第18章 平行四边形压轴题考点训练-初中数学8年级下册同步压轴题（教师版含解析）

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第十八章 平行四边形压轴题考点训练
1．如图，在▱ABCD中，BE垂直平分CD于点E，且∠BAD＝45°，AD＝3，则▱ABCD的对角线AC的长为(　　)

A． B．5 C．5 D．2
【答案】A
【详解】解：如图所示，过C作CF⊥AB，交AB延长线于点F，连接BD，

∵在▱ABCD中，BE垂直平分CD于点E，∴BC＝BD＝AD＝3，
又∵∠BAD＝45°，
∴∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，
∴Rt△ABD中，AB＝AD＝，
∵∠CBF＝∠DAB＝45°，∠F＝90°，∴∠BCF＝45°，∴FC＝FB＝，
∴Rt△ACF中，，
故选：A．
2．如图，在△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=120°，点M在边BC上，且BM=1，点N是直线AC上一动点，点P是边AB上一动点，则PM+PN的最小值为(     )

A． B． C． D．4
【答案】B
【详解】解：作点C关于AB的对称点C'，连接AC'，BC'，取AN'=AN，连接PN'，

则CA=C'A=CB=BC'，
∴四边形ACBC'是菱形，
∴PN=PN'，
∴PM+PN=PM+PN'，
∴当M、P、N'共线，且MN'⊥AC'时，PM+PN最小，
过点C'作C'H⊥BC于H，
∵∠ACB=120°，
∴∠C'BH=60°，
∴C'H=BC'=2，
∴PM+PN的最小值为2，
故选：B．
3．如图，等边中，，为中点，，为边上动点，且，则的最小值是( )

A． B． C． D．15
【答案】A
【详解】如图，取的中点，连接，作关于的对称点，过作的延长线于点，连接，

，四边形是平行四边形，，
，
当三点共线时取等于号，则的长度即为的最小值，
由作图可知：，，，
，，，
，
．
故选A．
4．如图，菱形ABCD的边长为9，面积为，P、E分别为线段BD、BC上的动点，则的最小值为(　　　)

A． B． C． D．9
【答案】B
【详解】解：过作于 交于

由菱形在轴对称性质可得： 此时最短，
菱形ABCD的边长为9，面积为，
所以的最小值是
故选：
5．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，BC＝2AB＝4，则下列结论：①AD＝4OE；②BD＝2；③30°＜∠BOE＜45°；④S△AOP＝．其中正确的个数是( )

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【详解】解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，AD=BC,OA=OC,
∴∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE＝2，
∴△ABE是等边三角形，∴AE＝BE＝2，
∵BC＝4，∴EC＝2，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，∴∠ACE＝30°，
∵AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACE＝30°，∴∠BAC＝∠DCA＝90°，
∵CE＝BE＝2，∴E为BC的中点，∴OE为△ABC的中位线
∴OE=AB=1，OE∥AB，∴∠EOC＝∠BAC＝90°，
∵BC＝2AB，∴BC=4OE，∴AD=4OE，∴①正确
Rt△EOC中，OC＝，
在Rt△OCD中，OD＝，BD＝2OD＝2，故②正确
在Rt△AOE中，∵AE是斜边，∴AE＞AO，∴AB＞AO，∴∠AOB＞∠ABO，∴∠AOB＞45°
∴∠BOE=90°-∠AOB＜45°
∵OE=，∴∠BOE＞∠OBE
∵∠ACB=30°，∠EOC=90°，∴∠OEC=60°
∴∠OEB=120°，∴∠BOE +∠OBE=60°，∴∠BOE＞30°，∴③正确
过点P分别作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N
∴PM=PN(角平分线的性质)，∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴，∴，∴，∴
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC=，
∴，∴④正确
综上，正确的个数是4个
故选：A．

6．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是(　　)
①OG＝AB；②与△DEG全等的三角形共有5个；③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．

A．①③④ B．①④ C．①②③ D．②③④
【答案】A
【解析】解：四边形是菱形，
，，，，，
，，
，，
在和中，，，，是的中位线，
，①正确；
，，四边形是平行四边形，
，、是等边三角形，，，
，四边形是菱形，④正确；，
由菱形的性质得：，
在和中，，，
，②不正确；
，，
四边形是菱形，，四边形与四边形面积相等，故③正确；
故选：A．
7．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点(不与端点重合)且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．若CG＝2，则四边形BCDG的面积为 _____．

【答案】
【详解】如图，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．

四边形是菱形
，


是等边三角形


是等边三角形
，











又


是的角平分线


△CBM≌△CDN，
S四边形CMGN=2S△CMG，
∵∠CGM=60°，

∴GM=CG，

∴S四边形CMGN=2S△CMG=2××CG×CG=CG2，

S四边形CMGN=．
故答案为：．
8．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，M为边AB的中点，N为边BC上一动点(不与点B重合)，将△BMN沿直线MN折叠，使点B落在点E处，连接DE，CE．当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为_____．

