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2023届高三数学二轮复习大题强化训练03含解析
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这是一份2023届高三数学二轮复习大题强化训练03含解析,共11页。试卷主要包含了已知正项数列的前n项和为,,已知抛物线,025,879等内容,欢迎下载使用。
2023届大题强化训练(3)1.已知正项数列的前n项和为,.(1)求数列的通项公式;(2)设,数列的前n项和为,证明:.【答案】(1) (2)证明见解析【解析】(1)①,当时,②,①-②得,整理得,,,又当时,,解得,数列是以2为首项,2为公差的等差数列,;(2)由(1)得,,,即.2.学校为了进一步加快推进学生素质教育,丰富学生的课余生活,挖掘学生的动手动脑潜力,学校在高一年级进行了一次“变废为宝”手工作品评比,对参赛作品进行统计得到如下统计表: 不合格合格合计男生120100220女生305080合计150150300(1)运用独立性检验的思想方法判断:能否有99%以上的把握认为性别与作品是否合格有关联?并说明理由;(2)学校为了鼓励更多的同学参与到“变废为宝”活动中来,决定通过3轮挑战赛评选出一些“手工达人”,3轮挑战结束后,至少2次挑战成功的参赛者被评为本学期的“手工达人”.已知某参赛者挑战第一、二、三轮成功的概率分别为,,,求该参赛者在本学期3轮挑战中成功的次数X的概率分布及数学期望.参考公式:,.0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828【答案】(1)有把握,理由见解析 (2)分布列见解析,次【解析】(1)提出假设:性别与作品合格与否无关.,当成立时,,所以有99%的把握认为性别与作品是否合格有关.(2)X的所有可能值分别为0,1,2,3.,,,.故X的概率分布为X0123P,所以参赛者在3轮挑战中成功的次数X的数学期望为次3.在中,内角、、所对的边分别是、、,.(1)若,求;(2)若,求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】(1)因为,因为、,且,所以,且,所以,,所以,,则,即,因为且,所以,且,所以或(舍),故当时,.(2),因为,所以,则,所以,.所以的取值范围为.4.如图,四棱锥中,已知,且与平面所成的角为.(1)证明:;(2)若点为的中点,求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】(1)如图所示,过点作面交面于点,连,延长交于点.因为与底面所成的角为;所以,所以,.因为,则;因为,所以,且 又,所以平面,所以.又是等边三角形,则;则,且,所以四边形为平行四边形,故;所以.(2)因为两两垂直,则以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系.则设平面的一个法向量为,则,解得,令,则即设平面的一个法向量设,则,即,所以所以平面与平面夹角的余弦值为5.已知抛物线:的焦点为,直线交抛物线于两点(异于坐标原点),交轴于点(),且,直线,且与抛物线相切于点.(1)求证:三点共线;(2)过点作该抛物线的切线(点为切点),交于点.(ⅰ)试问,点是否在定直线上,若在,请求出该直线,若不在,请说明理由;(ⅱ)求的最小值.【答案】(1)证明见解析 (2)(ⅰ)点在定直线上;(ⅱ)的最小值为16.【解析】(1)由题可知,设,又,由得,所以,即,所以直线的斜率为,设,由可得,所以直线的斜率为,又,即,所以,得所以,,即,则三点共线.(2)(ⅰ)点在定直线上,理由如下:直线的斜率为,所以直线的方程为即过点的切线斜率为,所以直线的方程为即,交于点,解得因此,点在定直线上.(ⅱ)由(1)知直线的斜率为,方程为,即,联立抛物线方程整理得,所以,所以又因为,所以点到的距离等于点到直线的距离,而到直线的距离为所以而,当且仅当,即时等号成立;所以,即的最小值为16.6.已知函数(其中是自然对数底数).(1)求的最小值;(2)若过点可作曲线的两条切线,求证:.(参考数据:)【答案】(1)1 (2)证明见解析【解析】(1)函数定义域为,
所以在上单调递增,且,所以当时,单调递减;当时,单调递增,.所以.(2)设切点为,则,在处的切线为,由于切线过点,所以,而由(1),在上单调递增,不同的值对应的切线斜率不同设,所以过点可作曲线的两条切线当且仅当关于的方程有两个实根.,①当时,在上单调递减,至多有一个实根,不合题意;②当时,当时,单调递增;当时,单调递减.而时,时,,所以当且仅当时,有两个实根,即当且仅当时,过点可作曲线的两条切线.只需证时,.设,则,当时,单调递减;当时,单调递增,所以,即.(*)设,只需证.1)当时,由,.设,则,当时,单调递减;当时,单调递增;当时,单调递减.而,所以,则.2)当时,,设,则,,所以在上单调递增,,所以在上单调递增,,即,所以在上单调递增,.综上得:原不等式成立
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