2022-2023学年贵州省铜仁市沿河民族中学高一上学期期中测试数学试题（解析版）

2022-2023学年贵州省铜仁市沿河民族中学高一上学期期中测试数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合满足，则集合个数为（   ）

A．4 B．8 C．16 D．32

【答案】C

【分析】根据集合和中的元素情况得到集合中一定有5,6这两个元素，集合中剩下的元素构成的集合是集合的子集，将求集合个数转化为求集合的子集的个数，然后求子集个数即可.

【详解】根据题意可知，集合中一定有5,6这两个元素，设集合中的其它元素构成集合，则集合为集合的子集，所以集合有种情况，即集合的个数可以有16个.

故选：C.

2．已知函数则函数（      ）

A．在上单调递增 B．在上单调递减

C．在上单调递增 D．在上单调递减

【答案】C

【分析】利用分离常数的方法和反比例型函数的单调性判断即可.

【详解】，所以在上单调递增.

故选：C.

3．已知集合M={│}， N={│}，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分以不必要条件

【答案】A

【分析】根据集合，的含义判断即可.

【详解】集合表示所有奇数构成的集合，而集合中的元素为奇数，但不是所有的奇数，所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

4．不等式的解集是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】分和两种情况解不等式即可.

【详解】当时，原不等式可整理为，解得；

当时，原不等式可整理为，解得，

综上所述，不等式的解集为.

故选：B.

5．已知奇函数在R上是减函数，且则满足的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数奇偶性，以及单调性，直接求解即可.

【详解】根据题意，，故等价于，

又为上的单调减函数，故可得，解得.

故选：D.

6．下列命题中是真命题的个数是（    ）

（1）      

（2）

（3）若为真命题，则

（4）为真命题，则

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】对（1）（2），由二次函数图象即可判断；

对（3），对称轴为，图象开口向上，命题为真等价于，求解即可；

对（4），，由均值不等式得，故命题为真等价于

【详解】对（1），由得与x轴有两个交点，故命题（1）为假命题；

对（2），图象开口向上，故命题（2）为真命题；

对（3），对称轴为，图象开口向上，故为真命题等价于，故命题（3）为真命题；

对（4），，∵，故命题（4）为真命题；

故选：C

7．用表示两个数中的较小值，设 ，则的最大值为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【分析】求得的解析式，根据其单调性，即可求得最大值.

【详解】令，解得，故，

故当时，单调递增；当时，单调递减，

则的最大值为.

故选：B.

8．若函数是偶函数，函数 在上单调递减，则（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数是偶函数，关于 轴对称，向右移3个单位得到关于 轴对称，结合单调性即可解决.

【详解】由题知函数是偶函数，关于 轴对称，

所以关于 轴对称，

因为函数 在上单调递减，

所以函数 在上单调递增，

所以

，故A正确，

，故B错误，

故C错误，

，故D错误.

故选：A.

二、多选题

9．下列命题中，真命题是（    ）

A．使为奇函数.

B．使为偶函数.

C．使都为偶函数；

D．使都为奇函数

【答案】AC

【分析】特称命题与全称命题真假的判断，主要利用以及特殊值进行判断

【详解】对A选项：时，为奇函数，A正确

对B选项：若为偶函数，则

，则的值不存在

故B不正确

对C选项：若为偶函数，则

，

所以使都为偶函数，故C正确

对D选项：令，

由，所以，故D错误

故选：AC.

10．“一元二次方程有实数解”的必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】根据一元二次方程有实数解得到，然后将求必要不充分条件转化为求，最后根据真子集的定义判断即可.

【详解】“一元二次方程有实数解”可以得到，解得，

设，选项中的范围构成集合，则，CD选项符合要求.

故选：CD.

11．设为定义在R上的奇函数，当时，为常数），则（   ）

A． B．

C． D．函数仅有一个零点

【答案】ABD

【分析】根据函数的奇偶性以及函数零点的求解方法，结合已知条件，即可判断和选择.

【详解】对A：因为是上的奇函数，故，解得，故A正确；

对BC：，故B正确，C错误；

对D：当时，；因为是增函数，也是增函数，

故在上也是单调增函数，为奇函数，故在上是单调增函数，至多有一个零点；

又，故仅有一个零点，D正确；

故选：ABD.