【答案】或
【详解】①当DE=DC时，连接DM，过点D作DG⊥BC交BC延长线于点G，如图

∵四边形ABCD是菱形
∴AB=CD=BC=2，AD∥BC，AB∥CD
∴∠DCG=∠B=60゜，∠A=180゜-∠B=120゜，DE=CD=2
∵DG⊥BC，∴∠CDG=90゜-60゜=30゜，∴
由勾股定理得： ，∴BG=BC+CG=2+1=3
∵M为AB的中点，∴AM=BM=1
由折叠的性质得：EN=BN，EM=BM=1，∠MEN=∠B=60゜，∴EM=AM
∵AD=DC，DE=DC，∴DE=AD
在△EMD和△AMD中， ，∴△EMD≌△AMD(SSS)
∴∠DEM=∠A=120゜，∴∠DEM+∠MEN=180゜ ，即D、E、N三点共线
设BN=x，则EN=x，DN=DE+EN=2+x，NG=BG-BN=3-x
在Rt△DGN中，由勾股定理可得： ，解得： ，即
②当CE=CD时，CE=CD=AD=2，此时点E与点A重合，点N与点C重合，如图

∴BN=2　
③当CE=DE时，点E在线段CD的垂直平分线上，此时点E与点A重合，点N与点C重合，同理可得BN=2．
综上所述，BN的长为或
故答案为：或．
9．如图，在边长为6的菱形中，，为上方一点，且，则的最小值为______．

【答案】
【详解】解：过A作AE⊥BC于E，

∵∠ABC＝30°，AB＝6，
∴AEAB＝3，
∴S△PBCS菱形ABCD6×3＝6，
设点P到BC的距离为h，
∴h＝2，
即点P在平行于BC且到BC的距离为2的直线上，
作点B关于直线l的对称点G，连接CG交直线l于点P，
则此时，PB+PC的值最小，PB+PC的最小值＝CG，
∵BG⊥l，
∴BG⊥BC，
∴∠CBG＝90°，BG＝2h＝4，
∴CG2，
故答案为．
10．如图，正方形中，在的延长线上取点E，F，使，，连接分别交，于H，G．下列结论：①图中有8个等腰三角形；②；③；④．其中正确的有_________(填序号)．

【答案】③④
【详解】解：如图，在正方形中，
，，和是等腰三角形；
，，
和是等腰三角形；，，
，，
和是等腰三角形；，，
是等腰三角形，且，，
，，和是等腰三角形，
综上，图中共有9个等腰三角形；故①不正确；
正方形，，，，，
四边形是平行四边形，，，，
，要使，只要为的中点即可，
且，，，
即和不全等，点不是中点，②错误
由①分析可知，在和中，，
；故③正确；
如图，过点作交的延长线于点，交AF于N，
设NG=x，则MG=1-x，∵△CDE为等腰三角形，∴∠DCE=∠DEC=45°，
可得△CGM为等腰直角三角形，∴CM=1-x，∴CG=，
设正方形ABCD的边长为1，则BC=DE=1，BD=DF=CE=，
∵△BCG为等腰三角形，∴，解得：，
∴，故④正确；

综上，③④正确．故答案为：③④．
11．如图，矩形纸片，，，点在线段上，将沿向上翻折，点的对应点落在线段上，点M，N分别是线段与线段上的点，将四边形沿向上翻折，点恰好落在线段的中点处．则线段的长______．

【答案】．
【详解】如图，作，连接交，连接．

由题意可知，四边形是正方形，是等腰直角三角形；
∴，，
在中，，
设，则，
在中，，即，解得，∴，
由折叠的性质可得：，，
∵，∴．故答案为：．
12．在菱形ABCD中， ∠ABC=60°，P是对角线BD上一点，E是BC边的延长线上一点，PE=PA．

(1)如图1，求∠APE的度数；
(2)如图2，BE的垂直平分线交BD于F，交BE于G，求证；AB=PF
(3)如图3，PE交CD于M，当∠CME=45°时，直接写出= ．
【答案】(1)∠APE=120°；(2)见解析；(3)
【解析】(1)如答图1，连接PC，由菱形的对称性知，∠BAP=∠BCP，PA=PC=PE，∴∠PCE=∠PEC，
∵∠BCP+∠PCE=180°，∴∠BAP+∠PEC=180°，
∴∠ABC+∠APE=180°，∵∠ABC=60°，∴∠APE=120°．
(2)如答图2，连接PC，作PN⊥BE于N，延长BE至Q，使BN=QN，连接PQ，
有CN=NE，BC=EQ．
设PN=1，AB=BC=x，则PB=2，BN=，BQ=2，BE=2-x，
∴BG=BE=-x，∴BF=BG=2-x，∴PF=x，∴AB=PF．
(3)如答图3，连接PC，AC，AC、BD交于点O，
∵∠E=∠BCD-∠CME=75°，∴∠CPE=180°-∠E-∠PCE=30°，∴∠APC=∠APE-∠CPE=90°，
∴∠BPE=180°-∠PBE-∠E=75°，∴BP=BE，
设OC=1，则BO=，BP=BE=+1，BC=2，∴CE=+1-2=-1，∴=．

