2023届高三数学二轮复习大题强化训练08含解析

这是一份2023届高三数学二轮复习大题强化训练08含解析，共17页。试卷主要包含了在下列条件，8223；分布列见解析，，已知．等内容，欢迎下载使用。
2023届大题强化训练(8)1.在下列条件：①数列{an}的任意相邻两项均不相等，且数列{an2－an}为常数列，②(n∈N*)，③a3＝2，(n≥2，n∈N*)中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，        ．(1)求数列{an}的通项公式an和前n项和Sn；(2)设(k∈N*)，数列{bn}的前n项和记为Tn，证明Tn＜(n∈N*)．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析.【解析】(1)若选①数列{an2－an}为常数列，则有an2－an＝，所以有，因数列{an}的任意相邻两项均不相等，于是有，(n∈N*)，所以有，(n≥2，n∈N*)，两式相减得(n≥2，n∈N*)，即有a1＝a3，a2＝a3，a3＝a5，又a1＝2，在，(n≥2，n∈N*)中令n＝1得a2＝－1，即数列：2，－1，2，－1，……所以．也可以写成由得(n∈N*)．∵数列：2，－1，2，－1，……∴，(n∈N*)，∴Sn＝，(n＝2k，n∈N*)，Sn＝(n＝2k＋1，n∈N*)，又也适合，即：(2)∵数列：2，－1，2，－1，…∴，(n∈N*)，于是(n∈N*)，∴．(1－)＝－(＋)＜，即Tn＜(n∈N*)成立．若选②由(n∈N*)得，两式相减得(n∈N*)，所以有(n≥2，n∈N*)，两式相减得(n≥2，n∈N*)，又，所以，即数列：2，－1，2，－1，……下同上述解法若选③由(n≥2，n∈N*)得(n≥3，n∈N*)两式相减得，得(n≥3，n∈N*)，即有，…又由(n≥2，n∈N*)得(n≥2，n∈N*)，当n＝2时，又，得，又，即数列：2，－1，2，－1，……下同上述解法2.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanA=.（1）若a=，c=，求b的值；（2）若角A平分线交BC于点D，，a=2，求的面积.【答案】（1）b=4；（2）.【解析】（1）因为tanA=，且，所以， 所以cosA=，由余弦定理得，所以，所以，解得b=4或b=﹣1(舍)，（2）因为，所以，所以，所以，因为∠CAD=∠BAD，所以，即，又因为a=2，由余弦定理得，解得，所以，所以.3.如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，平面平面ABC，M是棱的中点.(1)证明：平面；(2)若四棱锥的体积为，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】（1）连接交于N，连接MN.在三棱柱中，四边形平行四边形，又，所以N是中点，在中，M是的中点，所以，又面，面，所以平面.（2）法一：取BC的中点O，连接OA，.在中，，O为BC的中点，所以，又面面ABC，面，面面，所以面ABC.在三棱柱中，四边形是平行四边形，因为M是棱的中点，故，又，所以，所以，即，而，所以.以O为坐标原点，OA，OB，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，故，，，，.所以，，设平面的法向量，则，即取，得，所以是平面的一个法向量，设平面的法向量，则，即取，得，所以是平面BMC的一个法向量，所以，设二面角的大小为，由图可知，，所以二面角的余弦值为.4.基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中笔试通过后才能进入面试环节，2021年有3500名学生报考某试点高校，若报考该试点高校的学生的笔试成绩，其分布密度函数，的最大值为，且.笔试成绩高于70分的学生进入面试环节.（1）求μ和σ；（2）从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，求这10人中至少有一人进入面试的概率；（3）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.附：若，则，，，.【答案】（1），；（2）0.8223；（3）分布列见解析，.【解析】（1）的最大值为，解得，由，则.（2）记“至少有一名学生进入面试”为事件A，由（1）知：，，∴，∴，即至少有一名学生进入面试的概率为0.8223.（3）X的可能取值为0，1，2，3，4，，，，，分布列如下：01234∴.5.已知双曲线的焦距为，，为的左、右顶点，点为上异于，的任意一点，满足.(1)求双曲线的方程；(2)过的右焦点且斜率不为0的直线交于两点，，在轴上是否存在一定点，使得为定值？若存在，求定点的坐标和相应的定值；若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)存在定点，使得为定值【解析】（1）设，，，则，又因为点在双曲线上，所以.于是，对任意恒成立，所以，即.又因为，，可得，，所以双曲线的方程为.（2）设直线的方程为：，，，由题意可知，联立，消可得，，则有，，假设存在定点，则令，解得，此时，所以存在定点，使得为定值6.已知．(1)若在处的切线的斜率是，求当在恒成立时的的取值范围；(2)设，当时有唯一零点，求a的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】（1），则令，则恒成立，在上单调递增，当时，，即恒成立，在上单调递增，恒成立，的取值范围是（2），①当时在上单调递增，，存在使得，当时，，单调递减，当时，，单调递增又，故存在唯一的使得，满足题意；②当时，由可得，令，则，当时，，故在上单调递增，则，则在上恒成立，故在上无零点．综上所述，a的取值范围是． 
