2021年北京朝阳区三帆中学朝阳学校九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京朝阳区三帆中学朝阳学校九年级上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. sin60∘ 的值等于
A. 12B. 22C. 32D. 3

2. 如图，是中国共产主义青年团团旗上的图案，点 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五等分圆，则 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 等于
A. 360∘B. 180∘C. 150∘D. 120∘

3. 如果两个相似正五边形的边长比为 1:10，则它们的面积比为
A. 1:2B. 1:5C. 1:100D. 1:10

4. 反比例函数 y=−15x 的图象在
A. 第一、二象限B. 第二、三象限C. 第一、三象限D. 第二、四象限

5. 在 Rt△ABC 中，斜边 BC=2，则 AB2+AC2 的值为
A. 8B. 4C. 6D. 无法计算

6. 如图，DE∥BC，BD，CE 相交于 O，EOOC=13，AE=3，则 EB=
A. 6B. 9C. 12D. 15

7. 把抛物线 y=−12x2 向右平移 2 个单位，则平移后所得抛物线的表达式为
A. y=−12x2+2B. y=−12x+22
C. y=−12x2−2D. y=−12x−22

8. 已知抛物线 y=x2−4m+1x+2m−1 与 x 轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于 2，另一个交点的横坐标小于 2，并且抛物线与 y 轴的交点在点 0,−12 的下方，那么 m 的取值范围是
A. 1614D. 全体实数

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 沿着 x 轴正方向看，如果抛物线 y=a−2x2 在对称轴左侧的部分是下降的，那么 a 的取值范围是 ．

10. 在 △ABC 中，∠C=90∘，∠A，∠B，∠C 所对边的长分别为 a，b，c，则 tanA 的值是 ．

11. 如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则 sinA 的值为 ．

12. 在平面直角坐标系中，点 −2,−3 位于第 象限．

13. 如图，小明同学站在离墙 BC5 m 的 A 处，发现小强同学在离墙 BC20 m 远且与墙平行的一条公路 l 上骑车，已知墙 BC 长为 24 m，则小明看不见小强的距离为 m．

14. n∘ 圆心角所对的弧长是圆周长的 ．（填分数）

15. 在平面直角坐标系中，点 A3,−1，B3,−7 是一对关于某直线 l 对称的对称点，则点 C−2,−13 关于直线 l 的对称点的坐标为 ．

16. 如图，当太阳光与地面上的树影成 45∘ 角时，树影投射在墙上的影高 CD 等于 2 米，若树根到墙的距离 BC 等于 8 米，则树高 AB 等于 米．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 同一张地图上用尺测量得甲地到学校的距离是 3 厘米，乙地到学校的距离是 5 厘米，而乙地到学校的实际距离是 10 千米，求甲地到学校的实际距离．

18. 计算：2sin30∘+cs60∘−cs245∘．

19. 如图，在 △ABC 中，∠B 为锐角，AB=32，BC=7，sinB=22，求 AC 的长．

20. 如图，BD 与 CE 交与点 A，AB⋅AD=AC⋅AE．
求证：△ABC∽△AED．

21. 已知：如图，△ABC 内接于 ⊙O，∠BAC 的平分线分别交 ⊙O，BC 于点 D，E，连接 BD．
（1）求证：△ABD∽△AEC．
（2）试写出图中其他各对相似三角形．

22. 已知二次函数 y=2x2+4x−6．
（1）将二次函数的解析式化为 y=ax−h2+k 的形式．
（2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．

23. 已知反比例函数 y=−3x 的图象经过点 A−2,m．
（1）求 m 的值；
（2）若点 Bx1,y1，Cx2,y2 是该反比例函数图象上的两点，并且满足 x1>x2>0，则 y1 与 y2 的大小关系是 （用“<”号连接）．

24. 如图，⊙O 的直径 AB=10 cm，弦长 AC=6 cm，∠ACB 的平分线交 ⊙O 于点 D．
（1）求 BC 的长．
（2）求 △ABD 的面积．

25. 如图，线段 AB 及一定点 C，P 是线段 AB 上一动点，作直线 CP，过点 A 作 AQ⊥CP 于点 Q．已知 AB=7 cm，设 A，P 两点间的距离为 x cm，A，Q 两点间的距离为 y1 cm，P，Q 两点间的距离为 y2 cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y2 与 x 的几组对应值：
（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点 x,y1，x,y2，并画出函数 y1，y2 的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当 △APQ 中有一个角为 30∘ 时，AP 的长度约为 cm．

