北师大新版数学八年级下册《第5章+分式方程》单元测试卷（含详细解析）

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北师大新版八年级下册《第5章 分式方程》2021年单元测试卷（甘肃省酒泉市瓜州二中）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）当分式的值为零时，x的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3
2．（3分）已知＝，则x的取值范围是（　　）
A．x＞0 B．x≠0且x≠2 C．x＜0 D．x≠2
3．（3分）下列四个分式中，为最简分式的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列分式的运算正确的是（　　）
A．+＝ B．（）2＝
C．﹣＝ D．＝
5．（3分）计算（x﹣4）•的结果是（　　）
A．x+4 B．﹣x﹣4 C．x﹣4 D．4﹣x
6．（3分）已知a+b＝2，ab＝﹣5，则+的值为（　　）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
7．（3分）解分式方程，去分母后所得的方程是（　　）
A．1﹣3（2x+1）＝3 B．1﹣3（2x+1）＝3x
C．1﹣3（2x+1）＝9x D．1﹣6x+3＝9x
8．（3分）若关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值为（　　）
A．﹣1.5 B．1 C．﹣1.5或2 D．﹣0.5或﹣1.5
9．（3分）关于x的方程：的解是负数，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a＜1且a≠0 C．a≤1 D．a≤1且a≠0
10．（3分）甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地．已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）使式子1+有意义的x的取值范围是　 　．
12．（3分）当x＝　 　时，分式值为零．
13．（3分）化简+的结果是　 　．
14．（3分）分式方程﹣＝1的解是　 　．
15．（3分）若分式方程：有增根，则k＝　 　．
16．（3分）已知，则的值是　 　．
17．（3分）已知轮船顺水航行50千米所需的时间和逆水航行40千米所需的时间相同，水流的速度为3千米/时，设轮船在静水中的速度为x千米/时，可列方程为 　 　．
18．（3分）若＝﹣，其中a，b为常数，则ab＝　 　．
三、解答题（共66分）
19．（12分）计算下列各题．
（1）﹣；
（2）﹣；
（3）÷（1﹣）；
（4）÷（m+2﹣）．
20．（10分）解方程：
（1）＝﹣1；
（2）+＝1．
21．（7分）先化简÷（a+1）+，然后a在﹣1、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值．
22．（7分）如果关于x的方程1+＝的解，也是不等式组的解，求m的取值范围．
23．（7分）已知f（x）＝，则f（1）＝ f（2）＝…，已知f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）＝，求n的值．
24．（7分）某校学生捐款支援地震灾区，第一次捐款总额为6600元，第二次捐款总额为7260元，第二次捐款人数比第一次多30人，而且两次人均捐款额恰好相等．求第一次的捐款人数．
25．（8分）烟台享有“苹果之乡”的美誉．甲、乙两超市分别用3000元以相同的进价购进质量相同的苹果．甲超市销售方案是：将苹果按大小分类包装销售，其中大苹果400千克，以进价的2倍价格销售，剩下的小苹果以高于进价10%销售．乙超市的销售方案是：不将苹果按大小分类，直接包装销售，价格按甲超市大、小两种苹果售价的平均数定价．若两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利2100元（其它成本不计）．问：
（1）苹果进价为每千克多少元？
（2）乙超市获利多少元？并比较哪种销售方式更合算．
26．（8分）佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
（1）求第一次水果的进价是每千克多少元？
（2）该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？

北师大新版八年级下册《第5章 分式方程》2021年单元测试卷（甘肃省酒泉市瓜州二中）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）当分式的值为零时，x的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3
【考点】分式的值为零的条件．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据分式的值为零的条件得到x2﹣9＝0且x2﹣4x+3≠0，然后解方程，再把方程的解代入不等式进行检验．
【解答】解：∵分式的值为零，
∴x2﹣9＝0且x2﹣4x+3≠0，
解方程x2﹣9＝0得x＝3或﹣3，
当x＝3时，x2﹣4x+3＝0，
当x＝﹣3时，x2﹣4x+3≠0，
∴x＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分子为零，分母不为零时，分式的值为零．
2．（3分）已知＝，则x的取值范围是（　　）
A．x＞0 B．x≠0且x≠2 C．x＜0 D．x≠2
【考点】分式有意义的条件．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质以及了分式有意义的条件求解即可．
【解答】解：若＝＝，
则x≠0且x﹣2≠0，
解得x≠0且x≠2．
故选：B．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．
3．（3分）下列四个分式中，为最简分式的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】最简分式．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】直接利用分式的基本性质以及最简分式的定义进而得出答案．
