专题06 平行四边形中的几何综合问题-初中数学8年级下册同步压轴题（教师版含解析）

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专题06 平行四边形中的几何综合问题类型一、平行四边形的折叠问题例．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点处，若，为(       )A．36° B．144° C．108° D．126°【答案】D【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=18°，∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-36°-18°=126°；故选D．【变式训练1】如图，在平行四边形纸片ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB＝45°，BD＝4，将纸片沿对角线AC对折，使得点B落在点B′的位置，连接DB'，则DB'的长为(　　)A．2 B．2 C．4 D．15【答案】A【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，由折叠的性质可知：，，∴，∴，∴在直角三角形中，故选A．【变式训练2】如图，在平行四边形ABCD中，，E为BC上一点，连接AE，将沿AE翻折得到，交AC于点G，若，，则AG的长度为______．【答案】【详解】如图，过点F作交于点H，∵平行四边形ABCD，∴，∵，∴设，∴，∵，∴，∴，∵沿AE翻折得到，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，即，解得：，∴，∴，在中，，∴，即．故答案为：．【变式训练3】如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为 ______．【答案】40°【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝50°，∵∠DAE＝20°，∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝50°+20°＝70°，∴∠AED＝180°﹣70°＝110°，∵将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，∴∠AED＝∠AED′＝110°，∴∠FED′＝∠AED′﹣∠AEC＝110°﹣70°＝40°，故答案为：40°．类型二、平行四边形中的最值问题例．如图，平行四边形ABCD，∠BCD=120°，AB=2，BC=4，点E是直线BC上的点，点F是直线CD上的点，连接AF，AE，EF，点M，N分别是AF，EF的中点．连接MN，则MN的最小值为(       )A．1 B． C． D．【答案】C【详解】解：∵M为FA中点，N为FE中点，∴NM为△AEF的中位线，∴MN=∴AE最小时，MN最小，∵点E在直线BC上，根据点A到直线BC的距离最短，∴AE⊥BC时AE最短，∵在平行四边形ABCD中，∠BCD=120°，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-120°=60°，∴∠BAE=180°-∠ABE-∠AEB=180°-60°-90°=30°，在Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=2，∴BE=，根据勾股定理AE最小值=,∴MN=．故选择C．【变式训练1】如图，四边形ABCD中，∠A=60°，AD=2，AB=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为( )A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵ED=EM，MF=FN， ∴EF=DN， ∴DN最大时，EF最大，∴N与B重合时DN=DB最大，在Rt△ADH中， ∵∠A=60° ，∴AH=2×=1，DH=，∴BH=AB﹣AH=3﹣1=2， ∴DB=， ∴EFmax=DB=， ∴EF的最大值为．故选A【变式训练2】如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AD＝8，AB＝4，点H、G分别是边DC、BC上的动点，其中点H不与点C重合．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为 _____________．【答案】【详解】解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N，∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，AB＝4，∴∠D＝∠B＝60°，AB＝CD＝4，∵AD＝8，∴AM＝DM＝DC＝4，∴△CDM是等边三角形，∴∠DMC＝∠MCD＝60°，CM＝DM＝AM，∴∠MAC＝∠MCA＝30°，∴∠ACD＝90°，∴AC＝4，在Rt△ACN中，∵AC＝4，∠ACN＝∠DAC＝30°，∴AN＝AC＝2，∵AE＝EH，GF＝FH，∴EF＝AG，∵AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，∴AG的最大值为4，最小值为2，∴EF的最大值为2，最小值为，∴EF的最大值与最小值的差为．【变式训练3】如图，在中，，，，为上的两个动点，且，则的最小值是________．【答案】【详解】解：过点A作AD//BC，且AD＝MN，连接MD，则四边形ADMN是平行四边形，∴MD＝AN，AD＝MN，作点A关于BC的对称点A′，连接A A′交BC于点O，连接A′M，则AM＝A′M，∴AM＋AN＝A′M＋DM，∴三点D、M、A′共线时，A′M＋DM最小为A′D的长，∵AD//BC，AO⊥BC，∴∠DA＝90°，∵，，∴BC＝，BO＝CO＝AO＝，∴，在Rt△AD中，由勾股定理得：D＝∴的最小是值为：，故答案为：【变式训练4】如图，在▱ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作AC的垂线，交边AD于点P，交边BC于点Q，连接PC、AQ，若AC＝6，PQ＝4，则PC＋AQ的最小值为________________．【答案】【详解】过点A作且，连接MP，∴四边形是平行四边形，∴，将的最小值转化为的最小值，当M、P、C三点共线时，的最小，∵，，∴，在中，；故答案是：．类型三、动点问题例．在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM=4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为_____时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．【答案】4s或s【详解】解：①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝4﹣2t，解得t＝，②当F在线段CM上，即2≤t≤5，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝2t﹣4，解得t＝4，综上所述，t＝4或，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，故答案为：4s或s．