2021-2022学年北京师大朝阳附属学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年北京师大朝阳附属学校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20分）

1. 下列二次根式中，最简二次根式是

A.  B.  C.  D.

2. 下列各式中，运算正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 如图，在中，，，，点，分别是边，的中点，那么的长为

A.  B.  C.  D.

4. 以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5. 将直线向下平移个单位长度后，得到的直线是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于，的方程组的解是

A.  B.  C.  D.

7. 如图、在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别是，，点在轴上，则点的横坐标是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，，为的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以，为顶点的格点矩形共可以画出

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

9. 将张长为、宽为的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积之和为，阴影部分的面积之和为若，则，满足

A.
B.
C.
D.

10. 如图，等腰的直角边与正方形的边长均为，且与在同一直线上，开始时点与点重合，让沿这条直线向右平移，直到点与点重合为止．设的长为，与正方形重合部分图中阴影部分的面积为，则与之间的函数关系的图象大致是

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共21分）

11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12. 函数是常数，的图象上有两个点，，当时，，写出一个满足条件的函数解析式：______．
13. 如图，函数的图象经过点，则不等式的解集为______．
    
     

14. 若点在直线上，则的值等于          ．
15. 如图，直线是四边形的对称轴，若，下面四个结论中：；；；，一定正确的结论的序号是          ．
     

16. 如图，菱形的对角线，相交于点，为边上一动点不与点，重合，于点，于点，若，，则的最小值为______．

17. 某研究所发布了年中国城市综合实力排行榜，其中部分城市的综合实力、和教育科研与医疗的排名情况如图所示，综合实力排名全国第名的城市，教育科研与医疗排名全国第          名．

三、解答题（本大题共10小题，共59分）

18. 某快餐店外卖促销，佳佳和点点想点外卖，每单需支付送餐费元，每种餐食外卖价格如表：

促销活动：汉堡套餐折优惠，每单仅限一套；全部商品包括打折套餐满元减元，满元减元，满元减元，满元减元．
佳佳想要汉堡套餐、鸡翅、冰激凌、蔬菜沙拉各一份；点点想要汉堡套餐、鸡块、冰激凌各一份，若他们把想要的都买全，最少要花______元含送餐费．

19. 计算：
20. 已知：．
    求作：的平分线；
    作法：以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；
    分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；
    画射线．
    射线即为所求．
    使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
    完成下面的证明．
    证明：连接，．
    由作法可知．
    四边形是______，
    平分______填推理的依据．

21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点与．
    求这个一次函数的解析式；
    若点是轴上一点，且的面积是，求点的坐标．
22. 已知：如图，平行四边形的对角线相交于点，点在边的延长线上，且，连结．
    求证：；
    设与交于点，若，，，求线段的长．
23. 如图，，，是直线上的三个点，于点，于点，，，，，求的长．

24. 如图，在中，，为边上的中线，点与点关于直线对称，连接、．
    求证：四边形是菱形；
    连接，若，，求的长．

25. 如图，在正方形中，为边上一点不与点，重合，于点，交于点，连接．
    求证：；
    是否存在点的位置，使得为等腰三角形？若存在，写出一个满足条件的点的位置并证明；若不存在，说明理由．

26. 在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
    对于两个数，，
    称为，这两个数的算术平均数，
    称为，这两个数的几何平均数，
    称为，这两个数的平方平均数．
    小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整；
    若，，则______；______；______；
    小聪发现当，两数异号时，在实数范围内没有意义，所以决定只研究当，都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
    如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图中阴影部分的面积可以表示．
    分别在图，图中用阴影标出一个面积为，的图形；
    借助图形可知，当，都是正数时，，，的大小关系是：______把、、从小到大排列，并用“”或“”号连接．

27. 对于两个实数，，规定表示，两数中较大者，特殊地，当时，如：，，．
    ______，______；
    对于一次函数，，
    当时，，求的取值范围；
    当时，，当时，，若，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．，即被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.是最简二次根式，故本选项符合题意；
C.，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，注意：满足以下两个条件：被开方数中的因式是整式，因数是整数，被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，像这样的二次根式叫最简二次根式．．
 

2.【答案】

【解析】解：、，故原题计算错误；
B、，故原题计算错误；
C、，故原题计算正确；
D、和不能合并，故原题计算错误；
故选：．
根据，，被开数相同的二次根式可以合并进行计算即可．
此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握二次根式乘法、除法及加减法运算法则．
 