 2023届大题强化训练(8)1.在下列条件：①数列{an}的任意相邻两项均不相等，且数列{an2－an}为常数列，②(n∈N*)，③a3＝2，(n≥2，n∈N*)中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，        ．(1)求数列{an}的通项公式an和前n项和Sn；(2)设(k∈N*)，数列{bn}的前n项和记为Tn，证明Tn＜(n∈N*)．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析.【解析】(1)若选①数列{an2－an}为常数列，则有an2－an＝，所以有，因数列{an}的任意相邻两项均不相等，于是有，(n∈N*)，所以有，(n≥2，n∈N*)，两式相减得(n≥2，n∈N*)，即有a1＝a3，a2＝a3，a3＝a5，又a1＝2，在，(n≥2，n∈N*)中令n＝1得a2＝－1，即数列：2，－1，2，－1，……所以．也可以写成由得(n∈N*)．∵数列：2，－1，2，－1，……∴，(n∈N*)，∴Sn＝，(n＝2k，n∈N*)，Sn＝(n＝2k＋1，n∈N*)，又也适合，即：(2)∵数列：2，－1，2，－1，…∴，(n∈N*)，于是(n∈N*)，∴．(1－)＝－(＋)＜，即Tn＜(n∈N*)成立．若选②由(n∈N*)得，两式相减得(n∈N*)，所以有(n≥2，n∈N*)，两式相减得(n≥2，n∈N*)，又，所以，即数列：2，－1，2，－1，……下同上述解法若选③由(n≥2，n∈N*)得(n≥3，n∈N*)两式相减得，得(n≥3，n∈N*)，即有，…又由(n≥2，n∈N*)得(n≥2，n∈N*)，当n＝2时，又，得，又，即数列：2，－1，2，－1，……下同上述解法2.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanA=.（1）若a=，c=，求b的值；（2）若角A平分线交BC于点D，，a=2，求的面积.【答案】（1）b=4；（2）.【解析】（1）因为tanA=，且，所以， 所以cosA=，由余弦定理得，所以，所以，解得b=4或b=﹣1(舍)，（2）因为，所以，所以，所以，因为∠CAD=∠BAD，所以，即，又因为a=2，由余弦定理得，解得，所以，所以.3.如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，平面平面ABC，M是棱的中点.(1)证明：平面；(2)若四棱锥的体积为，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】（1）连接交于N，连接MN.在三棱柱中，四边形平行四边形，又，所以N是中点，在中，M是的中点，所以，又面，面，所以平面.（2）法一：取BC的中点O，连接OA，.在中，，O为BC的中点，所以，又面面ABC，面，面面，所以面ABC.在三棱柱中，四边形是平行四边形，因为M是棱的中点，故，又，所以，所以，即，而，所以.以O为坐标原点，OA，OB，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，故，，，，.所以，，设平面的法向量，则，即取，得，所以是平面的一个法向量，设平面的法向量，则，即取，得，所以是平面BMC的一个法向量，所以，设二面角的大小为，由图可知，，所以二面角的余弦值为.4.基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中笔试通过后才能进入面试环节，2021年有3500名学生报考某试点高校，若报考该试点高校的学生的笔试成绩，其分布密度函数，的最大值为，且.笔试成绩高于70分的学生进入面试环节.（1）求μ和σ；（2）从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，求这10人中至少有一人进入面试的概率；（3）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.附：若，则，，，.【答案】（1），；（2）0.8223；（3）分布列见解析，.【解析】（1）的最大值为，解得，由，则.（2）记“至少有一名学生进入面试”为事件A，由（1）知：，，∴，∴，即至少有一名学生进入面试的概率为0.8223.（3）X的可能取值为0，1，2，3，4，，，，，分布列如下：01234∴.5.已知双曲线的焦距为，，为的左、右顶点，点为上异于，的任意一点，满足.(1)求双曲线的方程；(2)过的右焦点且斜率不为0的直线交于两点，，在轴上是否存在一定点，使得为定值？若存在，求定点的坐标和相应的定值；若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)存在定点，使得为定值【解析】（1）设，，，则，又因为点在双曲线上，所以.于是，对任意恒成立，所以，即.又因为，，可得，，所以双曲线的方程为.（2）设直线的方程为：，，，由题意可知，联立，消可得，，则有，，假设存在定点，则令，解得，此时，所以存在定点，使得为定值6.已知．(1)若在处的切线的斜率是，求当在恒成立时的的取值范围；(2)设，当时有唯一零点，求a的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】（1），则令，则恒成立，在上单调递增，当时，，即恒成立，在上单调递增，恒成立，的取值范围是（2），①当时在上单调递增，，存在使得，当时，，单调递减，当时，，单调递增又，故存在唯一的使得，满足题意；②当时，由可得，令，则，当时，，故在上单调递增，则，则在上恒成立，故在上无零点．综上所述，a的取值范围是．