【变式训练1】如图，在四边形中，，且，点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由向C运动B，则_____秒后四边形成为一个平行四边形．【答案】2【详解】解：如图，设t秒后，四边形APQB为平行四边形，则AP=t，QC=2t，BQ=6-2t，∵AD∥BC，∴AP∥BQ，当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，∴t=6-2t，∴t=2，当t=2时，AP=BQ=2＜BC＜AD，符合．综上所述，2秒后四边形ABQP是平行四边形．故答案为：2．【变式训练2】如图，在四边形中，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使和，分别需经过多少时间？为什么？【答案】分别需经过；或．理由见解析．【详解】解：①设经过，，此时四边形成为平行四边形，∵，∴，解得，∴当s时，且PQ=CD②设经过，，如图所示，分别过点P，D作BC边的垂线PE，DF，垂足分别为E，F，当CF=EQ时，四边形PQCD为梯形(腰相等)或平行四边形，∵，∴四边形ABFD是矩形，∴AD=BF，∵AD=24cm，BC=26cm，∴(cm)，当四边形PQCD为梯形(腰相等)时，，∴，解得，∴当s时，PQ=CD，当四边形为平行四边形或梯形(腰相等)，为平行四边形时有s，PQ=CD，综上所述，当s时，；当s或s时，PQ=CD．课后训练1．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连结AD，把沿着AD翻折，得到，DE与AC交于点F．若点F是DE的中点，，，的面积为9，则点F到BC的距离为(       )A．1.4 B．2.4 C．3.6 D．4.8【答案】B【详解】如图，连接BE，交AD于点O．过点E作于点H，点F作于点G，由翻折可知AB=AE，，BD=DE，又∵AO=AO，∴，∴BO=EO，，∴．∵点F是DE的中点，EF=2.5，∴DF=EF=2.5，BD=DE=5，∴和等底同高∴．∵，∴，解得：．∴在中，，∵．∴．又∵，∴，解得：．∵点F是DE的中点，，，∴FG为中位线，．故选B．2．如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠BCA=60°，直线AD⊥BC于点D，E是AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C按逆时针方向旋转60°得到FC，连接DF，则在点E的运动过程中，DF的最小值是(       )A．1 B．1.5 C．2 D．4【答案】C【详解】解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．∵AC=BC=8，∠BCA=60°，∴△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，∴CD=CG=AB=4，∠ACD=60°，∵∠ECF=60°，∴∠FCD=∠ECG，在△FCD和△ECG中，，∴△FCD≌△ECG(SAS)，∴DF=GE．当EG∥BC时，EG最小，∵点G为AC的中点，∴此时EG=DF=CD=BC=2．故选：C．3．如图，四边形是平行四边形，，，点在上，且，点为边上的一动点，连接，，将沿直线翻折，点的对应点为点，连接，若点，点，点在同条直线上，则的值为______．【答案】【详解】解：在平行四边形中，，设，，，，，由翻折可得，，，，过点任于，，，，，，设，过作于，则，，在直角三角形中，，，，，，延长、交于点，，，，，，，．故答案为：．4．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以、为邻边作，连接，则的最小值为______．【答案】【详解】解：∵∠BAC=90°，∠B=60°，AB=1，∴BC=2AB=2，AC=，∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO=QO，CO=AO=，∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线OP′，当P与P'重合时，OP的值才是最小，∴则PQ的最小值为2OP′=2×OC=，故答案为：．5．如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CEAB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．(1)求证：四边形ADCE是平行四边形；(2)若∠B＝30°，∠CAB＝45°， ，求AB的长．【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)证明：∵ABCE，∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．∵F是AC中点，∴AF＝CF．在△AFD与△CFE中， ，∴△AFD≌△CFE(AAS)，∴DF＝EF，∴四边形ADCE是平行四边形；(2)解：过点C作CG⊥AB于点G，∵∠CAB＝45°，∴，在△ACG中，∠AGC＝90°，∴，∵，∴CG＝AG＝ ，∵∠B＝30°,∴ ,∴ ,在Rt△BCG中， ，∴ ．6．已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．(1)如图1，CDOB，CD＝OA，连接AD，BD．①           ；②若OA＝2，OB＝3，则BD＝           ；(2)如图2，在射线OM上截取线段BE，使BE＝OA，连接CE，当点B在射线OM上运动时，求∠ABO和∠OCE的数量关系；(3)如图3，当E为OB中点时，平面内一动点F满足FA=OA，作等腰直角三角形FQC，且FQ=FC，当线段AQ取得最大值时，直接写出的值．【答案】(1)△DCA；；(2)∠ABO+∠OCE=45°，理由见解析；(3)【解析】(1)解：①∵CD∥OB，∴∠ACD=∠BOA=90°，又∵OB=CA，OA=CD，∴△AOB≌△DCA(SAS)；故答案为：△DCA；②如图所示，过点D作DR⊥BO交BO延长线于R，由①可知△AOB≌△DCA，∴CD=OA=2，AC=OB=3，∵OC⊥OB，DR⊥OB，CD∥OB，∴DR=OC=OA+AC=5(平行线间距离相等)，同理可得OR=CD=3，∴BR=OB+OR=5，∴；故答案为：；(2)解：∠ABO+∠OCE=45°，理由如下：如图所示，过点C作CW⊥AC，使得CW=OA，连接AW，BW，在△AOB和△WCA中，，∴△AOB≌△WCA(SAS)，∴AB=AW，∠ABO=∠WAC，∵∠AOB=90°，∴∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAO+∠WAC=90°，∴∠BAW=90°，又∵AB=AW，∴∠ABW=∠AWB=45°，∵BE⊥OC，CW⊥OC，∴BE∥CW，又∵BE=OA=CW，∴四边形BECW是平行四边形，∴BW∥CE，∴∠WJC=∠BWA=45°，∵∠WJC=∠WAC+∠JCA，∴∠ABO+∠OCE=45°；(3)解：如图3-1所示，连接AF，∴，∴如图3-2所示，当A、F、Q三点共线时，AQ有最大值，∵E是OB的中点，BE=OA，∴BE=OE=OA，∴OB=AC=2OA，∵△CFQ是等腰直角三角形，CF=QF，∴∠CFQ=∠CFA=90°，∴，∴，∴．