2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市西部乡镇联考八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市西部乡镇联考八年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形分别是平行四边形、矩形、菱形、正方形，其中不一定是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  在▱中，若，则的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列各式中，运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

6.  如图，矩形中，对角线，交于点．若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，点是直线外一点，在上取两点，，分别以，为圆心，，长为半径画弧，两弧交于点，分别连接、、，则四边形一定是(    )
 

A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形

8.  如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  下列命题中，正确的是(    )

A. 有一组邻边相等的四边形是菱形
B. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
C. 两组邻角相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

10.  如图，在▱中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，则的长为(    )
 

A.  B.  C.  D.

11.  如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为，若木棍端沿墙下滑，且沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点到点的距离(    )

A. 变小
B. 不变
C. 变大
D. 无法判断

12.  如图，点为矩形的边长上的点，作于点，且满足下面结论：
平分；
为等腰三角形；
；
其中正确的结论有多少个(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  如果在实数范围内有意义，那么的取值范围是______．

14.  如图，为了检查平行四边形书架的侧边是否与上、下边都垂直工人师傅用一根绳子比较了其对角线，的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理______ ．

15.  如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为______．

16.  如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于，则的长是______ ．

17.  如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点落在同一平面内，落点记为，与交于点，若，，则的长为______．
 

18.  如图，正方形的面积是，，，分别是，，上的动点，的最小值等于            ．
 

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

19.  已知：，求代数式的值．

四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
计算：
；
．

21.  本小题分
如图，每个小正方形的边长为．
求四边形的面积和周长；
是直角吗？说明理由．
 

22.  本小题分
如图，在四边形中，，，，求的度数．
 

23.  本小题分
如图，梯形中，，平分，交于点求证：四边形是菱形．
 

24.  本小题分
如图，四边形是矩形，点在边上，点在延长线上，．
求证：四边形是平行四边形；
若，，，求的长．
 

25.  本小题分
如图，，是上一点，平分且过的中点，交于点，，交于点．






求证：≌．
求证：四边形是菱形．
若，求菱形的面积．

26.  本小题分
如图，在正方形中，点在边上，点在正方形外部，且满足，连接，，取的中点，连接，，交于点．
依题意补全图形；求证：．
请探究线段，，所满足的等量关系，并证明你的结论．
设，若点沿着线段从点运动到点，则在该运动过程中，线段所扫过的面积为______直接写出答案．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、平行四边形不一定是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、矩形一定是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、菱形一定是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、正方形一定是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：．
利用轴对称图形定义进行解答即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
 

2.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
．
故选：．
由平行四边形中，若，可求得的度数，继而求得的度数．
此题考查了平行四边形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故本选项错误；
B、，故本选项正确；
C、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
D、，故本选项错误．
故选B．
分别根据合并同类项的法则、二次根式的化简法则对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
利用最简二次根式的定义判断即可．
【解答】
解：：为最简二次根式，符合题意；
：，不符合题意；
：，不符合题意；
：，不符合题意，
故选：．
【点评】
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．  

5.【答案】 

【解析】解：、，故是直角三角形，不符合题意；
B、，故是直角三角形，不符合题意；
C、，故是直角三角形，不符合题意；
D、，不能构成三角形，符合题意．
故选：．
欲求证是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
是等边三角形，
；
故选：．
先由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，得出即可．
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
利用平行四边形的判定方法可以判定四边形是平行四边形．本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟记平行四边形的判定方法．
【解答】
解：分别以、为圆心，、长为半径画弧，两弧交于点，
、
四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
故选A．  

8.【答案】 

【解析】解：如图所示：
四边形是平行四边形，
，
，
的平分线交于点，
，
，
，同理可得，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，，
，
；
故选：．
先证明四边形是平行四边形，再证明邻边相等即可得出四边形是菱形，得出，，，由勾股定理求出，即可得出的长．
本题考查平行四边形的性质与判定、等腰三角形的判定、菱形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
分别根据菱形、矩形、平行四边形及正方形的判定定理对各选项逐一分析判断即可．
【解答】
解：：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项错误；
：对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故本选项错误；
：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误；
：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故本选项正确．
故选：．
【点评】
本题主要考查了菱形、矩形、平行四边形及正方形的判定，熟练掌握菱形、矩形、平行四边形及正方形的判定定理是解答本题的关键．  

10.【答案】 

【解析】解：点，分别是，的中点，连接，，
是的中位线，则，
四边形是平行四边形，
，
故选：．
根据已知条件可以得到是的中位线，则，再利用平行四边形的性质得出即可．
本题考查了三角形的中位线定理，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的判定定理及性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：在木棍滑动的过程中，点到点的距离不发生变化，
理由是：连接，
，为中点，，
，
即在木棍滑动的过程中，点到点的距离不发生变化，永远是；
故选：．
根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出，即可得出答案．
此题考查了解直角三角形，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
在和中，，
≌，
，
平分；
故正确；
，
，
在和中，
，
≌，
，
为等腰三角形；
故正确；
≌，
不存在，
故错误；
≌，
，
．
故正确．
故正确的结论有，三个．
故选：．
证明≌得出正确；在证明≌得出正确；得出，得正确，正确，即可得出结论．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件可得，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
 

