2022-2023学年湖南省长沙市浏阳市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙市浏阳市八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列式子中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，在平面直角坐标系中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，平行四边形中，垂直于，，则的大小是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列四组条件中，能判定四边形是平行四边形的有(    )
，；，；，；，．

A.  B.  C.  D.

6.  菱形的对角线，，则菱形的面积等于(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，四边形中，，，，连接，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，用直尺和圆规作菱形，作图过程如下：作锐角；以点为圆心，以任意长度为半径作弧，与的两边分别交于点，；分别以点，为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点，分别连接，，则四边形即为菱形，其依据是(    )

A. 一组邻边相等的四边形是菱形
B. 四条边相等的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D. 每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

9.  如图，在矩形中，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上处，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是，，，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为______．

12.  若，则            ．

13.  若平行四边形相邻的两边长分别是和，其周长为______．

14.  如图，在中，，平分交于点，且，，则点到的距离为______．

15.  如图，点是的角平分线上的一点，过点作交于点，，若，，则          ．
 

16.  如图梯子靠在墙上，梯子的底端到墙根的距离为米，梯子的顶端到地面的距离为米，现将梯子的底端向外移动到，使梯子的底端到墙根的距离等于米，同时梯子的顶端下降至，那么等于米大于米小于米．其中正确结论序号是______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.                      

四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分

如图，中，，点是中点，连接，过点作．

尺规作图：过点作直线于点基本作图，保留作图痕迹不写作法，并标明字母；

求证：四边形是矩形．

19.  本小题分
如图，已知某开发区有一块四边形空地，现计划在该空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？

20.  本小题分
如图，在中，的角平分线交于点，，．
试判断四边形的形状，并说明理由；
若，且，求四边形的面积．

21.  本小题分
如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点．
求证：四边形的为矩形；
若，，求菱形的面积．

22.  本小题分
如图，矩形中，、的平分线、分别交边、于点、．
求证：四边形是平行四边形；
当为多少度时，四边形是菱形？请说明理由．

23.  本小题分

像， ，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号．

；
．
勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．
化简：．
解：设，易知，．
由：解得．
即．
请你解决下列问题：
的有理化因式是______；

化简：；

化简：．

24.  本小题分
如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点，运动的时间为．
边的长度为______，的取值范围为______．
从运动开始，当取何值时，？
从运动开始，当取何值时，？
在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
根据最简二次根式的定义即可得出答案．
【解答】
解：、，故本选项不是最简二次根式，不符合题意；
B、，故本选项不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、，故本选项不是最简二次根式，不符合题意，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
根据勾股定理求出，根据坐标与图形性质解答即可．
【解答】
解：由题意得，，，
，
则，
，
点坐标为，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：，故本选项不符合题意；
B.和不能合并，故本选项不符合题意；
C.，故本选项符合题意；
D.，故本选项不符合题意；
故选C．
根据二次根式的加减，二次根式的除法和二次根式的性质进行计算，再根据求出的结果得出选项即可．
本题考查了二次根式的运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：是平行四边形，，
，
，
又，
，
再根据三角形的内角和是，
，
，
，
的大小是．
故选D．
根据平行四边形对角相等，先求出，再根据垂直于，所以，再根据三角形的内角和是，求出的大小．
本题主要考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．
根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【解答】
解：根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故符合题意；
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故符合题意；
不能判定四边形是平行四边形，故不符合题意；
根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故符合题意；
能判定四边形是平行四边形的有，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质，熟记菱形的面积公式是解题的关键．
由菱形的面积公式列式计算即可．
【解答】
解：四边形是菱形，
，
菱形的面积，
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：连接，
，，，
，
，，
，
故选：．
连接，根据勾股定理得到，由三角形的中位线的性质定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由作图过程可知，，
所以依据是“四条边相等的四边形是菱形”．
故选：．
由作图过程可知，根据菱形的判定定理分析判断可知．
本题考查了尺规作图和菱形的判定定理，理解并掌握菱形的判定定理是解题根据．
 