12．若函数为实数集上的增函数，则实数可以为（    ）

A．2  B． C．3 D．1

【答案】AC

【分析】根据一次函数和二次函数的单调性，结合分割点处函数值之间的关系，列出不等式，求解即可.

【详解】根据题意可得：，且，解得.

故选：AC

三、填空题

13．函数值域是，则实数的取值范围是__________；

【答案】

【分析】根据二次函数的值域，以及其单调性，结合已知条件，即可求得结果.

【详解】因为的对称轴为，故在单调递减，在单调递增，

又，，故.

故答案为：.

14．若函数则_________；

【答案】2022

【分析】列举，观察规律即可，例如.

【详解】因为，

所以

，即，

，即，

，

所以.

故答案为：2022.

15．已知函数，则不等式的解集是_____

【答案】

【分析】先求出的表达式，分类讨论即可解出.

【详解】由已知，得

当时，解，即，所以；

当时，恒成立.

综上所述，或，即.

故答案为：.

16．一批救灾物资随17列火车以km/h的速度匀速直达900km外的灾区，为了安全起见，两列火车之间和距离不得小于，问这批物资运到灾区至少要_____h.

【答案】8

【分析】先把物资运到灾区行驶的总路程求出来，然后用物理学中的时间、路程、速度关系求出结果.

【详解】由题可知物资运到灾区行驶的总路程为

所以物资运到灾区所需时间为

当且仅当 ，即 时取等号

至少要8 小时.

故答案为：8

四、解答题

17．已知条件若与仅有一个为真，求实数的取值范围.

【答案】

【分析】对问题转化为

求出，对 问题转化为 其中

然后根据与仅有一个为真进行分析，得出取值范围.

【详解】对，

则在恒成立，

令 ，

问题转化为

由对称轴为：开口向下，

所以

所以

对

问题转化为 其中

令

当且仅当时取等号，

所以

由与仅有一个为真，则

当真假时，且，

当假真时，

所以与仅有一个为真时实数的取值范围为

18．已知函数的定义域为 .

(1)求集合;

(2)若集合，且求实数的取值范围.

【答案】(1);

(2).

【分析】（1）根据函数定义域列方程组即可；（2）讨论 和两种情况即可.

【详解】（1）由题知：

，

解得 ，

所以.

（2）由（1）知，

因为，且

所以

当时,，得，

当时，

，得，

所以实数的取值范围.

19．（1）若求函数的解析式，并写出其定义域.

（2）求函数的值域.

【答案】（1）解析式为，定义域为：

（2）

【分析】（1）利用换元法令，解出，代入原函数中化简即可

（2）换元法将函数转化为二次函数求值域

【详解】（1）令，由

所以，

所以，

所以有

即函数的解析式为，定义域为

（2）令，所以

所以有

由对称轴为：，开口向上，所以函数在上单调递增，

所以，

即函数的值域为.

20．关于的不等式

(1)当求不等式的解集；

(2)解关于的不等式.

【答案】(1)或；

(2)见解析.

【分析】（1）将代入解不等式即可；

（2）分，，，，五种情况解不等式即可.

【详解】（1）当时，不等式为，整理得，解得或，

所以不等式的解集为或.

（2）不等式可整理为，

当时，，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为.

21．已知函数

(1)画出函数的图像；

(2)解不等式.

【答案】(1)解答见详解

(2)或或

【分析】(1)根据函数解析式画出函数图象；

(2)在同一坐标系中分别作出函数与的图象，根据图象即可求解.

【详解】（1）因为，

如图即为所求：

（2）分别画出函数与的图象，如下图所示，

由图可知：令，则有或或或

所以根据图象可知：要使，则有或或，

所以不等式的解集为或或.

22．函数是定义在上的函数，对，都有

(1)求证：是奇函数；

(2)若时，，求证：函数在上单调递增；

(3)在条件（2）下，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

(3).

【分析】（1）利用赋值法，令，得到，然后利用奇偶性的定义证明即可；

（2）利用单调性的定义证明即可；

（3）利用奇偶性和单调性将不等式整理为，然后分和两种情况求解即可.

【详解】（1）定义域为R ，关于原点对称，

令，则，整理得；

令，则，整理得，所以为奇函数.

（2）设，且，

令，，则，整理得，

又时，，所以，即， 所以在R上单调递增.

（3）因为为奇函数，所以，

又在R上单调递增，所以，整理得，

当时，，成立；

当时，，解得，

综上所述，的取值范围为.