湖南省衡阳市名校协作体2023届高三全真模拟适应性考试数学试题（含答案）

湖南省衡阳市名校协作体2023届高三全真模拟适应性考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数满足，则（    ）

A． B．

C． D．

3．的展开式中的常数项是（    ）

A．  B．20 C．  D．160

4．两千多年前，我国首部数学专著《九章算术》是数学的瑰宝，世人惊叹祖先的智慧.其中早就提出了宛田（扇形面积）的计算方法：“以径乘周，四而一”（意思是说直径与弧长乘积的四分之一），已知扇形的圆心角为，弧长为，且，则它的面积为（    ）

A． B． C． D．

5．我国是一个人口大国，产粮､储粮是关系国计民生的大事.现某储粮机构拟在长100米，宽80米的长方形地面建立两座完全相同的粮仓（设计要求：顶部为圆锥形，底部为圆柱形，圆锥高与底面直径为，粮仓高为50米，两座粮仓连体紧靠矩形一边），已知稻谷容重为600千克每立方米，粮仓厚度忽略不计，估算两个粮仓最多能储存稻谷（    ）（取近似值3）

A．105000吨 B．68160吨 C．157000吨 D．146500吨

6．已知函数的一条对称轴为，一个对称中心为.则当取最小整数时，函数在内极值点的个数为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

7．已知椭圆的左､右焦点分别为、，过作直线与椭圆相交于、两点，，且，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

8．若曲线与有三条公切线，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．在棱长为1的正方体中，点为线段的中点，则（    ）

A．异面直线与所成角为

B．面

C．

D．点到平面的距离为

10．已知函数，则（    ）

A．在上最大值为2

B．有两个零点

C．的图像关于点对称

D．存在实数，使的图像关于原点对称

11．已知抛物线的顶点为，准线为，焦点为，过作直线交抛物线于两点（顺序从左向右），则（    ）

A．

B．若直线经过点，则

C．的最小值为1

D．若，则直线的斜率为

12．已知是方程的两根，为无理数，则（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

13．小张､小李参加满分为50分（只取整数）的岗上技能测试，小张的六次成绩从小到大分别为；小李的六次成绩从小到大分别为，只知小张的六次成绩的第50百分位数等于小李的六次成绩的第80百分位数，则__________.

14．已知公共点为的圆和圆均与轴相切，且与直线均相切于第一象限，两圆的半径之和为4，则直线的方程为__________.

15．若是函数的极小值点，则的取值范围为__________.

16．在平面四边形中，，沿对角线将折起，使平面平面，得到三棱锥，则三棱锥外接球表面积的最小值为__________.

四、解答题

17．在中，角的对边分别为

(1)求角；

(2)已知边的中点为，且，求面积的最大值.

18．已知正项数列的前项和为，且对任意，成等差数列，又正项等比数列的前项和为，.

(1)求数列和的通项公式；

(2)若数列满足，是否存在正整数，使.若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.

19．如图，直三棱柱中，是棱的中点，棱上的点满足，棱上的点满足.

(1)证明：；

(2)若与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

20．某区在高中阶段举行的物理实验技能操作竞赛分基本操作与技能操作两步进行，第一步基本操作：每位参赛选手从类7道题中任选4题进行操作，操作完后正确操作超过两题的（否则终止比赛），才能进行第二步技能操作：从类5道题中任选3题进行操作，直至操作完为止.类题操作正确得10分，类题操作正确得20分.以两步总分和决定优胜者.总分80分或90分为二等奖，100分为一等奖.某校选手李明类7题中有5题会操作，类5题中每题正确操作的概率均为，且各题操作互不影响.

(1)求李明被终止比赛的概率；

(2)现已知李明类题全部操作正确，求李明类题操作完后得分的分布列及期望；

(3)求李明获二等奖的概率.

21．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点

(1)求双曲线的离心率及方程；

(2)已知点，点，过点的直线与双曲线交于两点，是否为常数？若为常数，求出此常数及的值；若不为常数，请说明理由.

22．已知函数.

(1)求函数的最大值；

(2)当时，证明：.

参考答案：

1．C

2．A

3．C

4．A

5．A

6．B

7．D

8．A

9．BC

10．AC

11．ABD

12．ABC

13．

14．

15．

16．

17．(1)

(2).

18．(1)，

(2)不存在，理由见解析

19．(1)证明见解析

(2)

20．(1)

(2)分布列见解析，

(3)

21．(1)，

(2)存在，得为常数.

22．(1)

(2)证明见解析