14.【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角 

【解析】解：其中的数学原理是：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角．
故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角．
我们发现该书架首先是一个平行四边形，接下来根据矩形的判定定理即可得到答案．
本题侧重考查考查矩形判定的题目，回想矩形的判定方法．
 

15.【答案】 

【解析】解：，为的中点，
，
为的中位线，
，
，
故答案为：．
利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出的长，再利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可求出的长，进而求出的长
本题考查了直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了利用线段的垂直平分线的性质、矩形的性质及勾股定理综合解答问题的能力，此题难度一般，连接很关键利用线段的垂直平分线的性质，得到与的关系，再由勾股定理计算出的长．
【解答】
解：连接，由矩形的性质可得，

又因，
则由线段的垂直平分线的性质可得，
设，则，
在中，根据勾股定理可得，
即，
解得．
故答案为．  

17.【答案】 

【解析】

【分析】
先根据等角对等边，得出，再设，在直角三角形中，根据勾股定理列出关于的方程，求得的值即可．
本题以折叠问题为背景，主要考查了折叠的性质以及勾股定理．折叠前后图形的对应边和对应角相等．解题时，我们常设所求的线段长为，然后用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．
【解答】
解：由折叠得，，
由得，，
，
，
设，则，
在直角三角形中，，即，
解得，
的长为．
故答案为：  

18.【答案】 

【解析】过点作交于点，交于点，根据正方形的性质可得出，且、，由此即可得出，再由正方形的面积为即可得出结论．
本题考查了正方形的性质，解题的关键是找出本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据正方形的性质找出最小时，三点的位置关系是关键．
解：过点作交于点，交于点，如图所示．

四边形为正方形，
，
当时取等号，当时取等号，
，
正方形的面积是，
，
即的最小值等于，
故答案为：．
 

19.【答案】解：当，


． 

【解析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式运算法则是解题的关键．
把的值代入多项式进行计算即可．
 

20.【答案】解：原式
；
原式


． 

【解析】先利用平方差公式计算，然后化简后合并即可；
先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘法运算，再合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

21.【答案】解：由勾股定理可得：，
则，
，
，
，
，
，
，
故四边形的周长为：，
四边形的面积为：

；
由得：，，而，
故DC，
则，
是直角． 

【解析】此题主要考查了勾股定理以及其逆定理，正确应用勾股定理是解题关键．
直接利用勾股定理得出各边长，进而利用四边形所在矩形面积减去周围三角形面积得出答案；
利用勾股定理的逆定理得出答案．
 

22.【答案】解：如图，连接，




 

，，

，，
，，
，，
，
，
． 

【解析】

【分析】
由于，，利用勾股定理可求，并可求，而，，易得，根据勾股定理的逆定理可得，从而易求．
【点评】
本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理等知识，解题的关键是连接，得出．  

23.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形．
平分，
，
又，
，
，
四边形是菱形． 

【解析】

【分析】
首先证明四边形是平行四边形，再由平分及，得，，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得证．
【点评】
本题考查了平行四边形和菱形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等知识，比较简单，熟练掌握平行四边形和菱形的判定是解题关键．  

24.【答案】 解：证明：四边形是矩形，
，．
．
．
在和中，

≌．
．
．
，
四边形是平行四边形；

，
．
，
．
，
．
在中，，，
．
四边形是平行四边形，
．

【解析】

【分析】
首先证明≌，得到，，又，根据平行四边形的判定即可得证；
先证明是直角三角形，再根据勾股定理计算出，最后根据平行四边形的性质即可得到的长．
【点评】
本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于中考基础题，常考题型．  

25.【答案】解：证明：点是的中点，







，
，
，
在和中，
，
≌；
证明：由得≌，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
平行四边形是菱形；
解：由得四边形是菱形，
，，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是菱形，
，
，
在中，由勾股定理得，
． 

【解析】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
由即可得出结论；
先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得出结论；
由菱形的性质得出，证明四边形是平行四边形，得出，，由菱形的性质得出，得出，由勾股定理得，即可得出答案．
 

26.【答案】依题意补全图形，如图所示．

证明：连接，如图所示．
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
．
在中，点是中点，
．
，，
点，在的垂直平分线上，
垂直平分，
．
．
证明：，，
．
点是中点，
，
是的中位线．
．
，
，
．
，
，
，
．
在中，，
．
四边形是正方形，
，
．
，
．
 

【解析】解：见答案．
见答案．
在点沿着线段从点运动到点的过程中，线段所扫过的图形为四边形．
，，
，
四边形为梯形．
，
，，
．
故答案为：．
依照题意补全图形即可；连接，由正方形以及等腰直角三角形的性质可得出，从而得出，再根据直角三角形的性质以及点为的中点即可得出，由此即可得出、在线段的垂直平分线上，由此即可证得；
根据正方形的性质可得出，再结合三角形的中位线性质可得出，由线段间的关系即可证出结论；
找出所扫过的图形为四边形根据正方形以及等腰直角三角形的性质可得出，由此得出四边形为梯形，再由，可算出线段、、的长度，利用梯形的面积公式即可得出结论．
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质以及梯形的面积公式，解题的关键是：根据垂直平分线上点的性质证出垂直；用表示出、的长度；找出所扫过的图形．本题属于中档题，难度不小，解决该题型题目时，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是关键．