高考数学一轮复习课时质量评价24函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单应用含答案

课时质量评价(二十四)

A组　全考点巩固练

1．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω和φ的值可以是(　　)

A．ω＝，φ＝   B．ω＝，φ＝－

C．ω＝1，φ＝   D．ω＝1，φ＝－

A　解析：由函数的图象可知：T＝4×＝4π，T＝，所以ω＝．

函数的图象过，所以0＝sin，所以φ＝．

2．(2021·张家口三模)为了得到函数f(x)＝sinx＋cosx的图象，可以将函数g(x)＝cosx的图象(　　)

A．向右平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向左平移个单位长度

A　解析：因为f(x)＝sinx＋cosx＝cos＝cos，

所以将函数g(x)＝cosx的图象向右平移个单位长度，可得f(x)的图象．

3．已知函数f(x)＝cos(2x＋θ)的图象关于点对称，为了得到函数y＝sin 2x的图象，只需要将函数f(x)的图象(　　)

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

B　解析：由题意得f＝cos＝0，则＋θ＝＋kπ(k∈Z)，得θ＝－＋kπ(k∈Z)，由于<，所以θ＝－，

f(x)＝cos＝sin＝sin＝sin 2，故将f(x)＝sin 2的图象向右平移个单位长度后可得函数y＝sin 2x的图象．

4．(2022·新余二模)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的图象如图所示，为了得到y＝cos ωx的图象，只需把y＝f(x)的图象上所有点(　　)

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

A　解析：根据函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的图象，

可得·＝－，所以ω＝2．

再根据五点法作图，可得2×＋φ＝，所以φ＝－，故f(x)＝cos．

为了得到y＝cos 2x的图象，只需把y＝f(x)的图象上所有点向左平移个单位长度．

5．把函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数f(x)的图象，则(　　)

A．f(x)＝2sin＋1

B．f(x)的最小正周期为2π

C．f(x)的图象关于直线x＝对称

D．f(x)在上单调递减

D　解析：将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度得到y＝2sin 2＝2sin的图象，

再向上平移1个单位长度可得到f(x)＝2sin＋1的图象，故A，B错误．

令2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝－＋，k∈Z，当k＝0时，x＝－；当k＝1时，x＝π，故C错误．

令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，求得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

所以，f(x)在上单调递减，故D正确．

6．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离为，最大值为2，将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)的图象，若g(x)为偶函数，则φ＝(　　)

A．－   B．－ 

C．   D．

C　解析：因为f(x)相邻两条对称轴之间的距离为，最大值为2，

所以A＝2，＝，即T＝π，则＝π，得ω＝2，则f(x)＝2sin(2x＋φ)．

将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)的图象，

则g(x)＝2sin＝2sin．

若g(x)为偶函数，则＋φ＝kπ＋，k∈Z，

则φ＝kπ＋，k∈Z．

因为|φ|＜，所以当k＝0时，φ＝．

7．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图，则f ＝________．

　解析：由题意可知T＝，所以ω＝2，函数的解析式为f(x)＝Atan(2x＋φ)．因为函数过，所以0＝Atan又|φ|<，所以φ＝．

因为函数图象经过点(0,1)，所以，1＝Atan，所以A＝1，所以f(x)＝tan，

则f ＝tan＝．

8．若函数f(x)＝sin(ω>0)满足f(0)＝f ，且函数在上有且只有一个零点，则f(x)的最小正周期为________．

π　解析：因为f(0)＝f ，所以x＝是f(x)图象的一条对称轴，所以f ＝±1，所以×ω＋＝＋kπ，k∈Z，

所以ω＝6k＋2，k∈Z，所以T＝(k∈Z)．

又f(x)在上有且只有一个零点，所以<≤－，所以<T≤，

所以<≤(k∈Z)，所以－≤k<．又因为k∈Z，所以k＝0，所以T＝π．

B组　新高考培优练

9．(多选题)将函数y＝sin 2x＋cos 2x＋1的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则(　　)

A．函数g(x)的最小正周期为

B．函数g(x)的图象关于点对称

C．函数g(x)在区间内单调递增

D．函数g(x)的图象关于直线x＝对称

AD　解析：将函数y＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin＋1 的图象向右平移个单位长度，可得y＝2sin＋1＝2sin＋1 的图象；