9.【答案】 

【解析】解：矩形，
，
由折叠可得≌，
，，，
在中，，，
根据勾股定理得：，即，
设，则有，
根据勾股定理得：，
解得：，
则，
故选：．
由为矩形，得到为直角，且三角形与三角形全等，利用全等三角形对应角、对应边相等得到，，，利用勾股定理求出的长，由求出的长，在中，设，表示出，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可确定出的长．
此题考查了翻折变换，矩形的性质，以及勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
观察图形根据勾股定理的几何意义，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．
勾股定理包含几何与数论两个方面，几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．这里，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．
【解答】
解：由勾股定理的几何意义可知：，，，，
故选A．  

11.【答案】 

【解析】解：要使二次根式在实数范围内有意义，必须，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件得出，求出即可．
本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，能得出关于的不等式是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，，
解得：，，
故．
故答案为：．
直接利用非负数的性质得出，的值，进而得出答案．
此题主要考查了非负数的性质，正确得出，的值是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：平行四边形的周长．
故本题答案为：．
平行四边形的周长等于两条邻边长的和的倍．
本题考查了二次根式在实际问题中的运用，化简二次根式是目的．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点作于，
在中，，，
则，
平分，，，
，即点到的距离为，
故答案为：．
过点作于，根据勾股定理求出，根据角平分线的性质求出．
本题考查的是勾股定理、角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键．
过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，然后通过勾股定理求得的长度即可．
【解答】
解：如图，过点作于，
是的角平分线，
，
是的角平分线，，
，
，
，
，
，，
，

．

故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得：梯子，．
，故选．
利用勾股定理求得长，进而求得求解．
本题主要利用了勾股定理求解．
 

17.【答案】解：原式
；
原式
 
． 

【解析】先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
利用平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

18.【答案】解：如图，直线即为所求作．

证明：
，点是中点，
，
，
，
，
，
四边形是矩形． 

【解析】根据要求作出图形即可．
根据三个角是直角的四边形是矩形证明即可．
本题考查尺规作图过一点作已知直线的垂线，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：连接，
在中，，
在中，，，
而，
即，
，
 
．
所以需费用元． 

【解析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接，在直角三角形中可求得的长，由、、的长度关系可得三角形为一直角三角形，为斜边；由此看，四边形的面积等于面积减的面积解答即可．
本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．
 

20.【答案】解：四边形是菱形，理由是：
，，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形；
，
四边形是正方形，
，
，
四边形的面积为． 

【解析】根据，判定四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到，可得，即可证明；
根据得到菱形是正方形，根据对角线求出边长，再根据面积公式计算即可．
本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．
 

21.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
又菱形对角线交于点，
，
，
四边形为矩形；
解：四边形是菱形，，
，，，
四边形是矩形，
，
，
，
菱形的面积． 

【解析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质和判定、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
先证四边形为平行四边形，再由菱形的性质得，即可得出结论；
由勾股定理和菱形的面积公式解答即可．
 

22.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
平分、平分，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形；

当时，四边形是菱形，
平分，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
又四边形是平行四边形，
四边形是菱形． 

【解析】由矩形可得，结合平分、平分得，即可知，根据即可得证；
当时，四边形是菱形，由角平分线知、，结合可得，即，即可得证．
本题主要考查矩形的性质、平行四边形、菱形，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定与菱形的判定是解题的关键．
 

23.【答案】解：；
原式

；
设易知．
．
由：解得．
即． 

【解析】

【分析】
根据平方差公式可得其有理化因式；
原式进行分母有理化得，再进一步求解即可；
设，通过平方后再开方即可得出答案．
本题主要考查分母有理化，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式及二次根式的性质．
【解答】
解：的有理化因式是，
故答案为：；
见答案．  

24.【答案】   

【解析】解：如图，过点作于，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
根据勾股定理得，，
点在上运动，
，
点在上运动，
，
故答案为：，；

当时，，
四边形是平行四边形，
，
，
；

如图，
过点作于，则四边形是矩形，
，，
，
，
，
根据勾股定理得，，
或，
故答案为或；

不存在，理由：
四边形是菱形，
，
，
，
此时，，
而，
四边形不可能是菱形．
过点作于，再利用勾股定理，即可得出结论，用点，的运动速度，即可求出的范围；
构造出直角三角形，表示出，利用勾股定理建立方程求解，即可得出结论；
先利用求出时间，再求出，进而得出，即可得出结论；
不存在，证明，可得结论．
此题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定，平行四边形的判定和性质等知识，构造出直角三角形是解本题的关键．