【解答】解：A、，不是最简分式，不符合题意；
B、，不是最简分式，不符合题意；
C、，是最简分式，符合题意；
D、，不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了最简分式，正确掌握相关定义是解题关键．
4．（3分）下列分式的运算正确的是（　　）
A．+＝ B．（）2＝
C．﹣＝ D．＝
【考点】分式的混合运算．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据分式加减法运算法则进行计算判断A和C，根据分式乘方的运算法则进行计算判断B，根据分式除法的运算法则进行计算判断D．
【解答】解：A、原式＝，故此选项不符合题意；
B、原式＝，故此选项不符合题意；
C、原式＝，故此选项不符合题意；
D、原式＝，正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查分式的加减法，分式的乘方及分式除法的运算，掌握通分及约分的技巧是解题关键．
5．（3分）计算（x﹣4）•的结果是（　　）
A．x+4 B．﹣x﹣4 C．x﹣4 D．4﹣x
【考点】分式的乘除法．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据分式的乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝（x﹣4）•
＝﹣（x+4）
＝﹣x﹣4，
故选：B．
【点评】本题考查分式的乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型．
6．（3分）已知a+b＝2，ab＝﹣5，则+的值为（　　）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据异分母分式先通分和完全平方公式可以将所求式子化简，然后将a+b＝2，ab＝﹣5代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：+
＝
＝，
当a+b＝2，ab＝﹣5时，原式＝＝﹣，
故选：C．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确异分母分式化简的方法．
7．（3分）解分式方程，去分母后所得的方程是（　　）
A．1﹣3（2x+1）＝3 B．1﹣3（2x+1）＝3x
C．1﹣3（2x+1）＝9x D．1﹣6x+3＝9x
【考点】解分式方程．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】分式方程两边乘以最简公分母3x去分母转化为整式方程即可．
【解答】解：分式方程去分母得：1﹣3（2x+1）＝9x．
故选：C．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
8．（3分）若关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值为（　　）
A．﹣1.5 B．1 C．﹣1.5或2 D．﹣0.5或﹣1.5
【考点】分式方程的解．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据解分式方程的步骤，可求出分式方程的解，根据分式方程无解，可得m的值．
【解答】解：方程两边同乘x（x﹣3），得x（2m+x）﹣（x﹣3）x＝2（x﹣3）
（2m+1）x＝﹣6
x＝﹣＝0或x＝3，
x＝3时，m＝﹣，
或2m+1＝0，解得m＝﹣．
故m的值为：﹣或﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的解，把分式方程转化成整式方程，把分式方程的增根代入整式方程，求出答案．
9．（3分）关于x的方程：的解是负数，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a＜1且a≠0 C．a≤1 D．a≤1且a≠0
【考点】分式方程的解．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围．
【解答】解：去分母得，a＝x+1，
∴x＝a﹣1，
∵方程的解是负数，
∴a﹣1＜0即a＜1，
又a≠0，
∴a的取值范围是a＜1且a≠0．
故选：B．
【点评】解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．
10．（3分）甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地．已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【考点】由实际问题抽象出分式方程．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，根据题意可得等量关系：甲骑110千米所用时间＝乙骑100千米所用时间，根据等量关系可列出方程即可．
【解答】解：设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意得：
＝，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）使式子1+有意义的x的取值范围是　x≠1　．
【考点】分式有意义的条件．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】分式有意义，分母不等于零．
【解答】解：由题意知，分母x﹣1≠0，
即x≠1时，式子1+有意义．
故答案为：x≠1．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
12．（3分）当x＝　﹣2　时，分式值为零．
【考点】分式的值为零的条件．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】分式的值为零：分子为0，分母不为0．
【解答】解：当|x|﹣2＝0，且x﹣2≠0，即x＝﹣2时，分式值为零．
故答案是：﹣2．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