13．四边形 ABCD 为正方形，点 E 为线段 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EF ⊥DE，交射线 BC 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG．

(1)如图，求证：矩形 DEFG 是正方形；
(2)若 AB＝，CE＝2，求 CG 的长；
(3)当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 40°时，直接写出∠EFC 的度数．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)或
【解析】(1)证明：如下图所示：

作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝90°，∠PED+∠FEC＝90°，∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD(ASA)，
∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；
(2)如图2：

在Rt△ABC中AC＝AB＝，
∵EC＝2，∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，
∴；
(3)①如图3：

当DE与AD的夹角为40°时，∠DEC＝45°+40°＝85°，
∵∠DEF＝90°，∴∠CEF＝5°，
∵∠ECF＝45°，∴∠EFC＝130°，
②如图4：

当DE与DC的夹角为40°时，
∵∠DEF＝∠DCF＝90°，
∴∠EFC＝∠EDC＝40°，
综上所述，∠EFC＝130°或40°．
14．已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．

(1)如图1，连接BG、CF，
①求的值；②求∠BHC的度数．
(2)当正方形AEFG旋转至图2位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN，猜想MN与BE的数量关系与位置关系，并说明理由．
【答案】(1)①；②45°；(2)；；理由见解析
【解析】(1)①如图1，连接AF，AC，

∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴，，∠CAB＝∠GAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠CAF＝∠BAG，，∴△CAF∽△BAG，∴；
②∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，
在△BCH中，∠BHC＝180°−(∠HBC＋∠HCB)
＝180°−(∠HBC＋∠ACB＋∠ACF)＝180°−(∠HBC＋∠ACB＋∠ABG)
＝180°−(∠ABC＋∠ACB)＝45°；
(2)
BE＝2MN，MN⊥BE；
理由如下：如图2

连接ME，过点C作CQ∥EF，交直线ME于Q，连接BQ，设CF与AD交点为P，CF与AG交点为R，
∵CQ∥EF，
∴∠FCQ＝∠CFE，
∵点M是CF的中点，
∴CM＝MF，
又∵∠CMQ＝∠FME，
∴△CMQ≌△FME(ASA)，
∴CQ＝EF，ME＝QM，
∴AE＝CQ，
∵CQ∥EF，AG∥EF，
∴CQ∥AG，∴∠QCF＝∠CRA，
∵AD∥BC，∴∠BCF＝∠APR，
∴∠BCQ＝∠BCF＋∠QCF＝∠APR＋∠ARC，
∵∠DAG＋∠APR＋∠ARC＝180°，∠BAE＋∠DAG＝180°，∴∠BAE＝∠BCQ，
又∵BC＝AB，CQ＝AE，
∴△BCQ≌△BAE(SAS)，∴BQ＝BE，∠CBQ＝∠ABE，∴∠QBE＝∠CBA＝90°，
∵MQ＝ME，点N是BE中点，∴BQ＝2MN，MN∥BQ，
∴BE＝2MN，MN⊥BE．
15．点D、E、F分别是的边AB、BC、CA的中点．

(1)如图1，以BD、BE为边分别作正和正，连接MF、FN、MN．求证：是等边三角形．
(2)如图2，以BD、BE为边分别作正方形BPMD和正方形BQNE，连接MF、NF、MN，则的度数是多少？
(3)以BD、BE为边分别作正n边形，设两个正n边形与点D、E相邻的顶点分别是M、N(点M、N与点B是不同的点)，连接MF、NF、MN得到，则的度数是多少？(结果用含n的代数式表示)．
【答案】(1)见解析；(2)90°；(3)
【解析】(1)解：连接FD、FE，

∵和是等边三角形，∴，，，
∵D、F、E分别为边AB、AC、BC的中点，∴，，∴DFEB是平行四边形
∴，，，∴，
在和中，，∴，∴，
而
∴是等边三角形；
(2)是等腰直角三角形，且∠MFN为90°，

理由如下：连接FD、FE，
∵四边形BDMP和四边形BENQ是正方形，
∴，，，
∵D、F、E分别为边AB、AC、BC的中点，∴，，
∴DFEB是平行四边形．∴，，
∴．
在和中，
∴，∴，
·
故答案为：90°；
(3)，理由如下：
由(1)(2)知：
．
故答案为：