2023-2024学年湖南省湘西州花垣县民族中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年湖南省湘西州花垣县民族中学高一上学期期中数学试题含答案，共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，计算题，解答题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接根据交集的定义计算即可得解.
【详解】因为，，所以.
故选：D.
2．已知命题，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.
【详解】解：命题，为全称量词命题，
其否定为：，.
故选：B
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】解方程，然后根据充分性和必要性的定义求解即可.
【详解】或，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
4．若，则下列不等式不能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质逐项判断.
【详解】对于A：由得，则，即，故A成立；
对于B：由得，则根据不等式的性质有，即，故B成立；
对于C：由得，则，进而，故C成立；
对于D：由可得，故D不成立.
故选：D.
5．若，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据题意利用基本不等式即可求得的最小值为.
【详解】由可知，
所以，当且仅当时，等号成立；
即的最小值为.
故选：B
6．下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】同一函数指定义域，值域和对应法则都相同，根据这一标准即可进行判断.
【详解】A选项：的定义域是R，而的定义域是，所以A不正确.
B选项：的定义域是R，的定义域是,所以B不正确.
C选项：的值域是R，而的值域是，所以C不正确.
D选项：的定义域是R，而的定义域是R，定义域和对应法则都相同，所以D正确.
故选:D
7．不等式的解集用区间表达为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解一元二次不等式求解集，再用区间表示解集即可.
【详解】由，即或，
所以解集用区间表达为.
故选：D
8．已知函数的图象关于原点对称，则（ ）
A．B．
C．D．无法确定
【答案】A
【分析】根据函数特征，图象关于原点对称，则函数必过原点，代入方程求出的值.
【详解】因为函数定义域为，且图象关于原点对称，
则有图象必过原点，
即，解得，
当时，则，可知图象关于原点对称，
所以.
故选：A.
9．下列函数中， 既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可.
【详解】解：对于A：，则，故为非奇非偶函数，故A错误；
对于B：为奇函数，函数在，上单调递增，在定义域上不具有单调性，故B错误；
对于C：为奇函数，且在定义域上单调递增，故C正确；
对于D：为偶函数，故D错误；
故选：C
10．函数的定义域是（ ）
A．且B．
C．D．且
【答案】D
【分析】根据的次方没有意义，分母不等于及开偶数次方根号里的数大于等于零即可得解.
【详解】由，
得，解得且，
所以函数的定义域是且.
故选：D.
二、填空题
11．已知集合，且，则 .
【答案】
【分析】根据集合相等的定义求出即可得解.
【详解】因为集合，且，
所以，
所以.
故答案为：.
12．已知，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】直接使用基本不等式，即可求得结果.
【详解】因为，当且仅当，即时取得最大值.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，属基础题.
13．已知函数，则 .
【答案】
【分析】根据题意，由分段函数的解析式代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，，则.
故答案为：.
14．已知集合，，则 .
【答案】
【分析】根据一元二次不等式解法化简集合A和B，然后利用并集运算求解即可.
【详解】因为集合，
集合或，
所以.
故答案为：.
15．若，且，则 .
【答案】
【分析】由已知列方程组求得，再将代入求值即可.
【详解】由题设，
所以，则.
故答案为：
三、计算题
16．解下列不等式，并把解集用区间表达.
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）求出不等式对应方程的实数根，画出其对应的函数图象即可得出（1）（2）中的不等式的解集，表示成区间即可.
【详解】（1）不等式等价于，
易知方程的两个实数根为和，
其对应的一元二次函数的图象如下图所示：
所以不等式的解集为
（2）将不等式整理成，即，
易知方程的两个实数根为和，
二次函数对应的图象如下图：
所以该不等式的解集为.
四、解答题
17．集合，，求，，
【答案】，，
【详解】，，
，
，
，或，
或．
五、问答题
18．已知函数
(1)点在该函数图象上吗？
(2)当时，求的值.
【答案】(1)在图象上
(2)3
【分析】（1）根据得到点在函数的图象上；
（2）令，然后解方程即可.
【详解】（1），所以点在函数的图象上.
（2），解得，所以的值为3.
六、证明题
19．已知函数
(1)判定并证明的奇偶性.
(2)判定并证明函数在区间上为减函数
【答案】(1)为奇函数，证明见解析
(2)函数在区间上为减函数，证明见解析
【分析】（1）根据奇函数的定义判断和证明即可；
（2）利用单调性定义即可判断和证明函数的单调性.
【详解】（1）为奇函数，证明如下：
要使函数有意义，则，即函数的定义域为，关于原点对称，
因为，所以函数为奇函数.
（2）函数在区间上为减函数，证明如下：
设，且，有.
由及得，
则，即．
所以函数在区间上为减函数.
七、解答题
20．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好.
(1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？
(2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请证明你的结论.
【答案】(1)
(2)变好，证明见详解
【分析】（1）设该公寓窗户面积为，依题意列出不等式组求解可得；
（2）记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c，表示出增加面积前后的比值作差比较即可作出判断.
【详解】（1）设该公寓窗户面积为，则地板面积为，
依题意有，解得，
所以，这所公寓的窗户面积至少为.
（2）记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c.
由题可知，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，
因为，且，
所以，即,
所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了.