高考数学一轮复习课时质量评价27平面向量基本定理及坐标表示含答案

课时质量评价(二十七)

A组　全考点巩固练

1．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为(　　)

A．(2,0)    B．(－3,6)

C．(6,2)   D．(－2,0)

A　解析：因为＝＋＝－3a＝(5，－6)－3(1，－2)＝(2,0)，所以点N的坐标为(2,0)．

2．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的(　　)

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

A　解析：由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6．当m＝－6时，a＋b＝(2，－4)＝－2(－1,2)，可得a∥(a＋b)，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件．

3．如图，在△ABC中，BE是边AC的中线，O是边BE的中点．若＝a，＝b，则＝(　　)

A．a＋b   B．a＋b

C．a＋b   D．a＋b

B　解析：因为在△ABC中，BE是AC边上的中线，所以＝．因为O是BE边的中点，所以＝(＋)，所以＝＋．又因为＝a，＝b，所以＝a＋b．

4．如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)

A．   B． 

C．   D．2

B　解析：以A为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，设正方形边长为1，由此，＝(1,1)，＝，＝(－1,1)，故1＝λ－μ，1＝λ＋μ，解得λ＝，μ＝，λ＋μ＝．

5．(2022·河南新乡三模)设向量e1，e2是平面内的一组基底，若向量a＝－3e1－e2与b＝e1－λe2共线，则λ＝(　　)

A．   B．－ 

C．－3    D．3

B　解析：因为a与b共线，所以存在μ∈R，使得a＝μb，即－3e1－e2＝μ(e1－λe2)．故μ＝－3，－λμ＝－1，解得λ＝－．故选B．

6．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝．若a∥b，则锐角θ＝(　　)

A．   B． 

C．   D．

B　解析：因为a∥b，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×＝0，得sin2θ＝，所以sin θ＝±，故锐角θ＝．

7．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则2x－y＝________．

9　解析：由平面向量基本定理可知解得故2x－y＝9．

8．(2021·福建三明模拟)如图，在△ABC中，已知－＝，点P在线段BN上．若＝λ＋，则实数λ的值为________．

　解析：－＝可化为＝，即＝．因为＝λ＋，所以＝λ＋．由B，P，N三点共线可得λ＝．

9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设＝a，＝b，试以a，b为基底表示向量，，．

解：因为AD∥BC，AD＝BC，E，F分别为线段AD，BC的中点，所以AE＝ED＝BC，BF＝FC＝BC，所以＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a，

＝＋＝－b＋＝b－a，

＝＋＝－b－＝a－b．

10．如图，向量与的夹角为120°，||＝2，||＝1，P是以O为圆心，||为半径的弧上的动点．若＝λ＋μ，求λμ的最大值．

解：建立如图所示的平面直角坐标系，

设P(cos θ，sin θ)，则＝(cos θ，sin θ)，＝(2,0)，＝．

因为＝λ＋μ，所以(cos θ，sin θ)＝，即

所以

所以λμ＝cosθ·sin θ＋sin θ·sin θ＝sin 2θ＋sin2θ＝sin 2θ－cos 2θ＋＝sin＋≤．当且仅当2θ－＝，即θ＝时，取等号．

所以λμ的最大值为．

B组　新高考培优练

11．(多选题)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)．若点A，B，C能构成三角形，则实数m的值可以是(　　)

A．－2    B． 

C．1    D．－1

ABD　解析：若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，A，B，C三点即可构成三角形，故选ABD．

12．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．若E为AF的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)

A．   B． 

C．   D．

D　解析：以E为坐标原点，EF所在直线为x轴，ED所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，

设|EF|＝1，又E为AF的中点，

所以E(0,0)，G(1,1)，A(－1,0)，B(1，－1)，D(0,2)，则＝(1,1)，＝(2，－1)，＝(1,2)．

由＝λ＋μ，得(1,1)＝λ(2，－1)＋μ(1,2)．

所以解得则λ＋μ＝．故选D．

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，原点O是正八边形P1P2P3…P8的中心，P1P8⊥x轴，若坐标轴上的点M(异于O点)满足＋i＋j＝0(其中1≤i≤8,1≤j≤8且i，j∈N*)，则满足以上条件的点M的个数为(　　)

A．2　　   B．4 

C．6　   D．8

D　解析：分以下两种情况讨论：

①若点M在x轴上，则Pi，Pj(1≤i≤8,1≤j≤8, i，i∈N*)关于x轴对称，

由题图可知，P1与P8，P2与P7，P3与P6，P4与P5，关于x轴对称，此时，符合条件的点M有4个；

②若点M在y轴上，则Pi，Pj(1≤i≤8,1≤j≤8，i，j∈N*)关于y轴对称，

由题图可知，P1与P4，P2与P3，P5与P8，P6与P7关于y轴对称，此时，符合条件的点M有4个．

综上所述，满足题中条件的点M的个数为8．故选D．

14．已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|a－b|＝|a＋b－c|＝1，则|c|的最大值M＝________，|c|的最小值m＝__________．

＋1　－1　解析：因为|a|＝|b|＝|a－b|＝1．所以a，b，a－b可构成等边三角形，且|a＋b|＝．因为|a＋b－c|＝1，所以如图所示，c的终点在以a＋b的终点为圆心、半径为1的圆上，故M＝＋1，m＝－1．

15．在矩形ABCD中，AB＝，BC＝，P为矩形内一点，且AP＝．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的最大值为_________．

　解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)，B(，0)，C(，)，D(0，)．

因为AP＝，所以x2＋y2＝，点P满足的约束条件为因为＝λ＋μ(λ，μ∈R)，所以(x，y)＝λ(，0)＋μ(0，)．所以所以x＋y＝λ＋μ．因为x＋y≤＝＝，当且仅当x＝y时取等号，所以λ＋μ的最大值为．

16．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．

(1)若＋＋＝0，求||；

(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n．

解：(1)因为＋＋＝0，＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)，

所以解得即＝(2,2)，

故||＝2．

(2)因为＝m＋n，＝(1,2)，＝(2,1)，

所以(x，y)＝(m＋2n,2m＋n)，即

两式相减，得m－n＝y－x．

17．经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q．设＝m，＝n，m，n∈(0，＋∞)，求m＋n的最小值．

解：设＝a，＝b，由题意知＝×(＋)＝(a＋b)，

＝－＝nb－ma，＝－＝a＋b．

由P，G，Q三点共线得，存在实数λ，使得＝λ，即nb－ma＝λa＋λb，

从而消去λ得＋＝3，于是m＋n＝(m＋n)＝≥(2＋2)＝．当且仅当m＝n＝时，m＋n取得最小值．