河北省衡水中学2017届高三押题卷（III卷）文数试题

2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题

文科数学（Ⅲ）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则为（    ）

A．         B．       C．       D．

2．已知是虚数单位，，且的共轭复数为，则在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限         B．第二象限       C．第三象限       D．第四象限

3．已知平面向量，的夹角为，且，，则（    ）

A．1         B．       C．2        D．

4．已知命题：“关于的方程有实根”，若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（    ）

A．         B．       C．         D．

5．已知实数，满足则的最小值为（    ）

A．0         B．       C．         D．

6．若表示不超过的最大整数，则图中的程序框图运行之后输出的结果为（    ）

A．48920         B．49660       C．49800         D．51867

7．数列满足，（），则（    ）

A．         B．       C．         D．

8．《中国诗词大会》的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（    ）

A．2         B．4       C．5         D．6

9．某几何体的正视图和侧视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形（如图（2）），其中，，则该几何体的侧面积及体积为（    ）

A．24，         B．32，       C．48，         D．64，

10．已知函数（）的最小正周期为，且，则（    ）

A．         B．       C．         D．

11．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且（），，双曲线的离心率为，则（    ）

A．         B．       C．         D．

12．已知函数若关于的方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ）

A．         B．       C．         D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．在锐角中，角，所对的边长分别为，，若，则         ．

14．如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于          ．

15．若，都是正数，且，则的最小值为          ．

16．已知函数若函数有3个零点，则实数的取值范围是          ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．在中，角，，的对边分别是，，，且.

（1）求角的大小；

（2）已知等差数列的公差不为零，若，且，，成等比数列，求的前项和.

18．如图，将直角三角形绕直角边旋转构成圆锥，四边形是的内接矩形，为母线的中点，.

（1）求证：平面；

（2）当时，求点到平面的距离.

19．在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：

表一：男生

表二：女生

（1）从表二的非优秀学生中随机抽取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；

（2）由表中统计数据填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.

参考公式：，其中.

参考数据：

20．已知椭圆：（）的上、下两个焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为8，椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知为坐标原点，直线：与椭圆有且仅有一个公共点，点，是直线上的两点，且，，求四边形面积的最大值.

21．已知函数（，）.

（1）如果曲线在点处的切线方程为，求，的值；

（2）若，，关于的不等式的整数解有且只有一个，求的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点、轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，圆的极坐标方程为.

（1）求直线被圆截得的弦长；

（2）若的坐标为，直线与圆交于，两点，求的值.

23．选修4-5：不等式选讲

已知（为常数）.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若的值域为，且，求实数的取值范围.

文科数学（Ⅲ）答案

一、选择题

1-5:DAABD       6-10:CDBCB      11、12：BA

二、填空题

13．          14．           15．           16．

三、解答题

17．解：（1）由正弦定理可得，从而可得，即.

又为三角形的内角，所以，于是，

又为三角形的内角，所以.

（2）设的公差为，因为，且，，成等比数列，所以，且，

所以，且，解得，

所以，所以，

所以.

18．（1）证明：因为四边形为矩形，所以连接，则与相交于圆心.

连接，因为，分别为，的中点，

所以.

又平面，平面，

所以平面.

（2）解：当时，，所以，所以是等边三角形.

连接，则，易求得，又，，所以，

所以.

又点到平面的距离，，点到平面的距离，所以点到平面的距离为.

19．解：（1）设从高一年级男生中抽出人，则，，则从女生中抽取20人，

所以，.

表二中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为，，，尚待改进的2人为，，则从这5人中任选2人的所有可能结果为，，，，，，，，，，共10种，

设事件表示“从表二的非优秀学生中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则的结果为，，，，，，共6种，所以，即所求概率为.

（2）列联表如下：

因为，，

而，所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.

20．解：（1）因为的周长为8，所以，所以.又因为，所以，所以，

所以椭圆的标准方程为.

（2）将直线的方程代入到椭圆方程中，得.

由直线与椭圆仅有一个公共点，知，化简得.

设，，

所以，

，

所以

.

因为四边形的面积，

所以

.

令（），则

，

所以当时，取得最大值为16，故，即四边形面积的最大值为4.

21．解：（1）函数的定义域为，

.

因为曲线在点处的切线方程为，

所以得解得

（2）当时，（），

关于的不等式的整数解有且只有一个，

等价于关于的不等式的整数解有且只要一个.构造函数，，所以.

①当时，因为，，所以，又，所以，所以在内单调递增.

因为，，所以在上存在唯一的整数使得，即.

②当时，为满足题意，函数在内不存在整数使，即在上不存在整数使.

因为，所以.

当时，函数，所以在内为单调递减函数，所以，即；

当时，，不符合题意.

综上所述，的取值范围为.

22．解：（1）将直线的参数方程化为普通方程可得，而圆的极坐标方程可化为，化为普通方程可得，

圆心到直线的距离为，

故直线被圆截得的弦长为.

（2）把代入，可得

.（*）

设，是方程（*）的两个根，则，

故.

23．解：（1）由可得，即.（*）

①当时，（*）式可化为，解之得，所以；

②当时，（*）式可化为，即，所以；

③当时，（*）式可化为，解之得，所以.

综上知，实数的取值范围为.

（2）因为，所以，

由条件只需即，

解之得，即实数的取值范围是.