2022-2023学年湖南省邵阳市第二中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年湖南省邵阳市第二中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由绝对值的性质确定集合，然后由交集定义计算．

【详解】由已知，∴．

故选：A．

2．已知是方程的两根，，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，再结合充要条件的判定可得答案.

【详解】若是方程的两根，则.

因为，，

所以是的充分不必要条件.

故选：A.

3．下列各函数在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据幂函数的性质依次判断各选项即可.

【详解】解：对于A，函数在定义域内不单调，故A错误;

对于B，函数是奇函数，在定义域内单调递减，故B正确；

对于C，因为，函数为奇函数，函数在R上单调递增，故C错误；

对于D，函数是奇函数，在定义域内单调递增，故D错误.

故选：B

4．函数的零点所在区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先判断在上单增，再用零点存在定理判断零点所在的区间.

【详解】函数定义域为，且在上单增.

因为，，

所以零点所在区间为.

故选：B

【点睛】判断函数的零点所在区间主要方法是利用零点存在定理，判断函数在给定区间端点出的符号是否相反.

5．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数解析式，结合奇偶性定义判断其奇偶性，可排除两个选项，再根据常见函数的单调性，判断函数在上的单调性即可确定.

【详解】解：函数，定义域为，所以

所以函数为偶函数，故排除选项B，C；

当时，，又在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，故选项D符合，排除A.

故选：D.

6．已知定义域为的奇函数满足，，则不等式的解集为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据对数函数的性质，结合奇函数求解即可.

【详解】解：因为，

所以，时，；当时，；

因为函数是定义域为的奇函数，

所以，时，；时，；时，.

所以，的解集为.

故选：B

7．函数，若对任意，都有不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ）

A．（－∞，1] B．（1，5）

C．[1，5） D．[1，4]

【答案】D

【分析】由已知不等式恒成立得函数是单调减函数，然后由分段函数的单调性列不等式组求解．

【详解】不等式恒成立，即，

即时，，

∴是减函数，

∴，解得．

故选：D．

8．设函数，其中表示中的最小者.下列说法错误的（   ）

A．函数为偶函数 B．若时，有

C．若时， D．若时，

【答案】D

【分析】先根据定义作的图像，然后依据图像逐个检验即可．

【详解】在同一坐标系中画出的图像（如图所示），

故的图像为图所示．

的图像关于轴对称，故为偶函数，故A正确．

由图可知时，有，故B成立．

从图像上看，当时，有成立，令，则，故，故C成立．

取，则，，，故D不成立．

综上，选D．

【点睛】一般地，若（其中表示中的较小者），则的图像是由这两个函数的图像的较低部分构成的．

二、多选题

9．下列命题正确的是（      ）

A．函数f（x）=与是同一个函数

B．函数的值域为

C．命题： ，均有，则的否定：，使得

D．若函数的定义域为，则函数的定义域为

【答案】ACD

【分析】由函数定义判断A，求出函数值域判断B，根据命题的否定的定义判断C，由复合函数的定义域判断D．

【详解】选项A，的定义域是，，且，

的定义域是，，两者定义域相同，对应法则也相同，是同一函数，正确；

选项B，，即，错误；

选项C，全称命题的否定是特称命题，是，使得，正确；

选项D，函数中，，则，所以中，正确．

故选：ACD．

10．若正实数，满足，则下列说法正确的是（      ）

A．有最大值 B．有最大值

C．有最小值 D．的最小值为

【答案】ACD

【分析】根据不等式的性质，对每一项进行逐项分析即可.

【详解】对A：由均值不等式可得：，当且仅当时取得最大值，故正确；

对B：，当且仅当时取得，

此时取得最大值，故错误；

对C：

当且仅当时取得最小值，故正确；

对D：，

当且仅当，即时取得最小值.故正确.

故选：ACD.