3.【答案】

【解析】解：点，分别是边，的中点，
，
故选：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：，
可以构成直角三角形，故本选项符合题意；
B.，
不可以构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，
不可以构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，
不可以构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，求出两小边的平方和，再求出大边的平方，看是否相等，即可得出答案．
本题考查了对勾股定理的逆定理的运用，熟知：如果一个三角形的三边分别是、、最大满足，则三角形是直角三角形是解决问题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：原直线的，；向下平移个单位长度得到了新直线，
那么新直线中的，．
新直线的解析式为．
故选：．
平移时的值不变，只有发生变化．
本题考查了一次函数的图象与它平移后图象的转变的题目，在解题时，紧紧抓住直线平移后不变这一性质．
 

6.【答案】

【解析】解：一次函数与的图象交于点，则关于，的方程组的解是，
故选：．
利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
 

7.【答案】

【解析】解：连接，

点，点，
，
四边形是矩形，
，
点的横坐标为，
故选：．
由两点距离公式可求的长，由矩形的性质可求，即可求解．
本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：如图所示：
以为对角线的格点矩形有个，
以为边的格点矩形有个，
以，为顶点的格点矩形共可以画出个，
故选：．
画出以，为顶点的格点矩形，即可求解．
本题考查了矩形的判定，画出以，为顶点的格点矩形是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：由题意得：
，
，
，

，
，
，
舍，或．
故选：．
先用含有、的代数式分别表示出和，再根据得到关于、的等式，整理即可．
本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式及因式分解的方法是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：设的长为，与正方形重合部分图中阴影部分的面积为
当从点运动到点时，即时，．
当从点运动到点时，即时，
与之间的函数关系
由函数关系式可看出中的函数图象与所求的分段函数对应．
故选：．
此题可分为两段求解，即从点运动到点和从点运动到点，列出面积随动点变化的函数关系式即可．
本题考查的动点变化过程中面积的变化关系，重点是列出函数关系式，但需注意自变量的取值范围．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
先根据二次根式有意义的条件列出关于 的不等式，求出 的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于 ．
【解答】
解： 式子 在实数范围内有意义，
，
解得 ．
故答案为： ．   

12.【答案】即可

【解析】解：，满足时，，
函数满足
即可；
故答案为：即可．
根据，满足时，判断出函数图象的增减性即可．
本题考查的是正比例函数的增减性，即正比例函数中，当，随的增大而增大；当，随的增大而减小．
 

13.【答案】

【解析】解：由图象可得：当时，，
所以不等式的解集为，
故答案为：
观察函数图象得到即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

14.【答案】

【解析】解：点在直线上，
，满足方程，
，解得，
故答案为：．
因为点在直线上，所以把，分别代入直线里即可求得的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，若点在直线上，则可以把点的横纵坐标分别代入直线解析式所对应的方程求解即可．
 

15.【答案】

【解析】解：直线是四边形的对称轴，
，，
，
，
四边形是菱形，
，正确；
，正确；
，正确；
不一定垂直于，错误．
故正确的是．
故答案为：．
先根据平行和对称得到，，又，所以四边形是菱形，再利用菱形的性质
求解即可．
此题考查了菱形的判定和性质，轴对称的性质，正确的理解题意是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：连接，
四边形是菱形，
，，
于点，于点，
，
四边形是矩形，
，
当取最小值时，的值最小，
当时，最小，
，
，，
，
的最小值为，
故答案为：．
连接，根据菱形的性质得到，，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，当时，最小，根据的直角三角形的结论得到结果．
本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
 

17.【答案】

【解析】解：由第一个图可得综合实力排名全国第名的城市的排名第九，
由第二个图可得排名第九的城市的教育科研与医疗的排名为第名，
故答案为：．
由第一个图可得综合实力排名全国第名的城市的排名第九，再由第二个图可求解．
本题考查了统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

18.【答案】

【解析】解：由题意可得，
佳佳和点点合买一单的花费为：元，
佳佳和点点合买一单的实际消费为：元；
佳佳买全需要的物品需要花费：元，
佳佳实际花费为：元，
点点买全需要的物品需要花费：元，
点点实际花费为：元，
若他们把想要的都买全，最少要花元；
当佳佳和点点各买一单，佳佳买一单点汉堡套餐、鸡翅、鸡块、蔬菜沙拉，共需元，实际消费为：元，点点买一单点汉堡套餐、个冰激凌，共需元，实际消费为元，若他们把想要的都买全，最少要花元；
，
他们最少要花元．
故答案为：．
根据题意和表格中的数据，可以计算出他们合买一单的实际消费和分开买的实际消费之和的两种情况，然后比较大小，即可解答本题．
本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，计算出最少费用．
 