再将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，

得到函数g(x)＝2sin＋1的图象，

则函数g(x)的最小正周期为＝，故A正确．

令x＝－，求得sin＝－≠0，g(x)＝0，故函数g(x)的图象不关于点对称，故B错误．

在区间内，4x＋∈，函数g(x)没有单调性，故C错误．

令x＝，求得g(x)＝3，为最大值，故函数g(x)的图象关于直线x＝对称，故D正确．

10．已知函数f(x)＝Asin的部分图象如图所示，其中Q，R是与函数的极大值P相邻的两个极小值点，且△PQR为正三角形，则函数y＝f(x)在区间上的值域为(　　)

A．[，2]   B．

C．   D．[－2，2]

A　解析：由图可知点P为“五点法”作图中的第二点，所以×1＋φ＝，即φ＝．又ω＝，所以周期T＝＝8，所以正三角形PQR的边长为8，所以2A＝×8，

所以A＝2，所以f(x)＝2sin．

由x∈，得x＋∈，

所以当x＋＝，即x＝1时，f(x)取得最大值2．

当x＋＝，即x＝－时，f(x)取得最小值，

所以函数y＝f(x)在区间上的值域为[，2]．

11．京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为(　　)

A．10分钟   B．12分钟

C．14分钟   D．16分钟

B　解析：如图所示，

解法一　转动的角速度为＝，计算OC＝44－(34－12)＝22，所以∠BOC＝，

所以最佳观赏期的圆心角为2π－＝，

在运行的一圈里最佳观赏时长为＝12(分钟)．

解法二　转动的角速度为＝，所以点P从最下端开始运动，运行中到地面距离为f(t)＝44sin＋56(0≤t≤18)，

令f(t)≥34，得sin≥－，解得－≤t－≤，

即3≤t≤15，所以最佳观赏时长为15－3＝12(分钟)．

12．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜2π)的部分图象，则该函数图象与直线y＝的交点个数为(　　)

A．8 083   B．8 084

C．8 085   D．8 086

C　解析：根据函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜2π)的部分图象，

可得A＝1，·＝＋，所以ω＝2π，周期为1．

结合五点法作图可得－×2π＋φ＝0，求得φ＝π，故函数为y＝sin(2πx＋π)＝－sin 2πx．

除了原点外，函数y＝－sin 2πx的图象在每一个周期上，它和直线y＝都有2个交点．

当x＝2 021时，函数y＝－sin 2πx＝0，＝1，

故函数y＝－sin 2πx的图象和直线y＝在区间(0，2 021]上有2×2 021＝4 042个交点．

当x＝－2 021时，函数y＝－sin 2πx＝0，＝－1，

故函数y＝－sin 2πx的图象和直线y＝在区间[－2 021，0)上有2×2 021＝4 042个交点．则该函数图象与直线y＝的交点个数为4 042＋1＋4 042＝8 085．

13．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________．

　解析：由题图可知，＝－＝，则T＝π，ω＝2．

又＝，所以f(x)的图象过点，即sin＝1，所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z．

又|φ|<，可得φ＝，所以f(x)＝sin．

由f(x1)＝f(x2)，x1，x2∈，可得x1＋x2＝－＋＝，

所以f(x1＋x2)＝f ＝sin＝sin＝．

14．(2021·全国甲卷(理))已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则满足条件·>0的最小正整数x为__________．

2　解析：由函数图象可知T＝－＝，

所以T＝π，ω＝2，所以f(x)＝2cos (2x＋φ)．

因为f ＝2cos ＝0，

且函数f(x)的图象在 x＝附近呈下降趋势，所以 ＋φ＝2kπ＋，k∈Z，

所以φ＝2kπ－，k∈Z．

不妨取φ＝－，可得 f(x)＝2cos ，

因此 f ＝2cos ＝1，f ＝2cos ＝0．原不等式可化为[f(x)－1]f(x)>0，解得f(x)<0或f(x)>1．函数f(x)＝2cos 的图象如图．

当f(x)＝1时，cos ＝，x取得最小正数时， 2x－＝，解得x＝．当f(x)＝0时，令 2x－＝，解得 x＝．因为 <1<，所以x＝1不符合题意．又x取最小正整数，所以当x＝2时，易得不等式成立．故x＝2．