13．（3分）化简+的结果是　　．
【考点】分式的加减法．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝+＝＝．
故答案为：
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（3分）分式方程﹣＝1的解是　x＝﹣1.5　．
【考点】解分式方程．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x（x+2）﹣1＝x2﹣4，
整理得：x2+2x﹣1＝x2﹣4，
移项合并得：2x＝﹣3
解得：x＝﹣1.5，
经检验x＝﹣1.5是分式方程的解．
故答案为：x＝﹣1.5．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
15．（3分）若分式方程：有增根，则k＝　1　．
【考点】分式方程的增根．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】把k当作已知数求出x＝，根据分式方程有增根得出x﹣2＝0，2﹣x＝0，求出x＝2，得出方程＝2，求出k的值即可．
【解答】解：∵，
去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx＝﹣1，
整理得：（2﹣k）x＝2，
∵分式方程有增根，
∴x﹣2＝0，
解得：x＝2，
把x＝2代入（2﹣k）x＝2得：k＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了对分式方程的增根的理解和运用，把分式方程变成整式方程后，求出整式方程的解，若代入分式方程的分母恰好等于0，则此数是分式方程的增根，即不是分式方程的根，题目比较典型，是一道比较好的题目．
16．（3分）已知，则的值是　﹣2　．
【考点】分式的加减法．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】先把所给等式的左边通分，再相减，可得＝，再利用比例性质可得ab＝﹣2（a﹣b），再利用等式性质易求的值．
【解答】解：∵﹣＝，
∴＝，
∴ab＝2（b﹣a），
∴ab＝﹣2（a﹣b），
∴＝﹣2．
故答案是：﹣2．
【点评】本题考查了分式的加减法，解题的关键是通分，得出＝是解题关键．
17．（3分）已知轮船顺水航行50千米所需的时间和逆水航行40千米所需的时间相同，水流的速度为3千米/时，设轮船在静水中的速度为x千米/时，可列方程为 　＝　．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．菁优网版权所有
【答案】＝．
【分析】设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据轮船顺水航行50千米所需的时间和逆水航行40千米所需的时间相同，列方程即可．
【解答】解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，
由题意得，＝，
故答案为：＝．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．
18．（3分）若＝﹣，其中a，b为常数，则ab＝　1　．
【考点】分式的加减法．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用分式相等的条件求出a与b的值，即可求出ab的值．
【解答】解：已知等式整理得：＝，
∴1＝（a﹣b）x+2a﹣b，
可得a﹣b＝0，2a﹣b＝1，
∴a＝b＝1，
∴ab＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了分式的加减法，分式相等的条件，熟练掌握分式的加减法的法则是解题的关键．
三、解答题（共66分）
19．（12分）计算下列各题．
（1）﹣；
（2）﹣；
（3）÷（1﹣）；
（4）÷（m+2﹣）．
【考点】分式的混合运算．菁优网版权所有
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）﹣．
【分析】（1）先通分，然后再计算；
（2）先将原式变形为同分母分式加法，然后再计算；
（3）先算小括号里面的，然后算括号外面的；
（4）先算小括号里面的，然后算括号外面的．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝
＝；
（2）原式＝
＝；
（3）原式＝÷（）
＝

＝；
（4）原式＝
＝
＝
＝﹣．
【点评】本题考查分式的混合运算，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．
20．（10分）解方程：
（1）＝﹣1；
（2）+＝1．
【考点】解分式方程．菁优网版权所有
【答案】（1）x＝﹣．（2）x＝﹣3．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：6（x+3）＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）（x+3），
整理得：9x＝﹣12，
解得：x＝﹣，
经检验x＝﹣是原方程的根，
则分式方程的解为x＝﹣．
（2）去分母得：2+x（x+2）＝（x+2）（x﹣2），
整理得：2x＝﹣6，
解得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是原方程的根，
则分式方程的解为x＝﹣3．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21．（7分）先化简÷（a+1）+，然后a在﹣1、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝•+
＝+
＝，
当a＝2（a≠﹣1，a≠1）时，原式＝＝5．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
22．（7分）如果关于x的方程1+＝的解，也是不等式组的解，求m的取值范围．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】先将分式方程化为整式方程，求得其解，然后求出不等式组的解，进而求出m的取值范围．
