初中数学北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定第1课时教学设计

这是一份初中数学北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定第1课时教学设计，共9页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学用具，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。

第1课时
一、教学目标
1.理解正方形的概念，了解它与菱形、矩形、平行四边形之间的关系.
2.探索并证明正方形的性质定理，进一步发展推理能力.
3.会用正方形的性质进行有关的证明与计算.
4.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.
二、教学重难点
重点：理解正方形的概念，掌握正方形的性质定理.
难点：探究证明正方形的性质定理.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
四、教学过程设计
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
环节一
创设情境
【观察思考】
教师活动：提出问题让学生思考后回答，再引出新问题.
问题：观察下列生活中的图形，说一说它们像什么图形？
预设答案：前两个图形像菱形，后两个图形像矩形.
【复习回顾】
问题：我们已经学习了特殊平行四边形中的菱形，你能说一说它是由平行四边形怎么变化而来的吗？
预设答案：平行四边形对边进行特殊化(一组邻边相等)，得到菱形.
追问：矩形又是由平行四边形怎么变化而来的呢？
预设答案：平行四边形对角进行特殊化(有一个角是直角)，得到矩形.
想一想：将平行四边形的边和角同时特殊化，会得到什么样的图形呢？
观察图形，回答问题
思考回答
通过观察图形，引导学生回顾菱形和矩形.
通过复习回顾菱形和矩形是由平行四边形边和角特殊化而来，提出问题如果对边和角同时特殊化，会得到什么图形，引发思考，引出新课.
环节二 探究新知
【观察】
教师活动：通过课件展示几幅图片中都含有平行四边形，观察得到这些平行四边形的共同特征，并通过动画展示一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形，从而给出正方形的定义.
问题：图中的四边形都是特殊的平行四边形. 观察这些特殊的平行四边形，回答问题：

你能发现它们有什么共同特征？
预设答案：每个平行四边形都有一组邻边相等且有一个角是直角.
思考：平行四边形的变化过程，当一组邻边相等且有一个角是直角时，会产生什么图形？

预设答案：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形.
追问：你能给这样的图形下个定义吗？
预设答案：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.(正方形的定义)
师强调：按照正方形的定义必须满足：一组邻边相等且有一个角是直角，四边形是平行四边形.
【议一议】
教师活动：引导学生说一说，矩形和菱形分别添加什么样的条件能变成正方形.
问题1：正方形是矩形吗？是菱形吗？
预设答案：
正方形既是矩形，也是菱形.
问题2：正方形既是矩形，也是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质，你能说一说它的这些性质吗？
预设答案：正方形的性质包括菱形的性质和矩形的性质，菱形和矩形都具有平行四边形的性质，平行四边形的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分;菱形特有的性质：对角线互相垂直，四边相等；矩形特有的性质：对角线相等，四个角是直角.
追问：你能对上面的性质进行概括吗？
预设答案：
性质1：正方形的四个角都是直角，四条边相等.
性质2：正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
你能证明这两个性质吗？
【证明】
已知：如图，四边形ABCD是正方形.
求证：(1)∠BAD=∠ABC =∠BCD=∠ADC = 90°，AB= BC=CD=AD.
(2)AC⊥BD，AC=BD，OA=OB=OC=OD.
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠BAD=90°， AB=AD (正方形的定义).
又∵正方形ABCD是平行四边形.
∴正方形ABCD是矩形(矩形的定义)，
正方形ABCD是菱形(菱形的定义).
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，
AC=BD，OA=OB=OC=OD;AB=BC=CD=AD，AC⊥BD.
【归纳】
正方形的性质
定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等.
定理2：正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
几何语言：
几何语言：
∵四边形ABCD是正方形
∴ ∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°，AB = BC = CD = DA;AC=BD，AO = BO = CO = DO，AC⊥BD.
【想一想】
教师活动：鼓励学生动手操作，画出正方形的对称轴，并交流讨论，最后动画演示.
问题：正方形有几条对称轴？
预设答案：
正方形有4条对称轴，既是轴对称图形，又是中心对称图形.
认真观察、思考并回答问题.
观看动画
举手说一说
认真思考，交流讨论后回答
思考后回答
熟悉证明过程
熟悉正方形的性质及其几何语言
动手操作，交流后回答
观察三幅图片中的特殊平行四边形，找出它们的共同特征，为引出正方形的定义打下基础.
借助动态演示，让学生直观感知边与角同时特殊化带来平行四边形的改变.体会正方形是平行四边形的边与角同时特殊化后的产物，自然引出正方形的定义.
引导学生思考正方形与菱形、矩形的关系，从而得出正方形的性质.
通过说出平行四边形、菱形、矩形的性质，概括得出正方形的两个性质.
通过归纳进一步熟悉正方形的性质，培养归纳概括能力.
正方形是特殊的矩形和菱形，通过想一想环节，让学生体会到正方形的特殊性，两条对角线是对称轴，两条过对边中点的连线也是对称轴.
环节三 应用新知
【典型例题】
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由.
分析：
(1)由正方形的性质可得，BC=CD，∠BCE=90°，从而∠DCF=90°.
由CE = CF，可证△BCE≌△DCF.
从而得证BE = DF.(2)延长 BE 交 DF 于点 M.由(1)知△BCE ≌ △DCF，得到∠CBE = ∠CDF，再由∠CDF与∠F互余，
可得∠CBE与∠F互余，最后得证BE ⊥ DF.
解：BE = DF， 且 BE⊥DF. 理由如下：
(1)∵四边形 ABCD 是正方形.
∴BC = DC，∠BCE = 90°(正方形的四条边都相等，四个角都是直角).
∴∠DCF = 180°-∠BCE =180°-90°= 90°.
∴∠BCE =∠DCF.
又∵CE = CF.
∴△BCE≌△DCF.
∴BE = DF.
(2)延长 BE 交 DF 于点 M.

