角函数值，三角形的内角和定理可求，，根据三角形的面积公式即可计算得解．

【详解】，，

由正弦定理可得：，解得：

，可得：

本题正确结果：

【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

四、解答题

17．在平面直角坐标系中，已知三点的坐标分别为

(Ⅰ)若，求实数的值

(Ⅱ)若三点能构成三角形，求实数的取值范围.

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)

【详解】试题分析：(Ⅰ) 由，得，用坐标表示计算即可；

(Ⅱ) 若三点能构成三角形，则三点不共线与不平行，用坐标表示即可.

试题解析：

(Ⅰ)由题意有，

由，得

故

解得

(Ⅱ)若三点能构成三角形，则三点不共线.

则与不平行，

故

解得.

18．已知复数.

(1)当为何值时，复数是实数？

(2)当为何值时，复数是纯虚数？

【答案】(1)；(2)1.

【解析】先求得,当其为实数时,虚部为0；当其为纯虚数时,实部为0,虚部不为0,进而求解即可

【详解】(1)由题意,,

若复数是实数,则,即.

(2)由（1）,若复数是纯虚数,则,即

【点睛】本题考查复数的分类,考查已知复数的类型求参数问题

19．在中,a､b､c分别是角A､B､C的对边,且.

(1)求角B的大小;

(2)若,,求的周长.

【答案】(1);(2).

【解析】(1)利用余弦定理及变形化简，可得角B的大小（2）利用余弦定理求解的值，即可求解的周长.

【详解】(1)由余弦定理,得,,

将上式代入,

整理得,

,

角B为的内角,

..

(2)将,,,

代入,

即,

,

,

的周长为.

【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，三角形的周长，属于中档题.

20．如图，D为直角△ABC斜边BC上一点，，

（1）若，求角的大小；

（2）若，且，求的长；

【答案】（1） ；（2）.

【解析】（1）利用正弦定理、外角性质、三角形内角和定理即可得出；

（2）设，则，，，于是，，，再利用余弦定理即可解出.

【详解】（1）在中，根据正弦定理得：

因为，所以，

又因为，

所以，

所以，

所以.

（2）设，则，，，

所以，，，

在中，由余弦定理得：，

即，解得：，即

【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.

21．已知在复平面内，为坐标原点，向量分别对应复数，且，，.

(1)求实数的值；

(2)求以为邻边的平行四边形的面积.

【答案】(1)3；(2).

【解析】（1）,代入中,由相等复数求解即可；

（2）由（1）可知,利用数量积求得的夹角,进而求解即可

【详解】(1)∵,

∴，解得

(2)由(1)知,

∴,

∴,

设向量的夹角为,

∴,

∴,

∴

【点睛】本题考查相等复数的应用,考查复数的几何意义,考查数量积的应用,考查运算能力

22．由于2020年1月份国内疫情爆发，餐饮业受到重大影响，目前各地的复工复产工作在逐步推进，居民生活也逐步恢复正常．李克强总理在考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，也是中国的商机．某商场经营者王某准备在商场门前“摆地摊”，经营“冷饮与小吃”生意．已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点P在弧上，点M和点N分别在线段和线段上，且米，．记．

(1)当时，求；

(2)请写出顾客的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值．

【答案】(1)；

(2)，；当时，取得最大值.

【分析】（1）在△中由正弦定理求得，即可由数量积的定义求得结果；

（2）在△中由正弦定理用表示，结合三角形的面积公式，即可求得结果，再根据三角函数的性质，即可求得取得最大值时对应的.

【详解】（1）根据题意，在△中，，又，

故由正弦定理可得：

解得，，

故.

即.

（2）由题可知，在△中，，

则由正弦定理，可得，

故可得，

故

.

即.

当时，，此时取得最大值.