【解答】解：方程两边同乘（x+2）（x﹣2），得x2﹣4﹣x（x+2）＝2m，解得x＝﹣m﹣2．
当x+2＝0时，﹣m＝0，m＝0；
当x﹣2＝0时，﹣m﹣4＝0，m＝﹣4．
故当m＝﹣4或m＝0时有x2﹣4＝0．
∴方程的解为x＝﹣m﹣2，其中m≠﹣4且m≠0．
解不等式组得解集x≤1．
由题意得﹣m﹣2≤1且﹣m﹣2≠﹣2，解得m≥﹣3且m≠0．
∴m的取值范围是m≥﹣3且m≠0．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次方程的解，弄清题意是解本题的关键．
23．（7分）已知f（x）＝，则f（1）＝ f（2）＝…，已知f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）＝，求n的值．
【考点】分式的加减法；解分式方程．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】把f（x）裂项为﹣，然后进行计算即可得解．
【解答】解：∵f（x）＝＝﹣，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣，
∵f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）＝，
∴1﹣＝，
解得n＝14．
经检验：n＝14是原分式方程的解
故：原分式方程的解为n＝14．
【点评】本题考查了分式的加减，把f（x）进行裂项是解题的关键，也是本题的难点．
24．（7分）某校学生捐款支援地震灾区，第一次捐款总额为6600元，第二次捐款总额为7260元，第二次捐款人数比第一次多30人，而且两次人均捐款额恰好相等．求第一次的捐款人数．
【考点】分式方程的应用．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】先设第一次的捐款人数是x人，根据两次人均捐款额恰好相等列出方程，求出x的值，再进行检验即可求出答案．
【解答】解：设第一次的捐款人数是x人，根据题意得：
＝，
解得：x＝300，
经检验x＝300是原方程的解，
答：第一次的捐款人数是300人．
【点评】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程，解分式方程时要注意检验．
25．（8分）烟台享有“苹果之乡”的美誉．甲、乙两超市分别用3000元以相同的进价购进质量相同的苹果．甲超市销售方案是：将苹果按大小分类包装销售，其中大苹果400千克，以进价的2倍价格销售，剩下的小苹果以高于进价10%销售．乙超市的销售方案是：不将苹果按大小分类，直接包装销售，价格按甲超市大、小两种苹果售价的平均数定价．若两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利2100元（其它成本不计）．问：
（1）苹果进价为每千克多少元？
（2）乙超市获利多少元？并比较哪种销售方式更合算．
【考点】分式方程的应用．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先设苹果进价为每千克x元，根据两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利2100元列出方程，求出x的值，再进行检验即可求出答案；
（2）根据（1）求出每个超市苹果总量，再根据大、小苹果售价分别为10元和5.5元，求出乙超市获利，再与甲超市获利2100元相比较即可．
【解答】解：（1）设苹果进价为每千克x元，根据题意得：
400×2x+（1+10%）x（﹣400）﹣3000＝2100，
解得：x＝5，
经检验x＝5是原方程的解，
答：苹果进价为每千克5元．

（2）由（1）得，每个超市苹果总量为：＝600（千克），
大、小苹果售价分别为10元和5.5元，
则乙超市获利600×（﹣5）＝1650（元），
∵甲超市获利2100元，
∵2100＞1650，
∴将苹果按大小分类包装销售，更合算．
【点评】此题考查了分式方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，根据两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利2100元列出方程，解方程时要注意检验．
26．（8分）佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
（1）求第一次水果的进价是每千克多少元？
（2）该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
【考点】分式方程的应用．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，第一次购买用了1200元，第二次购买用了1452元，第一次购水果千克，第二次购水果千克，根据第二次购水果数多20千克，可得出方程，解出即可得出答案；
（2）先计算两次购水果数量，赚钱情况：卖水果量×（实际售价﹣当次进价），两次合计，就可以回答问题了．
【解答】解：（1）设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，
根据题意得：﹣＝20，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，

（2）第一次购水果1200÷6＝200（千克）．
第二次购水果200+20＝220（千克）．
第一次赚钱为200×（8﹣6）＝400（元）．
第二次赚钱为100×（9﹣6.6）+120×（9×0.5﹣6×1.1）＝﹣12（元）．
所以两次共赚钱400﹣12＝388（元），
答：第一次水果的进价为每千克6元，该老板两次卖水果总体上是赚钱了，共赚了388元．
【点评】本题具有一定的综合性，应该把问题分成购买水果这一块，和卖水果这一块，分别考虑，掌握这次活动的流程．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/5/24 19:42:33；用户：实事求是；邮箱：18347280726；学号：37790395

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