河北省衡水中学2017届高三押题卷（I卷）文数试题

2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题

文科数学（Ⅰ）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则=（    ）

A．         B．       C．       D．

2．已知为虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则的取值范围为（    ）

A．          B．       C．       D．

3．下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（    ）

A.             B．             C.           D．

4．已知双曲线：与双曲线：，给出下列说法，其中错误的是（    ）

A.它们的焦距相等                   B．它们的焦点在同一个圆上

C.它们的渐近线方程相同             D．它们的离心率相等

5．某学校上午安排上四节课，每节课时间为40分钟，第一节课上课时间为，课间休息10分钟.某学生因故迟到，若他在之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率为（    ）

A．         B．       C．         D．

6．若倾斜角为的直线与曲线相切于点，则的值为（    ）

A．         B．1       C．         D．

7．在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的（    ）

A．充分不必要条件               B．必要不充分条件

C．充要条件                      D．既不充分也不必要条件

8．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（    ）

A.1009         B．-1009         C.-1007        D．1008

9．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A．              B．          C．       D．

10．已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（    ）

A．            B．             C.                D．

11．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（    ）

A.         B．

C.         D．

12．已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（    ）

A．         B．       C．         D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．已知，，若向量与共线，则          ．

14．已知实数，满足不等式组目标函数，则的最大值为          ．

15．在中，角，，的对边分别为，，，是与的等差中项且，的面积为，则的值为          ．

16．已知抛物线：的焦点是，直线：交抛物线于，两点，分别从，两点向直线：作垂线，垂足是，，则四边形的周长为          ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．已知函数（），数列的前项和为，点在图象上，且的最小值为.

（1）求数列的通项公式；

（2）数列满足，记数列的前项和为，求证：.

18．如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为的垂心.

（1）求证：平面平面；

（2）若，点在线段上，且，求三棱锥的体积.

19．2017高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.

（1）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）若高三年级共有2000名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数；

（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率.

20．已知椭圆：的长轴长为，且椭圆与圆：的公共弦长为.

（1）求椭圆的方程.

（2）经过原点作直线（不与坐标轴重合）交椭圆于，两点，轴于点，点在椭圆上，且，求证：，，三点共线..

21．已知函数，（，为自然对数的底数）.

（1）试讨论函数的极值情况；

（2）证明：当且时，总有.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆交于，两点.

（1）求圆的直角坐标方程及弦的长；

（2）动点在圆上（不与，重合），试求的面积的最大值.

23.选修4-5：不等式选讲.

已知函数.

（1）求函数的值域；

（2）若，试比较，，的大小.

文科数学（Ⅰ）参考答案

一、选择题

1-5:DBDDA       6-10:DDBCC      11、12：DB

二、填空题

13．          14．1           15．           16．

三、解答题

17．（1）解：，

故的最小值为.

又，所以，即.

所以当时，；

当时，也适合上式，

所以数列的通项公式为.

（2）证明：由（1）知，

所以，

所以.

18．（1）证明：（1）如图，延长交于点.

因为为的重心，所以为的中点.

因为为的中点，所以.

因为是圆的直径，所以，所以.

因为平面，平面，所以.

又平面，平面，，所以平面.

即平面，又平面，

所以平面平面.

（2）解：由（1）知平面，

所以就是点到平面的距离.

由已知可得，，

所以为正三角形，

所以.又点为的重心，

所以.

故点到平面的距离为.

所以.

19．解：（1）由频率分布直方图可得第4组的频率为，

故.

故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为

（分）.

由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，故中位数在第3组中.

设中位数为分，

则有，所以，

即所求的中位数为分.

（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为，

由以上样本的频率，可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为.

（3）由（1）可知，后三组中的人数分别为15,10,5，故这三组中所抽取的人数分别为3,2,1.记成绩在这组的3名学生分别为，，，成绩在这组的2名学生分别为，，成绩在这组的1名学生为，则从中任抽取3人的所有可能结果为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种.

其中后两组中没有人被抽到的可能结果为，只有1种，

故后两组中至少有1人被抽到的概率为.

20．（1）解：由题意得，则.

由椭圆与圆：的公共弦长为，

其长度等于圆的直径，

可得椭圆经过点，

所以，解得.

所以椭圆的方程为.

（2）证明：设，，则，.

因为点，都在椭圆上，所以

所以，

即.

又，

所以，

即，

所以

所以

又，

所以，

所以，，三点共线.

21．（1）解：的定义域为，

.

①当时，，故在内单调递减，无极值；

②当时，令，得；

令，得.

故在处取得极大值，且极大值为，无极小值.

（2）当时，.

设函数，

则.记，

则.

当变化时，，的变化情况如下表：

由上表可知，

而，

由，知，

所以，

所以，即.

所以在内为单调递增函数.

所以当时，.

即当且时，.

所以当且时，总有.

22．解：（1）由得，

所以，

所以圆的直角坐标方程为.

将直线的参数方程代入圆，并整理得，

解得，.

所以直线被圆截得的弦长为.

（2）直线的普通方程为.

圆的参数方程为（为参数），

可设圆上的动点，

则点到直线的距离.

当时，取最大值，且的最大值为，

所以，

即的面积的最大值为.

23. 解：（1）

根据函数的单调性可知，

当时，.

所以函数的值域.

（2）因为，所以，所以.

又，

所以

由，知，，

所以，

所以，

所以.