19.【答案】解：


．

【解析】首先计算负整数指数幂、开方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

20.【答案】解：如图，射线即为所求．


菱形；
菱形的对角线平分一组对角．

【解析】解：见答案．
连接，．
由作法可知．
四边形是菱形，
平分菱形的对角线平分一组对角．
故答案为：菱形，菱形的对角线平分一组对角．
根据要求作出图形即可．
利用菱形的性质解决问题即可．
本题考查作图复杂作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用菱形的性质解决问题．
 

21.【答案】解：设一次函数的解析式为，
将点与点代入中，
得，
解得：，
一次函数解析式为．
由题意知，
的面积，
，
，
点，
点的坐标为或．

【解析】设一次函数解析式为再将、两点坐标代入即可求出一次函数解析式．
根据的面积求出的长，即可求得的坐标．
本题主要考查待定系数法求解一次函数解析式以及三角形面积，解题的关键在于求得的长度．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
．
，
．
．
，
．
，
．
；                 
解：，，
．
为直角三角形，且．
在中，，，，
．
．
又，
．
在中，，，，
根据勾股定理得：．

【解析】先根据平行四边形的性质，得出，再根据，得出，最后根据三角形内角和定理，求得，即可得出结论．
证明为直角三角形，得出在中，由勾股定理求出由三角形面积求出在中，根据勾股定理求出即可．
本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握平行四边形的性质以及勾股定理的逆定理是关键．
 

23.【答案】解：于点，于点，
，
，，是直线上的三个点，
，
，
在中，，
即，
在中，，
即，
，
，
，
故AH的长为．

【解析】根据垂直的定义得到，根据线段的和差得到，根据勾股定理列方程即可得到结论．
本题考查了勾股定理，线段的和差，正确的运用勾股定理是解题的关键．
 

24.【答案】证明：连接，交于，

点与点关于直线对称，
是线段的垂直平分线，
，，
，为的中点，
，
，
四边形是菱形；

解：过作，交的延长线于，

，，，
，
，
由勾股定理得，
四边形是菱形，，
，，
，，
，
，，，
由勾股定理得：，
，
由勾股定理得：．

【解析】连接，交于，根据轴对称性质得出，，根据直角三角形斜边上的中线性质求出，再根据菱形的判定得出即可；
过作，交的延长线于，求出和长，求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出即可．
本题考查了轴对称的性质，菱形的性质和判定，直角三角形斜边上的中线性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，能熟记菱形的性质和判定、直角三角形斜边上的中线性质、含角的直角三角形的性质是解此题的关键．
 

25.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
于点，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：存在，当点为的中点时，为等腰三角形，
理由：如图，延长交的延长线于点，

为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
即为等腰三角形．

【解析】先证明≌，根据全等三角形的性质即可得出；
存在，当点为的中点时，为等腰三角形，延长交的延长线于点，然后证明≌，得出，再根据，得出结论．
本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和直角三角形斜边上的中线的性质，关键是根据正方形的性质证明三角形全等．
 

26.【答案】解：；  ；  ；
图形如下：


．

【解析】解：将，代入，，的定义式，
得：，，，
故答案为，，；
见答案；
根据，，所表示的面积大小可得：
当时，，
当时，，
，
故答案为．
将，的值直接导入，，的定义式即可；
根据，所表示的面积大小找到对应的区域即可；
根据图象上所表示的面积大小及，的取值情况即可得出结论．
本题主要考查完全平方公式在图形中的应用，关键是要能根据，，的定义，在图中找到它所表示的图形，找到图形后根据图形面积大小就可以比较了，但要注意时的情况．
 

27.【答案】解：；；
如图，
当时，画出，的函数图象，
由图可知：当时，，
当时，，
；
的取值范围是或．

【解析】解：表示，两数中较大者，
，，
故答案为，；
见答案；
当时，，，
当时，即，，，
当时，即，，，
当时，，，
当时，即，，，
当时，即，，，
当时，，，
，
，
解得，
综上可得；
当时，，，
，
，
，
；
当时，，，
，
，
；
综上所述：的取值范围是或．
由所给定义可得，；
画出，的函数图象，由图象可看出，当向上移动时，时，，由此可以确定；
分别求出当，时，与的对应值，再分别讨论当时，，当时，，当时，，当时，，再根据所求的范围，分三种情况得到：当时，，求得；当时，，求得；当时，，求得；即可确定的取值范围是或．
本题考查一次函数的应用，新定义，题目对理解能力的要求很高，能够理解表示的含义，并能结合一次函数的图象和一元一次不等式解题是关键．