26. 在平面直角坐标系中，直线 y=12x−2 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，二次函数 y=12x2+bx+c 的图象经过 B，C 两点，且与 x 轴的负半轴交于点 A，动点 D 在直线 BC 下方的二次函数图象上．
（1）求二次函数的表达式．
（2）如图 1，连接 DC，DB，设 △BCD 的面积为 S，求 S 的最大值．
（3）如图 2，过点 D 作 DM⊥BC 于点 M，是否存在点 D，使得 △CDM 中的某个角恰好等于 ∠ABC 的 2 倍?若存在，直接写出点 D 的横坐标；若不存在，请说明理由．

27. 如图，把 △EFP 放置在菱形 ABCD 中，使得顶点 E，F，P 分别在线段 AB，AD，AC 上，已知 EP=FP=6，EF=63，∠BAD=60∘，且 AB>63．

（1）∠EPF 的大小；
（2）若 AP=8，求 AE+AF 的值；
（3）若 △EFP 的三个顶点 E，F，P 分别在线段 AB，AD，AC 上 运动，请直接写出 AP 长的最大值和最小值．

28. 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和图形 M，给出如下定义：Q 为图形 M 上任意一点，如果 P，Q 两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点 P 与图形 M 间的开距离，记作 dP,M．
已知直线 y=33x+bb≠0 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，⊙O 的半径为 1．
（1）若 b=2，
①求 dB,⊙O 的值；
②若点 C 在直线 AB 上，求 dC,⊙O 的最小值；
（2）以点 A 为中心，将线段 AB 顺时针旋转 120∘ 得到 AD，点 E 在线段 AB，AD 组成的图形上，若对于任意点 E，总有 2≤dE,⊙O<6，直接写出 b 的取值范围．
答案
第一部分
1. C【解析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．
2. B
3. C【解析】∵ 两个相似多边形的相似比为 1:10，
∴ 它们的面积比 =12:102=1:100．
4. D
5. B
6. A【解析】因为 DE∥BC，
所以 △EOD∽△COB，△AED∽△ABC，
所以 DEBC=EOOC=13，DEBC=AEAB，
又因为 AE=3，
所以 BE=6．
7. D【解析】因为把抛物线 y=−12x2 向右平移 2 个单位，根据“左加右减自变量”得平移后所得抛物线的表达式为 y=−12x−22．
8. A
第二部分
9. a>2
10. ab
11. 45
【解析】由勾股定理，得：AC=AB2+BC2=32+42=5，
∴sinA=BCAC=45．
12. 三
13. 120
14. n360
15. −2,5
16. 10
【解析】作 DH⊥AB 于 H，如图，
则 DH=BC=8 m，CD=BH=2 m，
根据题意得 ∠ADH=45∘，
∴△ADH 为等腰直角三角形，
∴AH=DH=8 m，
∴AB=AH+BH=8 m+2 m=10 m．
第三部分
17. 6 千米．
18. 2sin30∘+cs60∘−cs245∘=2×12+12−222=1+12−12=1.
19. 如图，作 AD⊥BC 于点 D，
∴∠ADB=∠ADC=90∘，
∵sinB=22，
∴∠B=∠BAD=45∘，
∵AB=32，
∴AD=BD=22AB=3，
又 ∵BC=7，
∴DC=4，
∴ 在 Rt△ACD 中，AC=AD2+CD2=5．
20. ∵AB⋅AD=AC⋅AE，
∴ABAE=ACAD．
又 ∵BD 与 CE 相交，
∠BAC=∠EAD，
∴△ABC∽△AED．
21. （1） 证明略．
（2） △AEC∽△BED，△ABD∽△BED．
22. （1） y=2x2+4x−6=2x2+2x+1−8=2x+12−8．
（2） 由（1）知，该抛物线解析式是：y=2x+12−8；
a=2>0，则二次函数图象的开口方向向上．
对称轴是 x=−1，顶点坐标是 −1,−8．
23. （1） ∵ 反比例函数 y=−3x 的图象经过点 A−2,m．
∴m=−3−2=32．
（2） y2【解析】反比例函数 y=−3x 中，k=−3<0，
∴ 此函数的图象在二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大，
∵x1>x2>0，
∴Bx1,y1，Cx2,y2 两点均位于第四象限，