∵△BCE ≌ △DCF.
∴∠CBE = ∠CDF.
∵∠DCF = 90°.
∴∠CDF +∠F = 90°.
∴∠CBE +∠F = 90°.
∴∠BMF = 90°.
∴BE ⊥ DF.
【议一议】
平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个你喜欢的方式直观地示它们之间的关系吗 ？与同伴交流.
预设答案：
关系：

明确例题的做法
学生思考，自由说一说，并动手画一画
让学生在探究过程中进一步加深对菱形的性质的认识和理解，培养学生的应用意识.
引导学生整体理解平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系，并能直观地表示它们之间的关系.
环节四 巩固新知
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1. 如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，图中有多少个等腰三角形？
2.如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点，连接 BF， DF.你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明.
3. 如图，A，B，C，D 四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上.仓库 P 和 Q 分别位于 AD 和 DC 上，且 PD = QC.证明两条直路 BP = AQ 且 BP⊥AQ.
答案：
1.解：图中共有 8 个等腰三角形.
△OAB、△OBC、△OCD、△ODA、
△ABC、△BCD、△CDA、△DAB.
2. 解：图中的全等三角形共有 3 对，
分别是 △ADC 与 △ABC，
△FCD与 △FCB，△FAD 与 △FAB．
选择△FAD≌△FAB 证明，过程如下：
∵四边形 ABCD是正方形，
∴AD = AB，∠DAF =∠BAF，
又∵AF = AF，
∴△FAD≌△FAB.
3.证明: 如图， AQ 与 BP 交于点 O．
在正方形 ABCD 中，
∵PD ＝ QC， ∴AP=DQ ．
又∵AB ＝ AD ，∠PAB ＝∠D ＝ 90°，
∴△ABP ≌△DAQ．
∴BP ＝AQ，∠DAQ＝∠ABP ．
∵∠ABP ＋∠APB＝90°＝∠DAQ＋∠APB．
∴∠AOP ＝90°．
∴BP ＝AQ 且 BP ⊥ AQ．
自主完成练习，然后集体交流评价.
通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
学生尝试回顾本节课所讲的内容
通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六
布置作业
教科书第22页
习题1.7 第2、4题
学生课后自主完成.
通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.