11．定义在R上函数满足：，，，设，则（      ）

A．的图象关于直线x=2022对称

B．的图象关于点（2022，0）中心对称

C．

D．为偶函数

【答案】BCD

【分析】由已知等式变形得，从而得，得周期函数，4是它的一个周期，已知条件得出函数图象关于直线对称，然后确定得对称性判断AB，计算判断C，证明判断D．

【详解】，函数为奇函数，图象关于原点对称，

又，∴，，

∴是周期函数，4是它的一个周期，函数图象关于中心对称，

由得函数的图象关于直线x=1轴对称，

，∴图象关于（2022，0）中心对称，B正确，A错误；

又，C正确；

，

则，所以是偶函数，D正确

故选：BCD．

三、填空题

12．________．

【答案】3

【分析】由对数的换底公式计算.

【详解】原式．

故答案为：3.

13．已知是定义在R上的奇函数，时，则_______．

【答案】

【分析】结合对数函数性质由奇函数的定义求值．

【详解】，

，

故答案为：．

14．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为________．

【答案】

【分析】由不等式的解集得相应二次方程的根，由根与系数关系得的关系，并由不等式解集形式得的正负，代入不等式后可求解．

【详解】由题意且，所以，，

不等式为，，解得．

故答案为：．

15．已知函数，正数a，b满足：则的最小值为___________．

【答案】

【分析】由已知函数可得对称中心，由对称中心的性质可得的关系，用基本不等式解得最小值.

【详解】，

，

即，所以关于点成中心对称，正数a，b满足：，所以，，，2=，当且仅当时，等号成立.

所以的最小值为.

故答案为：

四、解答题

16．已知集合，．

(1)时，求及；

(2)若时，求实数a的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）先求出集合，，，然后结合集合的交、并运算求解即可；

（2）由，得，然后结合集合的包含关系对B是否为空集进行分讨论，即可求解．

【详解】（1）∵由，得

由题可知

∴或

∴

∴；

（2）∵，

∴

分两种情况考虑：

时，，解得：

时，则，解得：

所以a的取值范围为．

17．已知二次函数满足，且．

(1)求的解析式；

(2)若，解不等式．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）设，由恒等式知识和函数值的定义列方程组求得，得函数解析式；

（2）不等式变形后，按两根大小分类讨论可得不等式解集．

【详解】（1）由于是二次函数，可设，恒成立，恒成立，，又，，；

（2）由可知：  （a>0）

，

①=2时，即a=，原不等式即为：，所以；

②<2时，即a>，原不等式解集为；

③2<时，即0，原不等式解集为．

18．某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本，当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）.通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产该商品能全部销售完.

（1）写出年利涧L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；

（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

【答案】（1）L(x)＝  （2）100

【分析】（1）分别求出0<x<80、x≥80时L(x)的解析式，最后用分段函数表示即得解；

（2）分别借助二次函数的最值和均值不等式求出0<x<80、x≥80时L(x)的最大值，比较即可得到答案.

【详解】（1）当0<x<80，x∈N*时，

L(x)＝x2－10x－250

＝x2＋40x－250，

当x≥80，x∈N*时，

L(x)＝－51x－＋1 450－250

＝1 200－，

∴L(x)＝.

（2）当0<x<80，x∈N*时，

L(x)＝(x－60)2＋950，

∴当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950，

当x≥80，x∈N*时，

L(x)＝1 200－≤1 200－2

＝1 200－200＝1 000，

∴当x＝，即x＝100时，

L(x)取得最大值L(100)＝1 000>950，

综上所述，当x＝100时，L(x)取得最大值1 000，

即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．

19．已知.

(1)求函数f（x）的表达式；

(2)判断函数f（x）的单调性；

(3)若对恒成立，求k的取值范围．

【答案】(1)

(2)在R上是增函数

(3)

【分析】（1）设，得，代入已知式后，再把换成即得；

（2）由单调性的定义证明；

（3）设，，由（2）知，原不等式可化为在恒成立，求出左边的最小值即得．

【详解】（1）设，，可得.

，即

（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，

，

∵，∴，，

∴∴，

∴为R上的增函数．

（3）由对恒成立，

即对恒成立，

可得 ，

则 ，

，

.

设，，由（2）知，

故原不等式可化为在恒成立，

，

当时， ，∴，

∴的取值范围是．

【点睛】方法点睛：解决函数不等式恒成立问题的方法一般是转化为求函数的最值，一种方法是直接求函数最值，然后解最值满足的不等式得参数范围，另一种方法是分离参数，转化为求没有参数的函数的最值，从而得参数范围．