∴y224. （1） ∵AB 是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90∘，
在 Rt△ABC 中，AB2=AC2+BC2，AB=10 cm，AC=6 cm，
∴BC2=AB2−AC2=102−62=64，
∴BC=64=8cm．
（2） ∵CD 平分 ∠ACB，
∴AD=BD，
∴AD=BD，
又 ∵ 在 Rt△ABD 中，AD2+BD2=AB2，
∴AD2+BD2=102，
∴AD=BD=1002=52cm，
∴△ABD 的面积 =12×522=25．
25. （1） ∵ 过点 A 作 AQ⊥CP 于点 Q，设 A，P 两点间的距离为 x cm，A，Q 两点间的距离为 y1 cm，P，Q 两点间的距离为 y2 cm，
∴x2=y12+y22，
∴ 当 x=4，y1=2.61，
∴y2=42−2.612=3.02．
（2） 利用描点法画出函数图象如图所示：．
（3） 当 △APQ 中有一个角为 30∘ 时，x=2y1，y2=3y1，
∴x=5.49或2.50．
26. （1） 把 x=0 代 y=12x−2 得 y=−2，
∴C0,−2．
把 y=0 代 y=12x−2 得 x=4，
∴B4,0，．
设抛物线的解析式为 y=12x−4x−m，
将 C0,−2 代入得：2m=−2，解得：m=−1，
∴A−1,0．
∴ 抛物线的解析式 y=12x−4x+1，即 y=12x2−32x−2．
（2） 如图所示：过点 D 作 DF⊥x 轴，交 BC 与点 F．
设 Dx,12x2−32x−2，则 Fx,12x−2，
DF=12x−2−12x2−32x−2=−12x2+2x．
∴S△BCD=12OB⋅DF=12×4×−12x2+2x=−x2+4x=−x−22+4.
∴ 当 x=2 时，S 有最大值，最大值为 4．
（3） 存在，点 D 的横坐标为 2 或 2911．
【解析】如图所示：过点 D 作 DR⊥y 垂足为 R，DR 交 BC 与点 G．
∵A−1,0，B4,0，C0,−2，
∴AC=5，BC=25，AB=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC 为直角三角形．
取 AB 的中点 E，连接 CE，则 CE=BE，
∴∠OEC=2∠ABC．
∴tan∠OEC=OCOE=43．
当 ∠MCD=2∠ABC，则 tan∠CDR=tan∠ABC=12．
设 Dx,12x2−32x−2，则 DR=x，CR=−12x2+32x．
∴−12x2+32xx=12，解得：x=0（舍去）或 x=2．
∴ 点 D 的横坐标为 2．
当 ∠CDM=2∠ABC 时，设 MD=3k，CM=4k，CD=5k．
∵tan∠MGD=12，
∴GM=6k，GD=35k，
∴GC=MG−CM=2k，
∴GR=455k，CR=255k．
∴RD=35k−455k=1155k．
∴CRDR=−12x2+32xx=255k1155k，
整理得：−112x2+292x=0，
解得：x=0（舍去）或 x=2911．
∴ 点 D 的横坐标为 2911．
综上所述，当点 D 的横坐标为 2 或 2911．
27. （1） 如图，过点 P 作 PG⊥EF 于 G．
∵ PE=PF=6，EF=63，
∴ FG=EG=33，∠FPG=∠EPG=∠EPF2．
在 Rt△FPG 中，sin∠FPG=FGPF=336=32．
∴ ∠FPG=60∘ .
∴ ∠EPF=2∠FPG=120∘．
（2） 作 PM⊥AB 于 M，PN⊥AD 于 N．
∵ AC 为菱形 ABCD 的对角线，
∴ ∠DAC=∠BAC，PM=PN．
∴AM=AN .
在 Rt△PME 和 Rt△PNF 中，
PM=PN,PE=PF,
∴ Rt△PME≌Rt△PNF
∴ NF=ME．
又 AP=10，
∴ AM=AN=AP⋅cs30∘=10×32=53 .
∴ AE+AF=AM+ME+AN−NF=AM+AN=103 .
（3） 当 F 和 A 重合时，点 P 位于 P1 处，此时 AP=AP1=6 .
当 EF⊥AC 时，点 P 位于 P2 处.
如图.
此时 OF=33 .
∴AO=3OF=9，P2O=33OF=3 .
∴ AP 的最大值为 12，AP 的最小值为 6 .
28. （1） ①根据题意可知 B0,2．
∴dB,⊙O=3．
②如图，过点 O 作 OC⊥AB 于点 C，此时 dC,⊙O 取得最小值．
∵ 直线 y=33x+2 与 x 轴交于点 A，
∴A−23,0．
∴OA=23，OB=2．
∴∠OAB=30∘．
∴OC=3．
∴dC,⊙O 的最小值为 3+1．
（2） −577